Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

A derivada da função $f$, domínio $\mathbb{R}$, é ${f’}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f’\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
1& \Leftarrow &{x > 0} \\
{2x}& \Leftarrow &{x < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Comecemos por construir um quadro de sinal da função $f’$:

Confirma-se que $f’$ muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, concluindo-se que $f$ passa de decrescente para crescente.

No entanto, repare-se que:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{ \bullet \begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1}&{}&{ \bullet f\left( 0 \right) = 1}&{}&{ \bullet \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0}
\end{array}} \\
{{\text{A função não é contínua no ponto de abcissa 0}}{\text{, pois }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right).{\text{ }}}
\end{array}\]

Assim, dos cálculos acima, conclui-se:

• ${f\left( 0 \right) = 1}$ NÃO É MÍNIMO relativo, pois $f\left( 0 \right) > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)$;
• ${f\left( 0 \right) = 1}$ NÃO É MÁXIMO relativo, pois $f$ é estritamente decrescente em $\left] { – \infty ,0} \right]$.

Portanto, a função $f$ não admite extremo relativo no ponto de abcissa $0$.

A análise do gráfico da função permite esclarecer as conclusões escritas acima:

Quanto às derivadas laterais no ponto de abcissa $0$:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f’\left( {{0^ – }} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{f\left( {0 + h} \right) – f\left( 0 \right)}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{{{\left( {0 + h} \right)}^2} + 1 – 1}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} \frac{{{h^2}}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ – }} h} \\
{}& = &0
\end{array}}&{}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{f’\left( {{0^ + }} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{f\left( {0 + h} \right) – f\left( 0 \right)}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{\left( {0 + h} \right) – 1}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \frac{{h – 1}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to {0^ + }} \left( {1 – \frac{1}{h}} \right)} \\
{}& = &{ – \infty }
\end{array}}
\end{array}\]