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Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Derivadas - 1 12.º Ano
Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF
1. A temperatura T, em graus centígrados, do forno de uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de acordo com , com m em minutos. a) A que temperatura está o forno quando é
ligado? b) Sem resolver a equação , justifique que é verdadeira a seguinte afirmação: «Num instante compreendido entre o 3.º e 4.º minuto, o forno atingirá a temperatura de 143º C.» c) Determine a taxa média de variação da temperatura do forno no intervalo minutos. d) Diga qual o significado de e determine o seu valor.
2. Seja h a função real de variável real, de domínio , definida por: a) Na figura ao lado está representada a função f, restrição de h ao intervalo . a1) Por observação do gráfico, indique, justificando, o sinal das derivadas laterais de h no ponto de abcissa , se existirem. a2) Usando a definição, determine a derivada lateral esquerda de h no ponto de abcissa . a3) Escreva uma equação vectorial da semi‑recta lateral esquerda tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa . b) Determine as assimptotas do gráfico de h. c) Calcule, caso exista, .
3. Considere a função de domínio IR representada graficamente: a) Defina f analiticamente. b) Represente, graficamente, a função f´, derivada da função f. 4. Cada um dos seguintes limites representa a
derivada de uma função f real de
variável real num ponto c. a) . b) 5. Considere as fórmulas da área do círculo de raio r, , e do volume da esfera de raio r, . a) Determine . Qual é o seu significado geométrico. b) Determine . Qual é o seu significado geométrico. 6. Seja h a função real de variável real, de domínio , definida por. . a) Verifique que o gráfico da função admite uma recta tangente paralela à recta de equação e apresente a sua equação reduzida. b) Faça uma opção correcta! [A] [B] [C] [D] 7. Considere as funções reais de variável real definidas por: ; e a) Determine uma equação da recta perpendicular à recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa nula e que contém esse ponto. b) Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa nula, com o eixo das abcissas. c) Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico da função h, no ponto de abcissa 1. 8. Calcule cada um dos seguintes limites: a) b) c) d) e) f) g) h) 9. Um objecto metálico é colocado numa panela
com água à temperatura de 100º C. Para s, a temperatura T do objecto é 50º C e esta aumenta instantaneamente (nesse momento) na razão de 2º C por segundo. Determine a e b (reais), sabendo que a temperatura T do objecto em função do tempo t, em segundos, é dada por . 10. Para comparar a acidez de diferentes soluções,
os químicos usam o pH. Calcule a taxa de variação de pH com respeito à concentração de iões de hidrogénio quando pH é 3.
11. Na figura ao lado estão representadas graficamente duas funções: · a função f, definida em IR por · a função g, definida em por a) Mostre que a taxa média de variação de g no intervalo é dada por , com . b) A recta r
é tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa a e é tangente ao gráfico
de g no ponto de abcissa b. 12. Seja f
a função real de variável real definida por . [A] [C] 13. Dada a função real de variável real definida por , o valor de é: [A] 0 [B] não existe [C] [D]
14. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função g, de domínio , da qual a recta t é uma assimptota. O valor de é: [A] [B] [C] [D] 15. A função quadrática , cuja curva representativa corta o eixo das ordenadas no ponto A de ordenada 2 e tem por tangente no ponto de abcissa 1 a recta de equação , é: [A] [B] [C] [D] 16. Seja s
a função, de domínio ,
definida por . [A] s é contínua [B] s tem derivada em [C] é uma assimptota do gráfico de s [D] Não existem assimptotas ao gráfico de s
17. A recta t
é tangente à curva representativa da função f
no ponto A (4, 3). [A] [B] [C] [D]
18. A recta r
é tangente ao gráfico de g: no ponto A de abcissa . [A] [B] [C] [D]
19. Na figura está parte da representação gráfica de uma função g derivável de domínio IR. A recta r, de equação , é tangente ao gráfico de g no ponto de coordenadas . a) Sabendo ainda que o eixo Ox é assimptota do gráfico de g na vizinhança de , então g pode ser definida por: [A] [B] [C] [D]
b) Seja , com , uma função real de variável real. O valor de k para o qual é contínua no ponto a função é [A] [B] [C] [D]
20. Na figura estão representadas: · parte do gráfico da função g, de domínio IR, definida por · uma recta r tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa a.
