Acção de Formação a Distância PROF2000
AF-33 - 2004

Referências à História da Matemática
  (em Programas de Matemática)

Não poderemos pensar em levar a história da matemática para a sala de aula, de forma significativa, se os programas oficiais não fomentarem esse facto. Muito docentes referem que a bibliografia sobre história da matemática é escassa, que não existe  formação de professores  e que a maior parte dos manuais escolares pouca ou nenhumas referências fazem à História da Matemática. Não vamos confirmar ou contrariar estes factos, mas colocar "mãos à obra" e tentar levar a história da matemática para a sala de aula. Não esqueçamos o que está escrito no programa desta acção:
  (...) Neste círculo de estudos, pretendemos fomentar a utilização do programa de geometria dinâmica Cinderella na integração da história da matemática, em particular da geometria, na sala de aula. É reconhecido internacionalmente que a introdução na sala de aula dos programas de geometria dinâmica tem sido muito profícua na aprendizagem da matemática. Não será este um meio eficaz para uma melhor implementação da história da matemática na sala de aula?
     Por estes factos, este círculo de estudos tem a sua origem num “problema” em comum: analisar/estudar a eficácia da utilização de um programa de geometria dinâmica para concretizar episódios da história da matemática na sala de aula. (...)

   Antes de realizar essa tarefa (será a tarefa 7, ainda a propor) - utilizar o Cinderella para concretizar episódios da história da matemática na sala de aula (não terá já sido isso que se pretendia com a tarefa 5 - entrar com a história como fundo, como forma para os conceitos!) vamos analisar as referências que fazem os programas oficiais à história da Matemática.

    TAREFA 6: Cada formando deve escolher o programa de um dos anos que esteja a leccionar e procurar as referências sobre utilização da história da matemática na sala de aula.  O resultado da sua procura deve ser publicado até à próxima sessão ou durante essa sessão (uma pequena parte da sessão 7 será para conclusão desta tarefa).

Retirado de Tarefa 6

Retirado de Tarefa 7

Os historiadores estão de acordo em situar o começo da actividade matemática grega na Jónia. Esta região da Ásia Menor teve contactos comerciais com o Egipto e com a Mesopotâmia pelo menos desde o século VIII a.C., mas não está provado que, por virtude desses contactos, a matemática grega tenha evoluído a partir das matemáticas orientais. Na opinião de alguns historiadores, a aritmética e a geometria gregas são o natural prosseguimento dos saberes congéneres egípcios e mesopotâmicos. Para outros, pelo contrário, a matemática grega é uma manifestação cultural de profunda originalidade, com motivações, objectivos e métodos novos.

O primeiro nome dum grego associado à matemática é o de Tales de Mileto, que terá vivido na primeira metade do século VI a.C.. O relato histórico de Eudemo-Proclo apresenta-o como tendo introduzido, na Grécia, a geometria (ou medida da terra) praticada no vale do Nilo:

Tales, que tinha estado no Egipto, foi o primeiro a trazer essa teoria para a Grécia; ele próprio descobriu muitas coisas e ensinou os princípios de muitas delas aos seus sucessores, tratando umas de modo mais geral e outras de modo mais sensível.

A afirmação de Proclo de que Tales «ensinou» geometria «aos seus sucessores» leva a associar o sábio de Mileto à criação, no século VI a.C., duma escola jónica de matemática.

Para além da previsão dum eclipse solar e da medição da altura duma pirâmide (ou dum obelisco) no Egipto, feitos que teriam impressionado profundamente os seus contemporâneos, a tradição atribui a Tales a descoberta de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale dois rectos, de que os ângulos da base de qualquer triângulo isósceles são iguais, de que os ângulos que se podem inscrever em semicircunferências são os rectos e do caso ângulo-lado-ângulo de congruência de triângulos.

Estes resultados revelam preocupações intelectuais bem diferentes das dos egípcios e dos mesopotâmicos. Não são enunciados de meras regras práticas aplicadas a casos particulares, mas sim formulações gerais de índole teórica. Certamente que seria apresentado algum tipo de justificação para os resultados geométricos obtidos, embora não seja de crer que Tales ou algum dos seus contemporâneos estivesse em condições de fornecer uma demonstração de qualquer delas. É natural supôr que a argumentação fosse uma repetição aproximada do processo de descoberta, com grande predomínio da intuição visual sobre a dedução lógica.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 226-227)

• A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais;

• A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais;

• A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;

• A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois retos;

• Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

Fonte

Segundo Diógenes Laércio (biógrafo do século III d.C.), Tales ter-se-ia limitado a aguardar um momento em que os objectos projectam sombras iguais às suas alturas; num instante desses, a altura duma pirâmide também é igual ao comprimento da respectiva sombra.

