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Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Limites, continuidade e assimptotas 12.º Ano
Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF 1. Considere a função f, de domínio IR, assim definida: a) Represente f graficamente. b) Determine, se existir: ; e . c) Determine, se existir: ; e . 2. Supondo que e que a) Mostre que não existe. b) Encontre duas funções f e g que satisfaçam as condições referidas para, por exemplo, . 3. Considere as funções f e g, tais que: · f e g são funções contínuas em · e
Mostre que existe pelo menos um número tal que . Sugestão: Considere .
4. Na figura está representado, em referencial
o.n. Oxyz, um octaedro regular. · um dos vértices do octaedro é a origem do referencial · a recta ST é paralela ao eixo Oz · o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox · o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy · a aresta do octaedro tem comprimento 1
Seja A (x, 0, 0) um ponto pertencente ao semieixo positivo Ox e B um ponto pertencente ao semieixo positivo Oy, tais que . a) Mostre que o volume da pirâmide [AOBS] é dado pela expressão . ( ) b) Imagine que o ponto A se desloca sobre o semieixo positivo Ox, afastando‑se infinitamente da origem do referencial. Para que valor tende, então, o volume da pirâmide? 5. As máquinas de aquecimento de água de uma
piscina foram ligadas às 7 horas da manhã de um certo dia. a) Utilize o teorema de Bolzano‑Cauchy para justificar que houve um instante, entre as 9 horas e as 9 horas e trinta minutos, em que a temperatura da água foi de 25º C. b) Determine analiticamente o instante (aproximação ao minuto) em que a temperatura da água foi de 25º C. c) Considere agora a função real de variável real, de domínio IR: c1) Caracterize a função inversa de c. c2) Averigúe, justificando, a existência de assimptotas ao gráfico de c.
6. Para o circuito eléctrico esquematizado na figura ao lado, a potência dissipada na resistência variável é dada, em Watt, por ( , em W). a) Calcule e interprete o resultado que encontrou. b) Tenha presente o teorema de Bolzano-Cauchy. b1) Utilizando a calculadora complete o quadro seguinte.
b2) Utilizando esse teorema, justifique a existência de pelo menos um valor da resistência variável para o qual a potência dissipada é 10 W, isto é, que é possível a equação . Determine uma aproximação desse (de um desses) valor(es) com erro inferior a 0,1 W. c) Considere agora a função q, de variável real, definida por . Estude a existência de assimptotas do gráfico de q, e faça um esboço que mostre o comportamento da função junto das assimptotas. 7. Seja h a função real de variável real definida por: a) Calcule, caso exista, . b) Determine a de modo que h seja contínua em . c) Justifique que a recta de equação é assimptota oblíqua de h em torno de . 8. Calcule, caso exista, o limite da sucessão assim definida: .
9. Seja h a função real de variável real, de domínio , definida por: a) Na figura ao lado está representada a função f,
restrição de h ao intervalo . b) Determine as assimptotas de h. c) Calcule, caso exista, .
10. Na figura · o triângulo [ABC] é isósceles ( ) · [DEFG] é um rectângulo · ; ; a) Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada em função de x, por ( ). NOTA: Pode ser‑lhe útil reparar que os triângulos [ADE] e [EHB] são semelhantes. b) Usando as potencialidades da calculadora gráfica, determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ABC] é mínima. c) Estude a existência de assimptotas ao gráfico da função a. NOTA: Tenha presente que . 11. Considere a função real de variável real definida por . a) Determine o domínio de f e os valores de x tais que . b) Mostre que o gráfico de f admite apenas duas assimptotas. c) Caracterize , função inversa de f. 12. Seja f a função, de domínio IR, definida por a) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à continuidade. NOTA: Tenha em consideração que . b) A equação tem exactamente duas soluções. Utilizando a sua calculadora, determine-as graficamente. Apresente os valores arredondados às décimas. Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, obtido(s) na calculadora. 13. Estude a continuidade da função , definida em IR. 14. Considere a função f, real de variável real, de domínio , definida por: a) Calcule e . b) Mostre que é falsa a proposição: . c) Determine, se existirem, as assimptotas do gráfico de f. 15. Considere as sucessões de termos gerais: ; e . Quais são os valores dos limites , e ? [A] , , [B] , , [C] , , [D] , , 16. De uma função real de variável real f sabe‑se que:
Pode‑se então afirmar que: [A] [B] [C] [D] 17. De uma função , sabe‑se que: · O domínio de é ; e . Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de . [A] 18. Seja a função definida em IR por . [A] [B] [C] [D] 19. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função g, da qual a recta t é uma assimptota.
