A Casinha da Matemática

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Sendo A o afixo de ${z_A} =  – 3 + 5i$, um vértice de um quadrado e O o ponto médio das suas diagonais, determine os outros vértices do quadrado.

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Sendo o afixo A de ${z_A} = 2 – 3i$ um dos vértices de um quadrado [OABC], determine os outros vértices, B e C, desse quadrado.

(Pode obter mais do que uma solução)

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Os afixos de $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1} = 2 – i}&,&{{z_2} = 1 + 3i}&{\text{e}}&{{z_3} =  – 3 + 2i}
\end{array}$$ são vértices de um paralelogramo.

Determine o quarto vértice desse paralelogramo.

(Pode obter mais do que uma solução.)

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$$P(z) = 2{z^4} – 3{z^3} + 6{z^2} – 12z – 8\,\,,z \in \mathbb{C}$$

1. Determine os números reais $a$, $b$ e $c$ tais que, para todo o número complexo $z$, $$P(z) = \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)$$
2. Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação $P(z) = 0$.

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Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:

1. $\left( {3 – 4i} \right)z = 2 + i$
2. $\left( {1 – i} \right)z + 3 + 4i = 5 – 2iz$
3. ${\left( {1 – i} \right)^2}.\overline z  = 3 – 2i$
4. ${z^2} – 10z + 74 = 0$

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Considere os números complexos $$\begin{array}{*{20}{c}}
{z = 1 – 2i}&{}&{\text{e}}&{}&{w =  – 5 + 3i}
\end{array}$$ e escreva na forma $a + bi$ os números complexos seguintes:

1. $z + w$
2. $4z – 5w$
3. $z.w$
4. $\frac{z}{w}$
5. ${z^2} – \frac{1}{z}$
6. $\frac{2}{{{z^3}}}$

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Mostre, pela definição, que $$\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i$$ é uma das raízes quartas de $-1$.

(Recorra ao Binómio de Newton)

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Mostre que todo o número complexo não nulo tem inverso em $\mathbb{C}$

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Escreva na forma $a + bi$:

1. $\frac{5}{{3 – i}}$
2. $\frac{{2 + i}}{{2 – i}}$
3. $\frac{{3 + 2i}}{{5i}}$
4. ${i^{101}}$
5. ${i^{1999}} – 2$
6. ${i^{4n}} – 2{i^{4n + 3}}$

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Efetue:

1. ${3i\left( {2 + 4i} \right)}$
2. ${\left( {3 + 2i} \right)\left( { – 5 – i} \right)}$
3. ${{{\left( {2 – 3i} \right)}^2}}$

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Efetue e apresente o resultado na forma $a + bi$:

1. $\left( {5 – 2i} \right) + \left( {7 + 3i} \right)$
2. $\left( {2 – 3i} \right) – \left( {4 + 5i} \right)$
3. $\left( { – 1 + 4i} \right) – \left( { – 6 + i} \right)$

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Determine as soluções das seguintes equações:

1. ${x^3} + 5x = 0$
2. ${x^2} + 4x + 7 = 0$

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