Acção de Formação a Distância PROF2000
AF-33 - 2004

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Círculo de Estudos
História da Matemática com o inderella

Formando
António Manuel Marques do Amaral
 E-mail: amma@mail.prof2000.pt
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Resolução da Tarefa 4

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As três primeiras proposições do Livro I dos Elementos de Euclides
Tarefa 4
Euclides de Alexandria: |A Vida| |A Obra| |As Fontes| |A Influência de Euclides|

Elementos I.1, I.2 e I.3: |Elementos| |I.1| |I.2| |I.3| |I.1.2.3| |Euclides na sala de aula|

 

Euclides de Alexandria

 

A Vida

 

Como no caso de outros grandes matemáticos Gregos, também para Euclides apenas temos escassos conhecimentos da sua vida e personalidade. A maioria do que sabemos está contido numa passagem de Proclo (411-485 d.C.), que se lhe refere, como segue:

Não muito mais novo do que estes (discípulos de Platão) é Euclides, que une os Elementos, coligindo muitos teoremas de Eudoxo (408-355 a.C.) (Eudoxus), aperfeiçoando muitos de Teeteto (417-369 a.C.) (Theaetetus), e trazendo também à demonstração irrefutável as coisas que foram provadas somente um tanto frouxamente por seus antecessores. Este homem viveu na época do primeiro Ptolomeu (323-285 a.C.) (Ptolemy). Arquimedes (287-212 a.C.) (Archimedes), que veio imediatamente depois do primeiro [Ptolomeu], faz menção de Euclides: e, mais, dizem que esse Ptolomeu  lhe perguntou uma vez se havia na geometria uma qualquer maneira mais curta do que aquela dos elementos, e ele respondeu que não havia nenhuma estrada real para a geometria. É então mais recente do que os discípulos de Platão, mas mais antigo do que Eratóstenes (276-194 a.C,) (Eratosthenes) e Arquimedes; sendo estes últimos contemporâneos, como Eratóstenes disse algures.

Esta passagem mostra que mesmo Proclo não teve conhecimento directo do lugar natal de Euclides ou da data de seu nascimento ou morte. Conclui por dedução. Como Arquimedes viveu imediatamente depois do primeiro Ptolomeu, e Arquimedes  menciona Euclides, porquanto há uma anedota entre algum Ptolomeu e Euclides, consequentemente Euclides viveu na época do primeiro Ptolomeu.

Podemos então inferir de Proclo que Euclides viveu no período compreendido entre a época dos primeiros discípulos de Platão (427-347 a.C.) e o tempo de Arquimedes. Ora, Platão morreu em 347 a.C., Arquimedes viveu entre 287-212 a.C., Eratóstenes por volta de 284-204 a.C, assim Euclides deve ter vivido por volta de 300 a.C., cuja data está em concordância com o facto de que Ptolomeu reinou de 306 a 283 a.C.

O mais provável é que Euclides tenha feito a sua aprendizagem matemática em Atenas com os discípulos de Platão; a maioria dos geómetras que o poderiam ter ensinado eram dessa escola, e ela ficava em Atenas, e ainda porque os escritores mais velhos dos elementos, e os outros matemáticos de cujos trabalhos os Elementos de Euclides dependem, aí viveram e ensinaram.

Uma coisa contudo é certa, nomeadamente que Euclides ensinou e fundou uma escola em Alexandria. Isto fica claro numa nota de Papo (290-350 d.C.) sobre Apolónio (262-190 a.C.): "ele passou um longo tempo com os discípulos de Euclides em Alexandria, e foi então que adquiriu o tal hábito do pensamento científico".

Fonte: http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0086

 


Rafael. A Escola de Atenas, 1509 (Extracto)
O artista Donato Bramante, incluído como Euclides

 

   


Euclides
(~325 - ~265 a.C.)

Está longe ainda o fim da polémica sobre a vida de Euclides. Nesta matéria, Itard (1902-1979, professor de matemática e historiador da matemática) apresenta três hipóteses possíveis.

  • Euclides foi uma personagem histórica que escreveu os Elementos e os outros trabalhos a ele atribuídos;

  • Euclides era o líder de uma equipa de matemáticos que trabalhava em Alexandria. Contribuíram todos na escrita das 'obras completas de Euclides', continuando mesmo a escrever livros sob o nome de Euclides após sua morte;

  • Euclides não foi uma personagem histórica. As 'obras completas de Euclides' foram escritas por uma equipa de matemáticos em Alexandria, que escolheu o nome Euclides a partir do conhecido  Euclides de Megara que viveu aproximadamente 100 anos mais cedo.
 