Este modo de proceder sugere certos conhecimentos acerca de triângulos isósceles, nomeadamente a proposição recíproca duma acima referida: se dois ângulos internos dum triângulo forem iguais então o triângulo é isósceles. Também é certo que pode tratar-se apenas duma «indução, após medições efectivas num número considerável de casos» (Heath, 1981, I, pp. 129, 130). Dada a inexistência de documentos matemáticos dessa época, é impossível ter certezas sobre o que os geómetras jónios do século VI a.C. sabiam acerca de triângulos isósceles, mas a tradição atribui à escola jónica uma tendência para a justificação racional de saberes empíricos ancestrais.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 227)

http://www.matematica.br/historia/calpiramide.html

O Cálculo da altura das pirâmides

Fonte

Também é tradicionalmente atribuído a Tales o caso ângulo-lado-ângulo de congruência de triângulos que, quase de trezentos anos mais tarde, com Euclides, aparece como proposição Elementos I, 26; no seu comentário a este resultado do tratado de Euclides, Proclo de Lícia diz:

(...) Eudemo, nas suas Histórias geométricas, atribui o presente teorema a Tales; pois, declara ele, é necessário usar este teorema para saber a distância dos barcos no mar da maneira que foi mostrada por Tales.

O modo como Tales calculou a distância dum navio à costa pode não ter constituído uma inovação, mas a afirmação de Eudemo de Rodes leva a supor que Tales terá sido o primeiro a justificá-lo. É possível que se esteja em presença de mais um caso de generalização e de teorização a partir de dados empiricamente conhecidos, como parece ter sido timbre da escola jónica.

Um possível procedimento para calcular a distância dum navio à costa, desde que nesta existisse uma torre, utilizaria um instrumento consistindo duma vara, à qual estava articulado um ponteiro que era possível fixar de modo a fazer com ela qualquer ângulo que se desejasse. A vara era colocada em posição vertical no cimo da torre. À vista dum navio, o ponteiro era apontado na sua direcção e fixado (isto é, o ângulo que definia com a vara deixava de poder variar); seguidamente, o dispositivo era rodado de modo a apontar para a costa. O local da costa ( acessível, em princípio) indicado pelo ponteiro nesta segunda posição estaria tão afastado da base da torre como esta do navio. (Heath, 1908, I, p. 305).

Medição da distância dum navio à costa

Deste modo, são considerados dois triângulos (não complanares), ABC e ABC' (ver figura), tendo iguais os ângulos em A (por o ponteiro ter sido fixado) e os ângulos em B (por a torre ser perpendicular ao solo ), e tendo em comum o lado AB (correspondente à torre). Pode concluir-se que o lado BC do primeiro triângulo (a distância do navio à costa) é igual ao lado BC' do segundo triângulo (uma distância na terra firme).

Não se sabe se os três casos de congruência de triângulos seriam reconhecidos pelos geómetras jónicos. O caso ângulo-lado-ângulo não é menos complicado do que os outros dois. Portanto, se Tales (ou algum seu contemporâneo) tiver observado que um lado e os dois ângulos adjacentes bastam para determinar um triângulo então poderá não lhe ter escapado que um triângulo também fica determinado quer por dois lados e o ângulo por eles formado, quer pelos três lados.

É provável que alguma eventual justificação destas ou doutras descobertas da geometria jónica assentasse, de modo essencial, na ideia de movimento: dados dois triângulos com certos elementos iguais, um deles era deslocado de modo a fazer coincidir os referidos elementos de ambos os triângulos; era então observado que os outros elementos dos triângulos também coincidiam, pelo que os dois triângulos se sobrepunham exactamente.

Desde muito cedo, os matemáticos sentiram desagrado pela intervenção, em considerações de geometria elementar, do conceito de movimento. Mas não foi fácil encontrar uma alternativa. Mais de duzentos anos depois de Tales ter vivido, na passagem do século IV para o século III a.C., Euclides ainda recorreu a esse conceito para provar dois dos casos de congruência de triângulos. Em finais do século XIX, Hilbert considerou parte do caso lado-ângulo-lado de congruência de triângulos como um postulado: dados dois triângulos ABC e A'B'C', se os lados AB e AC, do primeiro, forem iguais aos lados A'B' e A'C', do segundo, e se os ângulos BAC e B'A'C' forem iguais então os ângulos ABC e A'B'C' também são iguais.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 228-229)

Thales of Miletus

(i) A circle is bisected by any diameter. (ii) The base angles of an isosceles triangle are equal. (iii) The angles between two intersecting straight lines are equal. (iv) Two triangles are congruent if they have two angles and one side equal. (v) An angle in a semicircle is a right angle.

