Equações com denominadores

1. $1+\frac{x-3}{2}=1$

   Escrevendo uma equação equivalente onde todas as frações figurem com igual denominador (igual ao m.m.c. dos denominadores), temos:
   \[\begin{matrix}
   \underset{(2)}{\mathop{1}}\,+\frac{x-3}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{1}}\,  \\
   \frac{2}{2}+\frac{x-3}{2}=\frac{2}{2}  \\
   \end{matrix}\]
   Se multiplicarmos por 2 ambos os membros da equação obtemos uma equação equivalente. Seguidamente, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em ambos os membros, obtém-se uma equação equivalente sem denominadores:
   \[\begin{matrix}
   2\times \left( \frac{2}{2}+\frac{x-3}{2} \right)=\left( \frac{2}{2} \right)\times 2  \\
   2+x-3=2  \\
   \end{matrix}\]
   Esta sequência de procedimentos pode ser abreviada: suprimindo a 2.ª e 3.ª equações.
   Para isso, bastará multiplicar apenas os numeradores das frações da 1.ª equação pelos valores indicados dentro dos parêntesis curvos:
   \[\begin{matrix}
   \underset{(2)}{\mathop{1}}\,+\frac{x-3}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{1}}\,  \\
   2+x-3=2  \\
   x=2-2+3  \\
   x=3  \\
   \end{matrix}\]

2. $\frac{x-2}{4}+\frac{2x}{3}=1$

   Escrevendo uma equação equivalente onde todas as frações figurem com igual denominador (igual ao m.m.c. dos denominadores), temos:
   \[\begin{matrix}
   \frac{x-2}{\underset{(3)}{\mathop{4}}\,}+\frac{2x}{\underset{(4)}{\mathop{3}}\,}=\underset{(12)}{\mathop{1}}\,  \\
   \frac{3x-6}{12}+\frac{8x}{12}=\frac{12}{12}  \\
   \end{matrix}\]
   Se multiplicarmos por 12 ambos os membros da equação obtemos uma equação equivalente. Seguidamente, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em ambos os membros, obtém-se uma equação equivalente sem denominadores:
   \[\begin{matrix}
   12\times \left( \frac{3x-6}{12}+\frac{8x}{12} \right)=\left( \frac{12}{12} \right)\times 12  \\
   3x-6+8x=12  \\
   \end{matrix}\]
   Esta sequência de procedimentos pode ser abreviada: suprimindo a 2.ª e 3.ª equações.
   Para isso, bastará multiplicar apenas os numeradores das frações da 1.ª equação pelos valores indicados dentro dos parêntesis curvos:
   \[\begin{matrix}
   \frac{x-2}{\underset{(3)}{\mathop{4}}\,}+\frac{2x}{\underset{(4)}{\mathop{3}}\,}=\underset{(12)}{\mathop{1}}\,  \\
   3x-6+8x=12  \\
   11x=18  \\
   x=\frac{18}{11}  \\
   \end{matrix}\]

3. $\frac{y+1}{4}-\frac{5+y}{2}=\frac{3}{2}$

   Escrevendo uma equação equivalente onde todas as frações figurem com igual denominador (igual ao m.m.c. dos denominadores), temos:
   \[\begin{matrix}
   \frac{y+1}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}-\frac{5+y}{\underset{(2)}{\mathop{2}}\,}=\frac{3}{\underset{(2)}{\mathop{2}}\,}  \\
   \frac{y+1}{4}-\frac{10+2y}{4}=\frac{6}{4}  \\
   \end{matrix}\]
   Se multiplicarmos por 4 ambos os membros da equação obtemos uma equação equivalente. Seguidamente, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em ambos os membros, obtém-se uma equação equivalente sem denominadores:
   \[\begin{matrix}
   4\times \left( \frac{y+1}{4}-\frac{10+2y}{4} \right)=\left( \frac{6}{4} \right)\times 4  \\
   y+1-(10+2y)=6  \\
   \end{matrix}\]
   Esta sequência de procedimentos pode ser abreviada: suprimindo a 2.ª e 3.ª equações.
   Para isso, bastará multiplicar apenas os numeradores das frações da 1.ª equação pelos valores indicados dentro dos parêntesis curvos:
   \[\begin{matrix}
   \frac{y+1}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}-\frac{5+y}{\underset{(2)}{\mathop{2}}\,}=\frac{3}{\underset{(2)}{\mathop{2}}\,}  \\
   y+1-(10+2y)=6  \\
   y+1-10-2y=6  \\
   -y=15  \\
   y=-15  \\
   \end{matrix}\]

Esta forma abreviada de procedimentos é conhecida por DESEMBARAÇAR DE PARÊNTESIS e , frequentemente, é apresentada como segue:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
\frac{y+1}{\underset{(1)}{\mathop{4}}\,}-\frac{5+y}{\underset{(2)}{\mathop{2}}\,}=\frac{3}{\underset{(2)}{\mathop{2}}\,} & \Leftrightarrow  & y+1-(10+2y)=6  \\
{} & \Leftrightarrow  & y+1-10-2y=6  \\
{} & \Leftrightarrow  & -y=15  \\
{} & \Leftrightarrow  & y=-15  \\
\end{array}\]