     
 

A Obra

 

Embora se tenham perdido mais de metade dos seus livros, ainda restaram, para felicidade dos séculos vindouros, os treze famosos livros que constituem os Elementos (Stoicheia). Publicados por volta de 300 a.C., aí está contemplada a aritmética, a geometria e a álgebra.

Os Elementos são - a seguir à Bíblia - provavelmente, o livro mais reproduzido e estudado na história do mundo ocidental. Foi o texto mais influente de todos os tempos, tão marcante que os sucessores de Euclides o chamavam de "elementador". Esta obra é considerada um dos maiores best-sellers de sempre. Obra admirada pelos matemáticos e filósofos de todos os países e de todos os tempos pela pureza do estilo geométrico e pela concisão luminosa da forma, modelo lógico para todas as ciências físicas pelo rigor das demonstrações e pela maneira como são postas as bases da geometria.

São raros os livros que têm sido tão editados, traduzidos e comentários como os Elementos de Euclides. Na antiga Grécia, esta obra foi comentada por Proclo (411-485), Herão (c. 10-75) e Simplício (490-560); na Idade-Média foi traduzida em latim e árabe; após a descoberta da imprensa, fizeram-se dela numerosas edições em todas as línguas europeias. A primeira destas edições foi a de Campano (1220-1296), em latim, publicada em 1482, edição usada por Pedro Nunes (1502-1578), que a citou numerosas vezes nas suas obras.
Em Portugal, publicou Angelo Brunelli em 1768 uma tradução em português dos seis primeiros livros, do undécimo e do duodécimo. Para esta tradução serviu-se da versão latina de Frederico Comandino e fê-la seguir de algumas notas com que Roberto Sinson (1687-1768) tinha ilustrado esta versão. Este livro, foi outrora muito usado nas escolas portuguesas razão pela qual se fizeram novas edições da tradução de Brunelli em 1790, 1792, 1824, 1835, 1839, 1852, 1855 e 1862.

O trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditavam que fosse obra de um só homem. Os trabalhos matemáticos que chegaram até nós foram inicialmente traduzidos para árabe, depois para latim, e a partir destes dois idiomas para outras línguas europeias.

Embora alguns conceitos já fossem conhecidos anteriormente à sua época, o que impossibilita uma análise completa da sua originalidade, pode-se considerar o seu trabalho genial. Ao recolher tudo o que então se conhecia, sistematiza os dados da intuição e substitui imagens concretas por noções abstractas, para poder raciocinar sem qualquer apoio intuitivo.

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/index.htm

 

Página de uma edição medieval dos Elementos de Euclides, que data do ano 888. Está escrito à mão (como todos os livros eram naquele tempo), e é escrito em grego.
O manuscrito é chamado de "o manuscrito de Bodleian" porque petence à Biblioteca de Bodleian, da Universidade de Oxford

 

   


Muitos outros textos são atribuídos a Euclides, dos quais se conhecem alguns títulos:

  • Divisões de superfícies;

  • Data (continha aplicações da álgebra à geometria numa linguagem estritamente geométrica);

  • Pseudaria;

  • Tratado sobre Harmonia;

  • A Divisão (continha muito provavelmente 36 proposições relativas à divisão de configurações planas);

  • Os Dados (formavam um manual de tabelas, servindo como guia de resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado);

  • Óptica (seria um estudo da perspectiva e desenvolveria uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual é o olho que envia os raios que vão até ao objecto que vemos e não o inverso);

  • Os Fenómenos (celestes) (pensa-se que Euclides  discorreria sobre Geometria esférica para utilização dos astrónomos);

  • Porismos (um dos mais lamentáveis desaparecimentos, este livro poderia conter aproximações à Geometria Analítica).
 


     
 

As Fontes

 

Nos Elementos, Euclides compilou e sistematizou muitos dos resultados matemáticos mais importantes conhecidos no seu tempo, de autoria diversa e alguns já conhecidos desde há muito tempo. Por isso, Euclides não deve ser considerado o descobridor da totalidade, nem sequer da maioria, dos teoremas ou das teorias que constituem o tratado.