What is the basis for these claims? Proclus, writing around 450 AD, is the basis for the first four of these claims, in the third and fourth cases quoting the work History of Geometry by Eudemus of Rhodes, who was a pupil of Aristotle, as his source. The History of Geometry by Eudemus is now lost but there is no reason to doubt Proclus. The firth theorem is believed to be due to Thales because of a passage from Diogenes Laertius book Lives of eminent philosophers written in the second century AD:

Pamphile says that Thales, who learnt geometry from the Egyptians, was the first to describe on a circle a triangle which shall be right-angled, and that he sacrificed an ox (on the strength of the discovery). Others, however, including Apollodorus the calculator, say that it was Pythagoras.

A deeper examination of the sources, however, shows that, even if they are accurate, we may be crediting Thales with too much. For example Proclus uses a word meaning something closer to 'similar' rather than 'equal- in describing (ii). It is quite likely that Thales did not even have a way of measuring angles so 'equal- angles would have not been a concept he would have understood precisely. He may have claimed no more than "The base angles of an isosceles triangle look similar". The theorem (iv) was attributed to Thales by Eudemus for less than completely convincing reasons. Proclus writes:

[Eudemus] says that the method by which Thales showed how to find the distances of ships from the shore necessarily involves the use of this theorem.

Other scholar give three different methods which Thales might have used to calculate the distance to a ship at sea. The method which he thinks it most likely that Thales used was to have an instrument consisting of two sticks nailed into a cross so that they could be rotated about the nail. An observer then went to the top of a tower, positioned one stick vertically (using say a plumb line) and then rotating the second stick about the nail until it point at the ship. Then the observer rotates the instrument, keeping it fixed and vertical, until the movable stick point at a suitable point on the land. The distance of this point from the base of the tower is equal to the distance to the ship.

Although theorem (iv) underlies this application, it would have been quite possible for Thales to devise such a method without appreciating anything of 'congruent triangles'.

As a final comment on these five theorems, there are conflicting stories regarding theorem (iv) as Diogenes Laertius himself is aware. Also even Pamphile cannot be taken as an authority since she lived in the first century AD, long after the time of Thales. Others have attributed the story about the sacrifice of an ox to Pythagoras on discovering Pythagoras' theorem. Certainly there is much confusion, and little certainty.

Fonte

Depois da proporcionalidade numérica, a proporcionalidade geométrica surge no programa de Matemática do 7.º ano de escolaridade com o tema Semelhança de figuras:

Ainda que neste tema o programa não faça qualquer referência à História da Matemática, a maioria dos manuais escolares contém uma ou outra nota sobre Tales de Mileto e à suposta medição da altura de uma das Pirâmides do Egipto.

Aproveitando a nota histórica constante do manual Matemática 7, Areal Editores, página 82, a presente ficha de trabalho contém algumas actividades que abordam alguns dos itens previstos neste tema: ampliação e redução de figuras, polígonos semelhantes, processos práticos de ampliação e redução, e triângulos semelhantes.

A ficha de trabalho não se destina a uma única utilização para um dado espaço temporal, mas sim para funcionar como um guião que levará à exploração da generalidade dos itens previstos no programa para o tema Semelhança de figuras (devendo ser complementada com outras actividades e problemas) e tem a seguinte estrutura:

• 1.ª Parte - Tales de Mileto

• 2.ª Parte - Figuras semelhantes

• 3.ª Parte - Polígonos semelhantes

• 4.ª Parte - Processos de ampliação e redução de figuras

• 5.ª Parte - Triângulos semelhantes (e sua área) e Tales de Mileto

• 6.ª Parte - A distância de um navio à costa

Para concretizar esta ficha de trabalho (além de outros vários recursos) é necessário equipamento informático com acesso à Internet, sendo recomendável dispor de um projector de vídeo na sala de aula para ser possível efectuar algumas sínteses e pontos de encontro.

Ainda que a história da matemática subjacente nesta ficha de trabalho não seja preponderante (tentou fazer-se o possível), fomenta-se a utilização do programa de geometria dinâmica Cinderella na integração da geometria na sala de aula.

Filósofo e Matemático francês, uma das maiores personalidades na história do pensamento e fundador da filosofia moderna. 

Nasceu em La Haye, Touraine em 1596 e morreu em Estocolmo em 1650. Filho de uma  família nobre, entrou em 1604 para o colégio dos jesuítas de La Flêche, recém fundado por Henrique IV. Cedo despertou nele o entusiasmo pela matemática e antipatia pela filosofia escolástica, antipatia que se pode dizer simbolizada pelo seu nome.

Assim que saiu do colégio, a família fez com que se dedicasse ao exercício das armas.