a) Considere a sucessão de termo geral . [A] é 3 [B] é 4 [C] não existe [D] é
b) Das afirmações seguintes: I. g é contínua à direita do ponto II. e III. g é contínua no intervalo IV. e V. A função g satisfaz as condições de aplicabilidade do teorema de Bolzano-Cauchy no intervalo . são verdadeiras: [A] Apenas I, III e IV [B] Todas [C] Apenas I, II, III e IV [D] Nenhuma 20. De uma função h, contínua em IR, sabe‑se que: · · · a recta de equação é assimptota do gráfico de h · h é estritamente crescente no intervalo e estritamente decrescente no intervalo Qual das afirmações é verdadeira? [A] A função tem três zeros [B] [C] [D] O contradomínio de h é
21. A figura representa parte de duas semi‑rectas que são o gráfico de uma função h, de domínio IR, que tem Oy como eixo de simetria. O contradomínio da função é: [A] [B] [C] [D] 22. Seja g:
. [A] [B] [C] [D] 23. Considere a função m definida por . [A] [B] [C] [D]
SOLUÇÕES1. b) 2; 2; 2. c) 2,01; 1,50005; não existe. 2. b) Por exemplo, e . 4. b) unidades de volume. 5. b) A temperatura da água foi de 25º C aproximadamente às 9 horas e 12 minutos. c1) c2) é equação de uma assimptota horizontal do gráfico da função na vizinhança de . 6. a) . b2) Por exempo, uma aproximação desse valor, com erro inferior a 0,1 W, é W. c) é equação de uma assimptota vertical bilateral; é equação de uma assimptota horizontal bilateral. 7. a) . b) . 8. . 9. b) é equação de uma assimptota vertical bilateral; é equação de uma assimptota vertical unilateral direita; é equação de uma assimptota horizontal na vizinhança de ; é equação de uma assimptota oblíqua na vizinhança de . c) . 10. b) De acordo com os resultados obtidos com a calculadora gráfica, a área do triângulo [ABC] é mínima para . c) A recta de equação é uma assimptota vertical do gráfico da função; é equação de uma assimptota oblíqua do gráfico da função. 11. a) ; . b) Apenas a recta de equação é uma assimptota vertical bilateral do gráfico de f; a recta de equação é uma assimptota horizontal do gráfico de f na vizinhança de . c) 12. a) A função é contínua em IR. b) As soluções da equação, com aproximação às décimas, são e . 13. a) A função é contínua em IR. b) As soluções da equação, com aproximação às décimas, são e . 14. a) e . b) O resultado obtido não contraria o teorema de Bolzano-Cauchy, pois f não é uma função contínua em , visto não ser contínua à direita de . c) é equação de uma assimptota vertical bilateral; é equação de uma assimptota horizontal na vizinhança de ; é equação de uma assimptota oblíqua na vizinhança de . 15. D 16. B 17. C 18. C 19. a) B b) A 20. C 21. D 22. C 23. D
Proposta de Resolução:1. a) b) ; ; , pois . c) ; ; Não existe , visto que , pois e . 2. a) Admitamos que existe ,
isto é, que ,
com . b) Por exemplo, e . 3. Seja . · , pois . · , pois . Logo, de acordo com o teorema de Bolzano-Cauchy, . Assim, como , ter-se-á que , visto que . 4. a) Sendo S' a projecção ortogonal do ponto S sobre o plano xOy, podemos considerar para altura da pirâmide, sendo , por aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [SS'Q] (note que [OQ] é diagonal de um quadrado de lado 1). Considerando o triângulo [AOB] para base da pirâmide, vem: , como queríamos mostrar. b) Se o ponto A se desloca sobre o semieixo
positivo Ox, afastando‑se
infinitamente da origem do referencial, então . 5. a) Consideremos a função C e o intervalo . · · Portanto, . b) Ora, . c1) Sendo ,
vem . c2) Como a função é contínua em IR, então . 6. a) . b1)
b2) Por
exemplo:
c) Determinação
das assimptotas verticais: 7. a) . b) Ora, c) A recta de equação é assimptota oblíqua de h em torno de se e só se . 8. . 9. a) A função f não é contínua em ,
pois não existe ,
dado que . b) Determinação
das assimptotas verticais: c) . 10.
a) Tendo em consideração a sugestão, é ,
donde . b) De acordo com os resultados obtidos com a
calculadora gráfica, a área do triângulo [ABC]
é mínima para : c) A função é contínua no seu domínio ( ), pois é a soma de funções contínuas em ,
contudo existe a possibilidade de assimptota vertical em . (Se preferir: Como , então a recta de equação é assimptota oblíqua do gráfico de a na vizinhança de .) 11. a) . b) Determinação
de assimptotas verticais: c) Tendo em consideração que o contradomínio da
função é (note que o gráfico desta função se pode
obter por translação associada ao vector do gráfico da função ), facilmente se concluirá que o
contradomínio de f será .(Tenha
em conta o contradomínio da função ) 12. a) No intervalo ,
a função é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas: uma, que é
uma função afim, e outra, que é a diferença entre uma função constante e a raiz
quadrada de uma função afim. Vejamos se a função é contínua em . · · · Como ,
a função é contínua no ponto 0. b) As soluções da equação são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função f com a parábola de equação . Com recurso à calculadora gráfica, podemos obter: · parte do gráfico da função f · parte da parábola de equação · as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função com a parábola
As soluções da equação, com aproximação às décimas, são e . 13. No intervalo , quer no intervalo , a função é contínua, pois é o quociente de duas funções polinomiais (logo contínuas), não se anulando nesses intervalos a função divisor. Vejamos se a função é contínua em . · · Como ,
a função é contínua no ponto 2. 14. a) e . b) Ora, .
Logo, a afirmação feita é falsa. c) Determinação
das assimptotas verticais:
O Professor |
[B] 
[C] 
[D] 