Entre esses autores, destacam-se:

  • Hipócrates de Chios (~470-410 a.C.)
    Os matemáticos gregos da idade do ouro da Grécia (460 a.C - 430 a.C.) possuíam um sistema ordenado de geometria plana, em que o princípio da dedução lógica (apagoge), que permitia inferir uma afirmação a partir de outra, tinha sido inteiramente aceite. Era o início da axiomática, como é indicado pelo nome do livro supostamente escrito por Hipócrates, Elementos (Stoicheia), que é o título de todos os tratados axiomáticos gregos, incluindo o de Euclides. [1]

  • Teeteto (417-369 a.C.)
    O Livro X trata da teoria dos números irracionais e ele é na maior parte o trabalho de Teeteto. [2]

  • Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.)
    Euclides alterou as provas de vários teoremas no Livro X de modo a ajustarem-se à nova definição de proporção dada por Eudoxo. [2]

  • Teúdio de Magnésia (c. 350? a.C.)
    Cujo tratado era usado na Academia e, provavelmente, utilizado por Aristóteles. [3]

Euclides, nos Elementos, reúne num só tratado quatro grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto, a teoria dos cinco sólidos regulares, importante na cosmologia de Platão, e a teoria da semelhança de triângulos de Thales de Mileto.

 

  

ATRACTOR
Matemática Interactiva
 


     
 

A Influência de Euclides

 

Desde Platão a Kant, os filósofos viram a geometria euclideana como um tipo especial do conhecimento - perfeitamente certo, independente da experiência, ainda de algum modo útil no mundo. A geometria, então, provou a existência de um tipo de conhecimento incrivelmente poderoso, e os filósofos sentiram-se convidados a aprofundá-lo.

Com Euclides, a razão passou a ser coerciva: Qualquer pessoa sensata deve chegar às mesmas conclusões, quer ela queira ou não. Esta ideia mudou o Mundo.

Como é que conseguimos falar de coisas que nunca ninguém viu e percebê-las melhor do que os objectos reais do dia a dia? Por que razão a geometria euclidiana ainda é correcta, quando a física aristotélica já morreu há muito? O que sabemos em matemática e como o sabemos?

Com o texto em anexo [4], pretende-se dar uma perspectiva histórica da influência de Euclides no mundo ocidental.

 

Apesar da polémica sobre a vida de Euclides, o reconhecimento da influência dessa personalidade na nossa cultura tem merecido, ao longo dos tempos, a atenção de diversos artistas e povos:

 

Euclid in Verse - A prova de Elementos I.1 em verso, por Samuel Taylor Coleridge.



Emitido pelas Ilhas Maldivas,
em 10 de Janeiro de 1988
Fonte



A Escola de Atenas, por Rafael

 

 

Uma referência mais completa sobre a vida, obras e influência de Euclides no panorama Matemático, pode ser encontrada em: http://www.prof2000.pt/users/amma/af18/t1/t1.htm [4]

 

  

 

Anexo:
Da certeza à fiabilidade

Platonismo, formalismo, construtivismo [A]

A condição filosófica do matemático [B]

O mito de Euclides [C]

Fundamentos, achados e perdidos [D]

Um extracto de
A Experiência Matemática,
de Philip J. Davis e Reuben Hersh.

 

Esta é a célebre editio princeps do texto grego dos Elementos, pelo teólogo alemão Simão Grynaeus (fal. 1541). Não é ainda uma questão definitivamente resolvida a que se refere à competência de Pedro Nunes em grego, o que se prende sobretudo com a escassez de informações relativas aos seus anos de formação, e com o facto de as fontes gregas que usou nos seus trabalhos existirem em versões latinas na altura em que escreveu. No entanto, levando em consideração a época em que viveu e a amplidão das suas competências, é provável que dominasse também o grego. Seja como for, o que não oferece qualquer dúvida é que os Elementos de Euclides foram, a par com o Almagesto de Ptolomeu, as duas mais importantes obras usadas por Pedro Nunes e por ele abundantemente citadas.

[Fontes de Pedro Nunes]

BN S.A. 708 A. - Nota manuscrita: "Orontius Fineus Delphinas hoc sibi comparavit exemplar. 1533"; Pert.: "Louys de Machault 1613"; "Jehan Chartier 1629". - Notas marginais manuscritas. - Encadernação em pele, sobre pastas de cartão, com ferros gravados a ouro na lombada com vestígios de acção de insectos.
 