Em Paris, estabeleceu contactos com Mersenne, que conhecera em La Flêche e que unia aos estudos teológicos o amor às ciências. Aos 21 anos entrou como voluntário para o exército de Maurício de Nassau na Holanda. Depois de ter servido contra a Espanha nos Países Baixos, passou ao serviço do Duque da Baviera contra os protestantes, ocupando-se sempre, sobretudo, de conhecer os homens e as coisas. Depois de uma nova campanha, a da Hungria, empreendeu uma série de viagens. 

Em 1628 assistiu como voluntário ao cerco de La Rochelle, e em Março de 1629, com a idade de 33 anos, retirou-se para a Holanda, país onde poderia gozar de maior liberdade de pensamento e que considerava como o mais favorável para uma vida consagrada para os estudo. Este retiro, que durou até 1649 foi interrompido por uma viagem à Inglaterra, por outra à Dinamarca e por três visitas à pátria.

Chamado a Estocolmo pela Rainha Cristina, ali morreu em 1650. Em carta a Mersenne em 1636 fala-lhe em fazer imprimir as sua obras com este título geral: Projecto de uma ciência universal que possa elevar a nossa natureza ao seu máximo grau de perfeição; contendo além disso a dióptrica, os meteoros, e a geometria, em que se expõem as mais curiosas matérias que o autor pôde encontrar, dando-se uma amostra da ciência universal que propõe, da sorte que a possam entender até os que a não estudaram.

Na verdade publicaram-se no ano seguinte em Leide, com o título: Discours de la méthode pour bien conduire as raison et chercher la verité das les sciences; plus la Dioptrique, les Méteores e la Geométrie, qui sont des essais de cette méthode.

Sequiram-se as Meditationes de prima philosophia (1641), reeditadas em 1642 com respostas às objecções que lhe haviam sido apresentadas. 

A tradução francesa desta obra, foi feita pelo Duque de Ligues, intitulou-se Les meditations métaphysiques (1697). Publicou ainda: Princípio philosophial (1644), obra traduzida para françês pelo Abe Picot, e por fim o Traité des passions des l´âimeis (1649).

Depois da sua morte editaram-se outras coisas, entre os quais, as incompletas Regulae ad diretionem ingenii, traduzidas em françês por Cousin com o título Regles pour la direction de l'espirit. Destas obras, existem em português: O discurso do método e o Tratado das paixões por Newton de Macedo (Lisboa, Editora Sá da Costa, 1937) e as Meditações metafísicas por António Sérgio (Coimbra, Imprensa da Universidade, 1930). 

Poder-se-ia dizer que Descartes é acima de tudo um matemático, e que é mais um espírito da matemática que faz a metafísica (como Platão) do que um filósofo que se dedica à matemática e à física. 

Por isso a sua filosofia pretende ser uma espécie de matemática generalizada, constituindo ambição sua a de aplicar o método geométrico na criação de uma ciência Universal, fazendo desse método um método filosófico. Ora para empregar tal método na filosofia, ele precisava de pontos de partida, e esses pontos, foram-lhe dados pela reflexão sobre o próprio pensamento. 

Tendo notado que tudo que supunha saber viera dos sentidos da tradição, e que os sentidos nos enganam ao passo que pela tradição recebera muitas concepções que verificara serem incertas e sem base, Descartes passa a duvidar de tudo: é a famosa dúvida metódica. Este cepticismo, se bem que radical, é todavia provisório, e tem por objecto chegar a uma ciência certa. Foi acrescentado à dúvida um princípio positivo, e foi sobre ela que Descartes fundou a filosofia racionalista moderna. A própria dúvida revela tal princípio. É absolutamente certo que duvidava; ora duvidar é pensar; e pois certo que pensa. Ora pensar é existir; é pois certo que existe. Cogito, ergo sum. É isto uma imediata intuição intelectual, e não um silogismo. Ora se é evidente que penso e que existo, não é evidente que o objecto do meu pensamento exista fora do meu pensamento: ser-nos-ia forçoso ficarmos no existo porque penso se aquela intuição intelectual não nos desse a ideia do infinito do pensamento, isto é, de Deus. Assim a ideia do infinito é anterior à do finito. O nosso espírito concebe Deus porque Deus existe. Então, o conhecimento da existência de Deus permite-nos passar à crença na existência do mundo exterior. Com efeito, da existência de Deus, torna-se evidente que é fundada a nossa fé instintiva na existência do mundo, pois que nos vem de Deus, incapaz de nos enganar. As três realidades cuja existência fica assim demonstrada (Deus, o eu, o mundo externo) definem-se do seguinte modo: Deus é a substância infinita, de que tudo depende e que não depende de coisa alguma; a alma é a substância que pensa; os corpos são a substância extensa.

Quanto à palavra substância, significa algo que existe de tal maneira que não tem necessidade de outra coisa para existir. Sendo a substância o que não tem necessidade de outra para existir, segue-se que só Deus é substância no sentido rigoroso da palavra. Por isso Descartes chama substância relativa e finita ao que só tem necessidade de Deus para existir.