A inclinação da recta r é
60º. [A] [B] [C] [D] 21. Seja . [A] [B] [C] [D] 22. Seja f uma função tal que a sua
derivada, no ponto 3, é igual a 4. [A] [B] [C] [D] 23. Seja a função definida por . [A] [B] [C] [D] 24. Um projéctil é lançado verticalmente de baixo
para cima. [A] [B] [C] [D] 25. Sendo f a função definida por , a expressão analítica de f’ é [A] [B] [C] [D] 26. De duas funções f e g, de domínio
[0, 1], sabe-se que . [A]
SOLUÇÕES1. a) Quando é ligado, o forno encontra‑se à
temperatura de 26º C. b) (Aplique o teorema de Bolzano-Cauchy) c) (ºC/min). d) (ºC/min). 2. a1) A derivada lateral esquerda no ponto
considerado é negativa; a2) . a3) define vectorialmente a semi-recta pedida. b)
é equação de uma assimptota vertical bilateral. (A lateral direita já
observável no gráfico de f). c) . 3. a) . b) 4. a) e (p.e.) b) e (p.e.) 6. a) Há duas soluções: ou . b) C. 7. a) . b) . c) . 8. a) . b) . c) . d) . e) . f) . g) . h) . 9. ; . 10. . 12. D. 13. C. 14. B. 15. B. 16. B. 17. C. 18. A. 19. a) C. b) D. 20. D. 21. C. 22. A. 23. B. 24. A. 25. C. 26. D.
O Professor
Proposta de Resolução:1. a) .
Quando é ligado, o forno encontra‑se à temperatura de 26º C. b) A função T
é contínua no intervalo [3, 4], pois é o quociente de duas funções contínuas
(são polinomiais), não se anulando a função divisor nesse intervalo. Como e ,
então . c) . d) O limite apresentado traduz a taxa
(instantânea) de variação da temperatura do forno no instante em que é ligado. 2.
a1) A derivada lateral esquerda no ponto
considerado é negativa; a2) . a3) A semi‑recta tem origem no ponto de coordenadas e o seu declive é , logo um vector director é . Assim, define vectorialmente a semi-recta pedida. b) Determinação
das assimptotas verticais: c) . 3.
a) Considerando que o declive de uma recta é a tangente da sua inclinação, temos: . b) Como , uma representação gráfica de f’ é: 4. a) Como , poderá ser e ou e , por exemplo. b) Como , poderá ser e ou e , por exemplo. 5. a) Ora, . Traduz o perímetro de um círculo de raio r. b) Ora, . Traduz a área de uma esfera de raio r. 6. a) Ora, ,
.
b) Ora, . 7. a) Como ,
o declive da recta tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa nula é ,
sendo o ponto de tangência a origem do referencial: .
b) Como ,
o declive da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa nula é ,
tendo o ponto de tangência as coordenadas .
c) Como ,
o declive da recta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 1 é ,
tendo o ponto de tangência as coordenadas .
8. a) b) c) d) e) f) g) h) 9. Ora, . 10. Ora, .
11. Na figura ao lado estão representadas graficamente duas funções: · a função f, definida em IR por · a função g, definida em por a) Mostre que a taxa média de variação de g no intervalo é dada por , com . b) A recta r
é tangente ao gráfico de f no ponto
de abcissa a e é tangente ao gráfico
de g no ponto de abcissa b. a) . b) Tendo em consideração que a derivada de uma
função num ponto é o declive da recta tangente ao gráfico dessa função nesse
ponto, será então condição necessária .
O Professor |
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