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## Beautiful Equations

###### Artist and writer Matt Collings takes the plunge into an alien world of equations

Artist and writer Matt Collings takes the plunge into an alien world of equations. He asks top scientists to help him understand five of the most famous equations in science, talks to Stephen Hawking about his equation for black holes and comes face to face with a particle of anti-matter.

## Quantos alunos foram almoçar?

###### Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 36 Ex. 12

Um grupo de alunos de uma turma resolveu ir almoçar no último dia de aulas. No final, a conta paga foi de $60$ €.

Como dois desses alunos não tinham dinheiro, os outros resolveram a questão dando cada um mais $8$ €.

Quantos alunos foram almoçar?

## Resolva as equações

###### Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 38 Ex. 26

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes equações:

1. $$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} + 5\left( {x + 2} \right) = 8 – 3x$$

2. $$3\left( {\frac{{x + 1}}{2} + \frac{{x – 1}}{3}} \right) = 5x – 2$$

3. $$5 – \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{4} = \frac{{3x – 1}}{7}$$

4. \frac{{x +

## Uma equipa de futebol

###### Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 2

Uma equipa de futebol ganhou $\frac{4}{7}$ dos jogos que efectuou, empatou $\frac{2}{5}$ dos jogos e perdeu 6.

Quantos jogos efectuou esta equipa?

Resolução >> Resolução

Seja x o número de jogos efectuados por esta equipa.

Assim, temos:

• Número de vitórias: $\frac{4x}{7}$

• Número de empates: $\frac{2x}{5}$

• Número de

## Verifica se o número indicado é solução da equação

###### Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 57 Ex. 3

Verifica, sem resolveres as equações, se o número indicado entre parênteses é ou não solução da equação:

1. $\frac{a-2}{5}+\frac{a+3}{2}=\frac{1}{10}$, $(0)$;

2. $\frac{3(x-1)}{2}-\frac{2(x-1)}{3}=0$, $(1)$

Resolução >> Resolução

1. Substituindo a por $0$, vem:

2.
$\begin{array}{*{35}{l}} b-(2b-4)=\frac{b}{5} & \Leftrightarrow & \underset{(5)}{\mathop{b}}\,-\underset{(5)}{\mathop{2b}}\,+\underset{(5)}{\mathop{4}}\,=\frac{b}{\underset{(1)}{\mathop{5}}\,} \\ {} & \Leftrightarrow & 5b-10b+20=b \\ {} & \Leftrightarrow ## Equações com denominadores ###### Equações do 1.º grau: Matematicamente Falando 8 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 1 Enunciado Resolve as equações: 1. 1+\frac{x-3}{2}=1 2. \frac{x-2}{4}+\frac{2x}{3}=1 3. \frac{y+1}{4}-\frac{5+y}{2}=\frac{3}{2} Resolução >> Resolução 1. 1+\frac{x-3}{2}=1 Escrevendo uma equação equivalente onde todas as fracções figurem com igual denominador (igual ao m.m.c. dos denominadores), temos: \[\begin{matrix} \underset{(2)}{\mathop{1}}\,+\frac{x-3}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{1}}\, \\ \frac{2}{2}+\frac{x-3}{2}=\frac{2}{2} \\ \end{matrix}$
Se multiplicarmos por 2 ambos os membros da equação obtemos uma equação equivalente.

## Calcula o valor de x em cada figura

###### Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 2

Calcula o valor de x em cada figura, considerando r//s.

Resolução >> Resolução

FIGURA a)

Os ângulos considerados são geometricamente iguais, pois são ambos agudos e de lados paralelos.
Logo, temos:

$\begin{array}{*{35}{l}} 2x-95=25 & \Leftrightarrow & 2x=120 \\ {} & \Leftrightarrow & x=60 \\ \end{array}$

Portanto, $x=60{}^\text{o}$.…

## Quatro equações

###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 19

Resolve e classifica cada uma das equações:

1. $7x-3=7x$

2. $8x+1=2x+1$

3. $-2x+3=-2x+3$

4. $5x+2=5(x-2)$

Resolução >> Resolução

1.
$\begin{array}{*{35}{l}} 7x-3=7x & \Leftrightarrow & 7x-7x=3 \\ {} & \Leftrightarrow & 0x=3 \\ \end{array}$
Como sabemos, o produto de qualquer número por zero é nulo.
Logo, a equação é impossível. O seu conjunto-solução

## Três casas

###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 16

Na figura está representada uma estrada em que existem três casas: A, B e C.

A distância entre A e B é o triplo da distância entre B e C.

Qual a distância entre A e B?

Resolução >> Resolução

Desigando por $y$ a distância entre as …

###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 14

Analisa a situação exposta no quadro:

1. Escreve um texto para o problema.
2. Escreve uma equação que o traduz.
3. Resolve o problema.

Resolução >> Resolução

1. Apresenta-se um texto possível para enunciado do problema:

“Considera o triângulo [ABC] , onde as amplitudes dos seus ângulos internos estão indicadas na

## A área do triângulo

###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 67 Ex. 13

A área do triângulo é 9 cm2.

Qual é o seu perímetro?

Resolução >> Resolução

Sabendo que a área de um triângulo pode ser expressa por ${{A}_{Tri\hat{a}ngulo}}=\frac{b\times h}{2}$ onde b e h designam, respectivamente, os comprimentos da base e da altura (estes segmentos têm de …

## Os ângulos

###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 12

Observa os ângulos.

Qual é o valor de $x$?

Resolução >> Resolução

Considerando que a soma dos dois ângulos considerados é um ângulo raso, cuja amplitude é 180º, temos: $\begin{array}{*{35}{l}} (4x-18)+(3x+30)=180 & \Leftrightarrow & 4x-18+3x+30=180 \\ {} & \Leftrightarrow & 7x=180-12 \\ {} & \Leftrightarrow & \frac{7x}{7}=\frac{168}{7} … ## O desenho da Ana ###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 11 Enunciado A Ana fez este desenho à mão e com pouco rigor. Todas as dimensões estão expressas em centímetros. Qual é o valor de x? Pensas que a Ana cometeu um erro? Porquê? Resolução >> Resolução Admitindo que os lados da figura são exclusivamente segmentos de recta horizontais … ## O perímetro ###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 10 Enunciado Determina x de tal modo que o perímetro da figura seja 85 cm. Resolução >> Resolução Partindo do lado superior da figura e rodando no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, o comprimento dos lados do polígono (admitindo que os lados consecutivos são perpenduculares) é dado … ## Quadrado e rectângulo ###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 9 Enunciado Considera um quadrado de lado 2x e um rectângulo de dimensões x e x+4. Para que valores de x as duas figuras têm o mesmo perímetro? Resolução >> Resolução O perímetro do quadrado pode ser expresso por: {{P}_{Q}}=4\times (2x). O perímetro do rectângulo pode ser expresso por: … ## Pensei num número ###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 6 Enunciado Pensei num número, multipliquei-o por 2 e ao resultado somei 8, obtendo 20. Em que número pensei? Resolução >> Resolução Desigando por y o número em que pensei, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}} 2y+8=20 & \Leftrightarrow & 2y=12 \\ {} & \Leftrightarrow & y=6 \\ \end{array}$

Portanto, pensei no número …

## A Ana e a Maria

###### Equações: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 4

A Ana e a Maria são irmãs e a soma das suas idades é igual a 35.

Qual é a idade da Ana, se a Maria é cinco anos mais nova?

Resolução >> Resolução

Designando por a a idade da Ana, temos:

• Idade da Ana: $a$