O atributo dos espíritos é o pensamento; o atributo dos corpos é a extensão. O mundo material é uma máquina, uma cadeia indefinida de movimentos cuja origem é Deus. Os espíritos são em tudo o contrário dos corpos; são essencialmente seres activos e livres, e assim como nada há no espírito que não seja pensamento, inextenso, imaterial. As duas substâncias são inteiramente exclusivas uma da outra, inteiramente opostas entre si.

Os resultados que Descartes atingiu na matemática são da máxima importância, especialmente pelo que concerne à Geometria analítica. Intentou fundar uma matemática universal, a que a álgebra, a geometria, a aritmética estariam subordinadas. O estabelecimento de uma correspondência entre álgebra e a geometria foi bastante útil para as duas, podendo considerar-se a invenção de Descartes como ponto d partida da matemática moderna. A nova disciplina foi exposta na Geometria. A primeira parte desta obra, mostra como as operações aritméticas podem ser geometricamente representadas; a segunda trata das curvas algébricas e transcendentes, explicando o emprego das coordenadas; a terceira, finalmente, trata da teoria das equações.

Retirado de http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm105/descartes.htm

René Descartes

Filósofo e matemático francês cujo nome foi latinizado para Renatus Cartesius, nasceu no dia 31 de março de 1596 em La Haye, hoje La Haye-Descartes, Touraine - França. Filho de um conselheiro do Parlamento da Bretanha, Joachim Descartes e de Jeanne Brochard, " mademoiselle du Perron ", nome este usado em 1630 por Descartes para se matricular como estudante em Leyden , na Holanda. Um ano depois do seu nascimento ocorre o falecimento de sua genitora, ficando também, sob a guarda de sua avó materna, seu irmão Pedro e sua irmã Joana. Em 1600, seu pai tornava a se casar com Ana Marin, pertencente, também, à classe de juizes, advogados e funcionários, que , naquela época, constituíra um dos elementos mais importantes da burguesia em plena ascensão.  O segundo de uma família de dois filhos e uma filha, entrou com oito anos de idade para estudar no colégio de jesuítas de La Flèche fundado por Henrique IV, no período de 1604 a 1614, onde estudou línguas clássicas, lógica, ética, matemática, física e metafísica, cujo ensino, mais tarde, viria a criticar. Revelou-se meditativo, impressionando seus mestres pela profundidade, independência de caráter e pela insistência em não aceitar sem reflexão aos ensinamentos e opiniões recebidas. 

Em 1612, abandonou os estudos no colégio de La Flèche e foi para Paris onde em 1615 e 1616 renovou a amizade colegial com o Padre franciscano Marin Mersenne, que usou o cartesianismo para combater o ateísmo, e alguns jansenistas, ligados à chamada lógica de Port-Royal, e durante estes dois anos se dedicaram ao estudo da matemática, licenciando-se, ainda, Descartes, em Direito no ano de 1616 em Poitiers, cidade e sede da região de Poitou-charentes na França. Descartes com o seu espírito curioso e perspicaz, pôs-se à procura de novos conhecimentos, viajando e acompanhando, com interesse, as experiências que os cientistas estavam começando a fazer fora dos ambientes universitários.

Durante a sua juventude dedicou-se ao estudo da Lógica, da Geometria e da Álgebra, três disciplinas que lhe pareceram de grande utilidade para o seu projecto.

E para, à partida, garantir maior simplicidade possível no seu método definiu quatro regras que propôs nunca abandonar e decidiu seguir apenas a sua própria razão: 

1ª - Não aceitar nada como verdadeiro se não lhe fosse apresentado provas, clareza e distinção.

 2ª - Dividir cada uma das dificuldades nas suas partes mais simples, de modo a facilitar a resposta.  Dividir cada uma das dificuldades nas suas partes mais simples, de modo a facilitar a resposta. 

3ª - Conduzir o raciocínio por ordem começando pelo mais simples e acabando no mais complexo.  Conduzir o raciocínio por ordem começando pelo mais simples e acabando no mais complexo. 

4ª - Fazer enumerações tão completas e gerais a ponto de nada ficar por dizer. Fazer enumerações tão completas e gerais a ponto de nada ficar por dizer.

Fonte

Descartes é um dos grandes matemáticos de todos os tempos. Ele foi um dos fundadores da geometria analítica: a geometria passou a beneficiar da linguagem da análise, mais fácil de manejar e, por outro lado, a análise ganhou com o suporte intuitivo fornecido pela geometria.

