Acção de Formação a Distância PROF2000
AF-33 - 2004

Ano

Pág.

Secção

Referência

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1. Introdução

Como temas transversais consideram-se as formas de organizar o pensamento e as actividades de resolução de problemas, as aplicações e a modelação matemática, aspectos da história da matemática, da comunicação matemática e da utilização da tecnologia. Não podem nem devem ser localizadas temporalmente na leccionação e muito menos num determinado ano de escolaridade, antes devem ser abordadas à medida que forem sendo necessárias e à medida que for aumentando a compreensão sobre os assuntos em si, considerando sempre o sentido de oportunidade, as vantagens e as limitações.

Em muitos aspectos, a organização dos temas e as indicações metodológicas integram informações sobre a oportunidade de abordar questões de experimentação no ensino da matemática, de integrar o recurso à tecnologia, de abordar conceitos de lógica e raciocínio, de incorporar a história da matemática assim como informações sobre novos tipos de instrumentos de avaliação.

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2.2 Objectivos e competências gerais

Conhecimentos

Conhecer aspectos da História da Matemática:

Conhecer personalidades e aspectos da criação e desenvolvimentos de alguns conceitos dentro da História da Matemática e sua relação com momentos históricos de relevância cultural ou social.

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2.4 Sugestões Metodológicas Gerais

Perspectiva Histórico-cultural

Actividades com uma perspectiva histórica humanizam o estudo da disciplina, mostrando a Matemática como ciência em construção e em constante interacção com outras ciências.

Proporcionam também excelentes oportunidades para pesquisa de documentação. A informação sobre a génese e o percurso de um conceito ao longo dos tempos e a sua relação com o progresso da humanidade pode fomentar, ou aumentar, o interesse pelo tema em estudo, ao mesmo tempo que constitui uma fonte de cultura. Segundo D. J. Struik, o autor do livro “História Concisa das Matemáticas”, o uso da História da Matemática na aula é muito importante porque:

·          satisfaz o desejo de saber como se originaram e desenvolveram os assuntos em matemática;

·          o estudo dos autores clássicos pode proporcionar grande satisfação por si só, mas também pode ser útil no ensino e na investigação;

·          ajuda a compreender a nossa herança cultural, não apenas pelas aplicações que a matemática tem tido, e ainda tem, à astronomia, física e outras ciências, mas também pela relação que tem tido, e continua a ter, com campos tão variados como a arte, a religião, a filosofia e os ofícios;

·          oferece um campo de discussão comum com estudantes e professores de outras áreas;

·          permite temperar o ensino e as conversas com algumas peripécias.

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2.4.1 Avaliação

Em particular recomenda-se fortemente que, em cada período, mais do que um dos elementos de avaliação seja obrigatoriamente uma redacção matemática (sob a forma de resolução de problemas, demonstrações, composições/reflexões, projectos, relatórios, notas e reflexões históricas ou outras) que reforce a importante componente da comunicação matemática (o trabalho pode ser proveniente de um trabalho individual, de grupo, de um trabalho de projecto ou outro julgado adequado). No corpo do programa aparecem muitas referências que poderão propiciar a utilização de novos instrumentos de avaliação.

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3. Desenvolvimento do Programa

3.1 Temas Transversais

O trabalho com aspectos da História da Matemática é fundamental e deve ser realizado com os mais diversos pretextos. Ao longo do programa dão-se algumas pistas para esse trabalho, que amplia a compreensão dos assuntos matemáticos com os dados da sua génese e evolução ao longo do tempo.

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3. Desenvolvimento do Programa

3.1 Temas Transversais

História da Matemática – Indicações Metodológicas

A utilização de exemplos históricos ou a referência à evolução de conceitos matemáticos ajudará os estudantes a apreciar o contributo da Matemática para a compreensão e resolução de problemas do Homem através do tempo. Algumas situações sugeridas: polinómios em Pedro Nunes, história do Cálculo Diferencial, história dos números complexos. Nas brochuras de apoio ao programa podem ser encontrados muitos exemplos interessantes: origens da geometria (Geometria 10^o, pg 34-39), evolução das máquinas de calcular (Funções 10^o, pg 28), função logarítmica (Funções 12^o, pg 60-62), a régua de cálculo (Funções 12^o, pg 66-69), história do teorema fundamental da álgebra (Trigonometria e números complexos, pg 79-84), etc.