     


     

 

 

Elementos I.1, I.2 e I.3

 

Elementos

 

Os matemáticos gregos da idade do ouro da Grécia (460 a.C - 430 a.C.) possuíam um sistema ordenado de geometria plana, em que o princípio da dedução lógica (apagoge), que permitia inferir uma afirmação a partir de outra, tinha sido inteiramente aceite. Era o início da axiomática, como é indicado pelo nome do livro supostamente escrito por Hipócrates, Elementos (Stoicheia), que é o título de todos os tratados axiomáticos gregos, incluindo o de Euclides.[1]

Segundo Proclo, os gregos antigos definiam os "elementos" de um estudo dedutivo como os teoremas-mestre, de uso geral e amplo no assunto. Euclides, no livro Os Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos e sessenta e cinco proposições dessas dez afirmações. Certamente um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação da forma postulacional de raciocínio. [5]

Nos Elementos, após as premissas iniciais aparecem as proposições divididas em dois tipos: os problemas e os teoremas. A proposição I.1 é precisamente um problema:

       Sobre uma linha recta determinada, descrever um triângulo equilátero    

Para uma referência mais detalhada, consulte a secção Elementos [4].

 

   


Hipócrates
(~470 - ~410 a.C.)

 

  


     
 

I.1

 
Problema 1: Sobre um segmento de recta [AB], construir um triângulo equilátero [ABC].

Construção:
Consideremos um qualquer segmento de recta [AB] (Post.1).
Construamos a circunferência de centro em A e que passa em B (Post.3); construamos ainda a circunferência de centro em B e que passa em A (Post.3).
Tracemos agora os segmentos de recta [CA] e [CB], desde o ponto C (onde as circunferências se intersectam) até aos pontos A e B, respectivamente (Post.1).
O triângulo [ABC] assim encontrado é a solução do problema.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Ficheiro Cdy: P1

Notas:

i)

Na resolução destes três problemas, a versão utilizada dos Elementos de Euclides é a de David Joyce (língua inglesa). Esta versão foi traduzida para catalão por Jaume Domenech Larraz ( http://www.euclides.org/).

ii)

 O  texto desta versão de Joyce é semelhante à edição de Heath, que a traduziu da edição definitiva em Grego de Heiberg, mas de forma menos literal para a tornar mais clara.
O texto da tradução de Heath dos Elementos de Euclides está disponível on-line em Perseus Project, Tuft's University.

 

    

 

Prova:
Como A é o centro da circunferência primeiro construída, então [AB] e [AC] são iguais (Def.15).
De igual modo, considerando a circunferência de centro em B, serão também iguais [AB] e [BC] (Def.15).
Sendo [AC] igual a [AB] e [BC] igual a [AB], então [AC] é também igual a [BC] (NC1).
Logo, os três segmentos, [AB], [BC] e [AC], são iguais entre si e, consequentemente, o triângulo [ABC], construído sobre [AB], é equilátero (Def.20).

 


David E. Joyce


http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/
java/elements/elements.html

I'm creating this version of Euclid's Elements for a couple of reasons. The main one is to rekindle an interest in the Elements, and the web is a great way to do that. Another reason is to show how Java applets can be used to illustrate geometry. That also helps to bring the Elements alive.
 


     
 

I.2

 
Problema 2: Dado um ponto A e um segmento de recta [BC], construir um ponto F tal que o segmento [AF] é congruente com [BC].

Construção:
Tracemos o segmento [AB] (Post.1) e sobre este segmento construamos o triângulo equilátero [ADB] (I.1).
Prolonguemos os segmentos [DA] e [DB] nas semi-rectas DA' e DB', respectivamente (Post.2).
Com centro em B e passando por C construamos a circunferência c1 (Post.3) e designemos por E a sua intersecção com a semi-recta DB'.
Com centro em D e passando por E construamos a circunferência c2 (Post.3) e designemos por F a sua intersecção com a semi-recta DA'.
O ponto F assim encontrado é a solução do nosso problema.

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Ficheiro Cdy: P2

 

   

 

Prova:
Dado que o ponto B é o centro da circunferência c1, então os segmentos [BC] e [BE] são iguais (Def.15).
Também, como o ponto D é o centro da circunferência c2, então os segmentos [DE] e [DF] são iguais.(Def.15).
E nestes últimos segmentos ([DF] e [DE]), [DA] e [DB] são iguais, logo o resto [AF] iguala o resto [BE] (NC3).
[BC] e [BE] são iguais, logo cada um dos segmentos [AF] e [BC] iguala o segmento [BE]. E como coisas iguais a uma terceira são iguais entre si, então o segmento [AF] é igual ao segmento [BC] (NC1).
Portanto, o segmento [AF] iguala o segmento [BC] dado, tendo sido colocado com a extremidade no ponto dado A.