Foi no decorrer do ano de 1637 que Descartes concluiu o Discurso do Método acompanhado de três anexos, o último dos quais A Geometria. Escrita com a intenção de ilustrar matematicamente as considerações filosóficas gerais do Discurso do Método relativamente ao método científico, A Geometria é a única obra matemática publicada pelo filósofo e matemático, ocupando uma centena de páginas.

De Descartes e a Matemática,
retirado de http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/descartes/index.htm

DESCARTES A GEOMETRIA
Edição Bilingue Comemorativa do
ANO MUNDIAL DA MATEMÁTICA

DOS PROBLEMAS QUE SE PODEM CONSTRUIR SEM EMPREGAR MAIS QUE CÍRCULOS E LINHAS RECTAS

Como o cálculo da aritmética se relaciona com as operações de geometria

A extracção da raiz quadrada

Se se pretende extrair a raiz quadrada de GH, junta-se em linha recta FG, que é a unidade, e dividindo FH em duas partes iguais pelo ponto K, tomando este ponto como centro, traça-se o círculo FIH; elevando então desde o ponto G uma linha recta, formando ângulos rectos com FH, até I, é GI a raiz buscada. Nada digo aqui da raiz cúbica, nem das outras, pois delas tratarei detalhadamente mais adiante.

Como se chega às equações que servem para resolver os problemas

Se, apesar de não se ter omitido nada do que se deseja no problema, o número de equações for menor que o de linhas desconhecidas, isso prova que o mesmo não está inteiramente determinado e podem então tomar-se à discrição linhas conhecidas para aquelas a que não corresponde nenhuma equação.

Resta considerar o caso de o número de equações ser superior ao de linhas desconhecidas. Então, é necessário recorrer, por ordem, a cada uma das equações excedentes, quer considerando-as isoladamente quer comparando-as com as outras, para explicar cada uma das linhas desconhecidas e lograr que, ao eliminá-las, não reste mais que uma só expressão igual a alguma outra que seja conhecida; ou ainda que o quadrado, ou o cubo, ou o quadrado do quadrado, ou o supersólido, ou o quadrado do cubo, etc., seja igual ao que resulta por adição ou subtracção de outras duas ou mais quantidades, das quais uma seja conhecida, e as outras estejam compostas de alguns meios proporcionais entre a unidade e esse quadrado ou cubo, ou quadrado do quadrado, etc., multiplicado por outras conhecidas, o que escrevo da seguinte maneira:

Quere dizer: z, que tomo pela unidade desconhecida, é igual a b; ou o quadrado de z é igual ao quadrado de b menos a multiplicado por z; ou o cubo de z é igual a a multiplicado pelo quadrado de z mais o quadrado de b multiplicado por z menos o cubo de c, etc.

E podem assim reduzir-se sempre todas as quantidades desconhecidas a uma só quando o problema pode construir-se por círculos e linhas rectas, ou ainda por secções cónicas ou por alguma outra linha que não esteja composta em mais do que um ou dois graus. Mas não me detenho a explicá-lo com mais detalhe para não privar cada um do prazer de aprendê-lo por si mesmo, nem impedir o cultivo útil do próprio espírito exercitando-o, que é, na minha opinião, a principal utilidade que pode obter-se desta ciência. Pois não me refiro a coisas tão difíceis que aqueles que sejam um pouco versados na geometria comum e na álgebra e que apliquem com cuidado tudo o que está neste tratado, não possam encontrar. Por isso contentar-me-ei advertindo que, sempre que ao desenvolver estas equações se não esqueça de efectuar tantas divisões quantas sejam possíveis, se obterão infalivelmente os termos mais simples aos quais o problema pode ser reduzido.

Quais são os problemas planos

Se este pode ser resolvido pela geometria ordinária, quere dizer, sem utilizar mais que linhas rectas e circulares traçadas sobre uma superfície plana, depois de dar à última equação a forma reduzida, não restará, no final, mais do que um quadrado desconhecido, igual ao que resulta da adição, ou da subtracção, da sua raiz multiplicada por alguma outra quantidade também conhecida [coeficiente], mais alguma outra quantidade conhecida [termo independente].

Como se resolvem

E então esta raiz ou linha desconhecida, encontra-se facilmente. Se se tem, por exemplo,

z² = az + b²

construo o triângulo rectângulo NLM, cujo lado LM é igual a b, raiz quadrada da quantidade conhecida b², e o outro LN é a/2, a metade da outra quantidade conhecida, que está multiplicada por z, que suponho ser a linha desconhecida. Logo, prolongando MN, base [hipotenusa] desse triângulo, até O, de modo que NO seja igual a NL,

a linha total OM, ou z, que é a linha buscada; ela expressa-se

Tendo porém y² = -ay + b², sendo y a quantidade que é necessário encontrar, construo o mesmo triângulo NLM, e de base MN levando NP igual a NL, sendo PM a raiz buscada. De modo que tenho

Analogamente, se tivesse x⁴ = -ax² + b² PM seria x² e ter-se-ia

e assim noutros casos.