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Bibliografia

Oliveira, P. (2000). Brevíssima História dos Números Complexos. História da Matemática - Cadernos do GTHEM - 2 APM. Lisboa: APM.

A história dos complexos é uma referência obrigatória para a leccionação do tema.

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Bibliografia

Struik, D. História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva.

Este livro é uma referência clássica na História da Matemática, recomendando-se a segunda edição por conter um anexo relativo à História da Matemática em Portugal.

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Bibliografia

Veloso, Eduardo (1998). Geometria - Temas actuais – Materiais para professores Col. ”Desenvolvimento curricular no Ensino Secundário”, vol. 11. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional

Este texto é uma ferramenta indispensável para qualquer pessoa que queira ensinar seriamente Geometria em Portugal. É uma obra que cobre inúmeros temas de Geometria elementar (e menos elementar) e contém um manancial de sugestões de trabalho para abordar os diferentes aspectos da Geometria. São de salientar os muitos exemplos de História da Matemática que ajudam a perceber a importância que a Geometria desempenhou na evolução da Matemática, ao mesmo tempo que fornecem excelentes exemplos para uso na sala de aula ou como proposta de trabalho para clubes de matemática ou ainda para estudantes mais interessados. É altamente recomendável a leitura do capítulo I que foca a evolução do ensino da geometria em Portugal e no resto do mundo e ajuda a perceber a origem das dificuldades actuais com o ensino da Geometria. A tecnologia é usada de forma ”natural” para ”resolver - ou suplementar a resolução de - problemas, proceder a investigações, verificar conjecturas, etc.” Este livro tem já um ”prolongamento” na Internet no endereço
http://www.iie.min-edu.pt/edicoes/livros/cdces/cdces11/index.htm.

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Bibliografia

Vieira, A.; Veloso, E.; Lagarto, M. J. (org.).(1997) Relevância da História no Ensino da Matemática. História da Matemática - Cadernos do GTHEM - 1 APM. Lisboa: APM.

Este livro contém a tradução de três textos essenciais para quem queira reflectir nas vantagens de uso da História da Matemática na sala de aula: ”Porquê estudar História da Matemática” de Dirk Struik, ”A utilização da História em Educação Matemática” de John Fauvel e ”Quer dar significado ao que ensina? Tente a História da Matemática” de Frank Swetz.

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CD-ROM

Fiolhais, C.; Paiva, J. (coord).(1998).CD-ROM – Omniciência 98 Coimbra: Soft-Ciências.

Este CD contém dois programas de Matemática (relacionados com trigonometria e fractais), vários programas de Física com interesse para a Matemática (como o programa Kepler que simula o movimento de estrelas e planetas) e vários textos relacionados com a História da Matemática.

Ano

Pág.

Secção

Referência

10.º

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Tema I – Geometria no Plano e no Espaço I

A exploração de programas computacionais pode ajudar eficazmente o estudante a desenvolver a percepção dos objectos do plano e do espaço e a fazer conjecturas acerca de relações ou acerca de propriedades de objectos geométricos. Devem dar-se a conhecer problemas históricos e propor ao estudante a resolução de pelo menos um. Será também conveniente dar a conhecer um pouco da História da Geometria à qual estão ligados os nomes dos maiores matemáticos de todos os tempos (Euclides, Arquimedes, Newton, Descartes, Euler, Hilbert, entre muitos outros).

Os conhecimentos dos estudantes sobre transformações geométricas devem ser tidos em consideração para serem utilizados e ampliados na resolução de problemas concretos.

Mesmo quando o estudante resolve um problema por via analítica o professor deve incentivá-lo a fazer uma figura geométrica de modo a tirar proveito da visualização do problema e a desenvolver a sua capacidade de representação, ou seja, não se deve deixar que o estudante se limite à resolução exclusiva de equações e à utilização de fórmulas. Para além disso o estudante deve descrever sempre com algum detalhe o processo utilizado, justificando-o adequadamente.

