Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.   Verdadeiro ou falso?
Preenche com V ou F o quadrado ao lado da frase, consoante a afirmação seja verdadeira ou falsa.

F        Um quadrado perfeito é sempre um número par.

      Basta reparar que  e 9 é ímpar.

V        A soma de dois números primos nem sempre é um número primo.

      Por exemplo,  e 8 não é primo, ainda que 3 e 5 o sejam.

F        O cubo de 2 é igual ao quadrado de 3.

      Ora,  e , enquanto .

F        Todo o múltiplo de 3 é múltiplo de 9.

      Basta reparar que 6 é múltiplo de 3 e não é múltiplo de 9.

F       

      Basta reparar que  e que .

V        Um número é divisível por 9 se e só se a soma dos seus algarismos for divisível
por 9.

2.   Completa por forma a obteres proposições verdadeiras:

a)   Os números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 são divisores de 24.

b)   Os números 16, 24, 32, 40 e 80 são alguns múltiplos de 8.

c)   Todos os números que têm como divisor o 2 chamam-se números pares.

d)   Os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19 são números primos.

3.   Completa por forma a obteres proposições verdadeiras:

a)              b)                       c)                d)                e) 

4.   Considera o número de quatro algarismos: 3  4                                                                
Completa, de modo a obter:

a)   um número divisível por 5;                 3 o 4 n.

b)   um número divisível por 2 e por 3.   3 k 4 o.

c)   Baseando-te nos critérios de divisibilidade, expõe o raciocínio que usaste na resolução da alínea b).

      Um número é divisível por 2 quando é par, isto é, quando o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8.
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.

      Comecei por escolher o algarismo 6 para as unidades, o que garante que o número é divisível por 2.
Como , escolhi o algarismo 2 para as centenas, o que garante que o número é divisível por 3, visto que a soma dos seus algarismos é 15 e 15 é múltiplo de 3.

5.   Uma fábrica produziu um tubo de linha com 48 m de comprimento. Se uma costureira enfia a agulha com 54 cm de cada vez, quantas vezes pode usar o tubo de linha?

      Ora,  e .

      Portanto, nessas condições, a costureira pode usar o tubo de linha 88 vezes.

6.   Dois canhões disparam uma bala cada 3 minutos e cada 5 minutos, respectivamente. Começam os dois a disparar ao mesmo tempo.
Ao fim de quanto tempo voltarão a disparar juntos e quantas balas cada canhão terá disparado até esse momento? (inclusive)

 

 

      Ao fim de 15 minutos os dois canhões voltarão a disparar ao mesmo tempo, tendo até esse momento (inclusive) um deles disparado 6 balas e o outro 4 balas.
Alternativa:
O menor múltiplo comum entre 3 e 5 é 15 (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...; 0, 5, 10, 15, 20, ...), logo ao fim de 15 minutos os dois canhões voltarão a disparar ao mesmo tempo. O número de balas disparadas por cada um é igual ao número de vezes que cada um disparou, logo um deles disparou 6 balas e o outro 4 balas.

7.   Ao decompor um certo número A em factores primos, obtivemos .

a)   Sem calcular A, responde:

a1)   A é divisível por 10? Porquê?

      A não é divisível por 10 (  ).
Ainda que A seja divisível por 2, não é divisível por 5, pois na sua decomposição em factores primos não existe qualquer factor 5. Consequentemente, A não é divisível por 10.

a2)   Qual o quociente da divisão de A por 6?

      O quociente da divisão de A por 6 é . (  ).

b)   Escreve os quatro mais pequenos divisores do número A.

Os quatro mais pequenos divisores do número A são: 1, 2, 3 e 4.

8.   Observa as imagens seguintes:

                        

 

a)   Algum dos números indicados nas imagens é primo? Justifica a tua resposta.

Dos três, apenas o número 5 é primo.
O número 5 é primo porque apenas tem dois divisores: a unidade e ele próprio.

b)   Decompõe em factores primos os que são compostos. Apresenta o resultado usando potências.

                                         Logo,  e .

9.   Uma folha quadrada de cartolina com 3364 cm² de área foi dividida ao meio.
Qual o comprimento e a largura de cada uma das partes?

Como , então folha quadrada de cartolina tem de lado 58 cm.

Logo, cada uma das partes em que foi dividida tem de comprimento  e largura .

10. Utilizando sempre que possível as regras das operações com potências, calcula:

a)                        b)