Enfim, tendo

z² = az - b²

faz-se NL igual a a/2, e LM igual a b, como anteriormente; logo,

em vez de unir os pontos M e N, traça-se a paralela MQR a LN e o círculo com centro em N e que passa por L, que a corta nos pontos Q e R; a linha buscada, z, é MQ, ou MR, pois neste caso ela expressa-se de duas formas, a saber,

E se o círculo que tem o seu centro em N e passa por L não corta nem toca a linha recta MQR, não há nenhuma raiz da equação, de maneira que pode assegurar-se que a construção do problema proposto é impossível.

Extraído de DESCARTES A GEOMETRIA
Editorial Prometeu, páginas 3 a 13

Como podem empregar-se letras em geometria

e aa ou a² para multiplicar a por si mesma; e a³ para multiplicar outra vez por a, e assim até ao infinito; e para extrair a raiz quadrada de a²+b²; e para extrair a raiz cúbica de e assim de outras.

É de assinalar que para a² ou b³ ou outras expressões semelhantes, eu não concebo ordinariamente mais que linhas simples, ainda que, para servir-me dos nomes usados em álgebra, as designe por quadrados, cubos, etc.

Observe-se também que, quando a unidade não está determinada no problema, todas as partes de uma mesma linha devem expressar-se ordinariamente por tantas dimensões uma como a outra,: assim, na linha que designei por , a³ contém tantas [dimensões] como abb ou b³; mas já o mesmo não sucede quando a unidade está determinada, em virtude de ela poder ser subentendida onde quer que haja demasiadas ou demasiado poucas dimensões; assim, se há que extrair a raiz cúbica de aabb-b, deve considerar-se que a quantidade aabb está dividida uma vez pela unidade, e que a outra quantidade b está multiplicada duas vezes pela mesma unidade.

Por último, a fim de não deixar de recordar os nomes destas linhas, convém sempre fazer uma notação separada, à medida que se colocam ou se mudam, escrevendo, por exemplo,

AB = 1, quere dizer AB igual a 1.
GH = a
BD =b, etc.

Quadraturas

Outro importante problema que os geómetras gregos se puseram foi o das quadraturas de figuras planas. Seja F uma figura plana; quadrar F é construir um quadrado com área igual à de F. Nos Elementos, este assunto é tratado a partir das aplicações de áreas. Na proposição Elementos I.45, Euclides ensina (em particular) a transformar qualquer figura plana poligonal num rectângulo de igual área e com um lado arbitrariamente escolhido. Portanto, para transformar qualquer figura plana poligonal num quadrado de igual área, bastará saber transformar qualquer rectângulo num quadrado de área igual.

Euclides estuda a quadratura de rectângulos no segundo livro do seu tratado, nomeadamente nas proposições nas proposições Elementos II.5 e Elementos II.6. As demonstrações destes dois resultados assentam apenas na igualdade dos dois rectângulos complementares de qualquer decomposição na diagonal dum quadrado.

A última proposição do Livro II (II.14 - Construir um quadrado igual a uma figura rectilínea dada) ensina a obter a quadratura de qualquer figura poligonal.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 269)

Decomposição na diagonal

Os paralelogramos [AEKH] e [KGCF] são semelhantes entre si e ao paralelogramo inicial, [ABCD]; as suas diagonais [AK] e [KC] estão contidas na diagonal [AC] do paralelogramo [ABCD]. Na terminologia de Euclides, os dois paralelogramos semelhantes, obtidos numa decomposição deste tipo, dizem-se paralelogramos na diagonal e os outros dois paralelogramos da decomposição ([EBGK] e [HKFD]) dizem-se paralelogramos complementares. Uma decomposição deste tipo é costume chamar-se uma decomposição na diagonal.

Dado que qualquer diagonal dum paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes (e, portanto, com a mesma área), é muito fácil estabelecer o seguinte teorema:

Elementos I.43:
Em qualquer paralelogramo, os complementares dos paralelogramos na diagonal são iguais entre si.

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A construção do meio proporcional

O teorema da altura (num triângulo rectângulo, a altura relativa à hipotenusa é meio proporcional entre os segmentos que determina na hipotenusa), que é uma consequência do teorema dito de Tales, em conjugação com o que afirma que qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é recto, permite construir o meio proporcional entre dois segmentos de recta s e t dados, isto é, um segmento de recta y tal que se verifique a proporção

Com efeito, para obter um tal segmento, desenhem-se dois segmentos de recta SH e HT iguais aos segmentos s e r, respectivamente, e justapostos, no prolongamento um do outro, pela extremidade comum H (ver figura à direita). De seguida, tracem-se a circunferência (ou um conveniente arco dela) com diâmetro ST - para o que será útil conhecer o seu centro, que é o ponto médio, O, do segmento de recta ST - e a recta que passa por H e é perpendicular a ST. Se se chamar Y a um dos pontos de intersecção desta perpendicular com a circunferência então o segmento de recta HY será meio proporcional entre SH e HT, ou seja, entre s e r.