Devem apresentar-se aos estudantes problemas que possam ser resolvidos por vários processos (perspectiva sintética, geometria analítica, transformações geométricas, utilização de programas de geometria dinâmica, perspectiva vectorial).

Devem explorar-se sempre que possível as conexões da Geometria com outras áreas da Matemática e o seu desenvolvimento deve prolongar-se noutros temas.

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Tema I – Geometria no Plano e no Espaço I

Resolução de problemas de Geometria no plano e no espaço

Alguns tópicos que poderão ser estudados na resolução de problemas ou em investigações:

– estudo das secções determinadas num cubo por um plano;

– poliedros obtidos por truncatura de um cubo;

– composição e decomposição de figuras tridimensionais;

– um problema histórico e sua ligação com a História da Geometria.

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Tema II - Funções e Gráficos. Funções polinomiais. Função módulo.

(*) Referência breve à parábola, a algumas das suas principais propriedades e à sua importância histórica.

Esta referência breve não pressupõe nenhuma propriedade em particular mas antes que os estudantes fiquem com uma visão culturalmente mais completa do assunto.

Ano

Pág.

Secção

Referência

11.º

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Tema I - Geometria no Plano e no Espaço II

Resolução de problemas que envolvam triângulos

No ensino básico, os estudantes tiveram contacto com a semelhança de triângulos e com a trigonometria, logo o professor deve propor, agora, problemas variados, ligados a situações concretas, que permitam recordar e aplicar métodos trigonométricos (problemas ligados a sólidos, a moldes, à navegação, a topografia, históricos,...) bem como aperceberem-se da importância da Trigonometria para as várias Ciências.

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Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II. Funções racionais e com radicais. Taxa de Variação e Derivada

(*) Referência à hipérbole;

informação das suas principais propriedades e da sua importância histórica.

Ano

Pág.

Secção

Referência

12.º

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Tema I – Probabilidades e Combinatória

As probabilidades fornecem conceitos e métodos para estudar casos de incerteza e para interpretar previsões baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental, fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma crítica, toda a comunicação que utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estatística. As técnicas de contagem que aqui aparecem como auxiliar do cálculo de probabilidades constituem uma aprendizagem significativa por si só, especialmente se desenvolverem mais as capacidades do raciocínio combinatório e as conexões matemáticas e menos a aplicação das fórmulas. Considera-se ainda que o tema das Probabilidades constitui uma boa oportunidade para a introdução de uma axiomática, uma das formas de organizar uma teoria matemática, permitindo que os estudantes tenham uma melhor compreensão do que é a actividade demonstrativa em Matemática. Finalmente, qualquer destes assuntos é bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos da História da Matemática. Saliente-se que há muitos exemplos históricos interessantes no cálculo de probabilidades. É aconselhável a leitura da brochura de apoio a este tema.

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Tema I – Probabilidades e Combinatória

Análise Combinatória

Pascal, Tartaglia e Laplace são exemplos ”interessantes” para realizar incursões na história dos conceitos matemáticos, na vida dos matemáticos, nas ligações da Matemática com outros ramos de saber e actividade. É importante referir que muitos resultados de contagens já eram conhecidos anteriormente noutras civilizações (por exemplo, o triângulo de Pascal era conhecido na China vários séculos antes de Pascal)

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Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II

Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico

Os estudantes poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo de História do Cálculo Diferencial referindo o trabalho de alguns matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastácio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. É obrigatória a referência a José Anastácio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco de história da Matemática em Portugal desde o tempo dos descobrimentos até à actualidade.

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Tema III –Trigonometria e Números Complexos

Complexos

A introdução dos complexos deve ser ancorada numa pequena abordagem histórica, do ponto de vista dos problemas/escolhos que foram aparecendo no desenvolvimento dos estudos matemáticos. Os estudantes podem realizar trabalhos sobre a extensão do conceito de número e sobre problemas de resolubilidade algébrica, quer do ponto de vista histórico, quer do ponto de vista da sua experiência com anteriores desenvolvimentos. Será interessante a referência à impossibilidade da extensão a C de uma ordenação compatível com a adição e a multiplicação.