As raízes quartas de $1$
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 60
Enunciado
Determine as raízes quartas de $1$ e represente os seus afixos do diagrama de Argand.
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<< Enunciado… Ler maisA Casinha da Matemática Blog
Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 59
Enunciado
Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.
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Uma raiz cúbica de um número complexo
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 58
Enunciado
${w_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}$ é uma raiz cúbica de um número complexo $z$.
- Determine as outras raízes cúbicas de $z$.
- Determine $z$.
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Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 105 Ex. 65
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:
- $z – \frac{{2i}}{z} = 0$
- ${z^3} – i{z^2} – z + i = 0$
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Considere as equações
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 64
Enunciado
Considere as equações: $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{w^2} = 4}&{\text{e}}&{{w^4} = 16}
\end{array}$$
As equações dadas são equivalentes em $\mathbb{R}$? E em $\mathbb{C}$?
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Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 103 Ex. 63
Enunciado
Resolva, em $\mathbb{C}$, as equações:
- ${z^2} = 1 + i$
- ${z^3} – iz = 0$
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Determine
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 102 Ex. 62
Enunciado
Determine:
- as cinco raízes quintas de $z = 1$;
- as quatro raízes quartas de $z = i$.
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Radiciação em $\mathbb{C}$
Exploração da representação geométrica das n raízes de índice n de um número complexo não nulo
Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$
Prove que
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 100 Ex. 61
Enunciado
Prove que:
- $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
- $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.
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Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57
Enunciado
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$.
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<< Enunciado… Ler maisCalcule o valor de
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 56
Enunciado
Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$
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<< Enunciado… Ler maisMostre que
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 55
Enunciado
Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.
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Represente na forma trigonométrica
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 54
Enunciado
Represente, na forma trigonométrica, o número $$\frac{{1 + \sqrt 2 + i}}{{1 + \sqrt 2 – i}}$$
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Considere os seguintes números complexos
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 53
Enunciado
Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$
- Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
- Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
- Obtenha os valores de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$ utilizando outro processo.
(Sugestão: $\frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3}$)
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