Também é possível obter uma construção alternativa do meio proporcional de dois segmentos de recta, no contexto da geometria das áreas. De facto, basta quadrar o rectângulo de lados iguais aos segmentos de recta dados.

Note-se que qualquer uma destas construções geométricas (quer "as que Euclides demonstra no livro VI dos Elementos, quer as que usam as técnicas da geometria das áreas) se pode realizar utilizando exclusivamente a régua e o compasso.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 291-292)

Teorema de Tales
(Corolário de Elementos VI.2)

Dadas duas rectas, r e s, intersectando-se num ponto O, e duas rectas paralelas, p e q, intersectando r nos pontos A e B, respectivamente, e s nos pontos C e D, respectivamente, obtem-se a proporção:

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Teorema de Tales

A construção do meio proporcional
(Elementos VI,13)

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Meio proporcional

A extracção da raiz quadrada

a proposta de Euclides sugere um processo geométrico de construção de um segmento de recta de comprimento igual à raiz quadrada do comprimento de um dado segmento:

A mensagem, publicada no fórum pelo formador (ver caixa à direita) no dia 15 de Dezembro, sobre Equações do 2.º grau despertou-me o interesse e, por isso, decidi aceitar parte do desafio.

Assim, decidi construir uma actividade que pudesse ser integrada no Módulo Inicial do 10.º ano:

Uma parte da ficha de trabalho destina-se a ser utilizada durante pouco mais do que uma aula de 90 minutos, uma actividade é para desenvolver como trabalho de casa e a parte final é uma proposta de trabalho para ser desenvolvida durante o ano, consoante o interesse manifestado pelos alunos.

A ficha de trabalho tem a seguinte estrutura:

• 1.ª Parte - René Descartes e A Geometria
  É apresentado um texto retirado de A Geometria de Descartes, que inclui como o cálculo da aritmética se relaciona com as operações de geometria, quais são os problemas planos e como se resolvem, com incidência na resolução da equação do 2.º grau, do tipo x² = ax + b².
  
  

• 2.ª Parte - René Descartes e a equação x² = ax + b² 
  É proposto que se resolvam algumas equações segundo a fórmula indicada por Descartes, que se obtenham todas as soluções de cada uma dessas equações, que se indique uma razão pela qual o método de Descartes não determina todas as soluções e, por último, é pedido para verificar se existe, ou não, alguma semelhança entre a fórmula de Descartes e a fórmula resolvente.
  Depois, pede-se que se verifique a obtenção de soluções de algumas equações numa animação com o Cinderella, construída segundo o processo geométrico descrito por Descartes, terminando com o pedido da obtenção da fórmula apresentada.
  
  

• 3.ª Parte - René Descartes e a extracção da raiz quadrada
  Apresenta-se o texto onde Descartes descreve a construção que permite obter a raiz quadrada de um segmento de recta e pede-se que se resolva esse exercício no Cinderella. Depois pede-se que se justifique que, de facto, o comprimento do segmento obtido tem comprimento que é a raiz quadrada do segmento dado.
  
  

• 4.ª Parte - A extracção da raiz quadrada de René Descartes e Elementos II.14
  É apresentada uma construção relativa à quadratura de um rectângulo, construída segundo Elementos II.14, e pede-se que se mostre a veracidade da proposição de Euclides. Pede-se ainda que se relacione o processo de extracção da raiz quadrada de Descartes com a quadratura de um rectângulo de Euclides. (Para trabalho de casa)
  
  

• 5.ª Parte - Para ir fazendo... e aprendendo
  São apresentadas diversas ligações a textos sobre temas referidos nesta ficha de trabalho e é proposta uma actividade sobre quadraturas. (Para ser desenvolvida durante o ano, consoante o interesse manifestado pelos alunos)

Para concretizar esta ficha de trabalho é necessário equipamento informático com acesso à Internet, sendo recomendável dispor de um projector de vídeo na sala de aula para ser possível efectuar algumas sínteses e pontos de encontro.

Além da história da matemática subjacente nesta ficha de trabalho, fomenta-se ainda a utilização do programa de geometria dinâmica Cinderella na integração da geometria (e a sua conexão com a álgebra) na sala de aula, pretendendo-se simultaneamente consolidar e fazer uso de alguns conhecimentos essenciais adquiridos no 3.º ciclo.