 

  


     
 

I.3

 
Problema 3: Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta [CD], construir um ponto E na semi-recta AB de modo que os segmentos [AE] e [CD] sejam congruentes.

Construção:
Construamos o segmento [AF'], colocado em A e congruente com [CD] (I.2).
Construamos a circunferência c3, com centro em A e raio [AF'] (Post.3).
O ponto E, intersecção de c3 com o segmento [AB], é o ponto desejado.

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Ficheiro Cdy: P3

 

   

 

Prova:
Como o ponto A é o centro da circunferência c3, então são iguais os segmentos [AE] e [AF'] (Def15).
Mas os segmentos [CD] e [AF'] são iguais, logo são iguais os três segmentos e, portanto, [AE] é igual a [CD] (NC1).

 

 

 

  


     
 

I.1.2.3

     

 

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Ficheiro Cdy: P123

 

  

 

I.1: Sobre um segmento de recta [AC], construir um triângulo equilátero [ACP].
I.2: Dado um ponto A e um segmento de recta [CD], construir um ponto F tal que o segmento [AF] é congruente com [CD].
I.3: Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta [CD], construir um ponto E na semi-recta AB de modo que os segmentos [AE] e [CD] sejam congruentes.

 

  


 

  

 

  
 

Euclides na sala de aula

     

 

O ponto de partida para a actividade apresentada a seguir é uma referência histórica intitulada Um pouco de História, constante no manual INFINITO 10A, Areal Editores, Volume 1, pág. 64.

Nesse texto é referido que «o nome de Euclides ficou na História da Ciência, para sempre associado à primeira concepção de Geometria como um conjunto sistematizado e lógico de propriedades. Muitas dessas propriedades eram já usadas anteriormente, de forma dispersa e com objectivos, tanto utilitários como de mero prazer intelectual ou artístico, por outras civilizações (babilónia, egípcia, chinesa); mas Euclides organizou-as de forma lógica e demonstrou-as, tomando como ponto de partida um conjunto reduzido de proposições que toma como verdadeiras sem necessitarem de demonstração e a que se chama axiomas ou postulados».

Pretendendo-se que os alunos se apercebam como Euclides organizou essas propriedades de forma lógica e as demonstrou, tomando como ponto de partida um conjunto reduzido de proposições que toma como verdadeiras sem necessitarem de demonstração, deseja-se com esta actividade que os alunos resolvam os três primeiros problemas do Livro I.

 

Ficha de Trabalho (HTML) Versão PDF



Documentos auxiliares que surgem durante a resolução da Ficha de Trabalho:
Versão reduzida dos dois documentos sobre os Elementos de Euclides Versão PDF

Elementos I.1 (HTML)

Versão PDF

Elementos I.2 (HTML)

Versão PDF

Elementos I.3 (HTML)

Versão PDF
Exercício Elementos I.1 (HTML)
Exercício Elementos I.2 (HTML)
Exercício Elementos I.3 (HTML)

 

  

 

 

  


     
     

 

 

Bibliografia

 

Alguma referência bibliográfica

 

[1] Struik, J. Dirk, História Concisa das Matemáticas, Ciência Aberta, n.º 33, Gradiva, pág 76

[2] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.html

[3] http://www.acmi.net.au/AIC/EUCLID_BIO.html

[4] Documento elaborado no âmbito do Círculo de Estudos Episódios da História da Matemática na Antiga Grécia:Trissecção do Ângulo e Duplicação do Cubo

[5] http://www.matematica.br/historia/euclides.html

[A] Davis, Philip J. e Hersh, Reuben, A Experiência Matemática, Ciência Aberta, n.º 75, pág. 299-301

[B] Davis, Philip J. e Hersh, Reuben, A Experiência Matemática, Ciência Aberta, n.º 75, pág. 3001-302

[C] Davis, Philip J. e Hersh, Reuben, A Experiência Matemática, Ciência Aberta, n.º 75, pág. 303-309

[D] Davis, Philip J. e Hersh, Reuben, A Experiência Matemática, Ciência Aberta, n.º 75, pág. 309-310

 

      

 

 

Actualizada em
 08-11-2004