Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF

1.   Demonstre que se A e B são acontecimentos independentes, também são independentes  e .

Sugestão: Se A e B são independentes, então . Pretende-se demonstrar que .

Proposta de resolução

2.   Estude a dependência dos acontecimentos M e N, sabendo que:

a)   ;  e M e N são incompatíveis;

b)   e ;

c)   e M é um acontecimento qualquer.

Solução

Proposta de resolução

3.   Um casal tem três filhos e sejam os acontecimentos:

·       A: “o casal tem no máximo uma rapariga”

·       B: “o casal tem filhos de ambos os sexos”

 

      Calcule ,  e , e verifique se A e B são acontecimentos independentes.

Solução

Proposta de resolução

4.   A Luísa tem duas moedas no bolso, uma viciada e outra normal. Na moeda viciada a probabilidade de sair cara é .
A Luísa tira uma moeda do bolso aleatoriamente, atira-a ao ar e verifica que sai cara.
Determine a probabilidade de ela ter tirado do bolso a moeda viciada.

Solução

Proposta de resolução

5.   Tenho duas caixas iguais. A caixa A tem 10 rebuçados de mentol e 20 de limão, enquanto a B tem 20 de mentol e 10 de limão. Peguei numa das caixas e tirei ao acaso um rebuçado.
Era de mentol. Qual é a probabilidade de ter escolhido a caixa A?

Solução

Proposta de resolução

6.   Os centros de transfusão sanguínea publicaram o quadro ao lado com a distribuição dos principais grupos sanguíneos no ano de 1997 num dado país. Sabe-se que o sangue de qualquer ser humano possui uma determinada característica chamada factor Rhésius (RH). Esta característica pode tomar duas formas: RH positivo (  ) ou RH negativo (  ). (Estas características não variam com o sexo)

      Considerando um casal ao acaso, determine a probabilidade de que:

	0	A	B	AB
	37,0%	38,1%	6,2%	2,8%
	7,0%	7,2%	1,2%	0,5%

a)   O homem seja  e a mulher .

b)   O homem seja [  ] e a mulher [  ].

c)   O homem seja  e a mulher .

d)   O homem seja [  ] e a mulher [  ].

e)   Sabendo que um indivíduo tem sangue tipo A, ter .

Solução

Proposta de resolução

7.   Um estudante realiza dois exames no mesmo dia. A probabilidade de que fique aprovado no primeiro exame é de 0,7 e a probabilidade de que passe no segundo é 0,6 e a de que aprove em ambos é de 0,4.

a)   Calcule:

a1)   a probabilidade de que fique aprovado em, pelo menos, um exame;

b2)   a probabilidade de que não fique aprovado em nenhum.

b)   Serão as provas independentes?

c)   Determine a probabilidade de que passe no segundo exame, no caso de ter reprovado no primeiro.

Solução

Proposta de resolução

8.   Um saco contém seis bolas, numeradas de 1 a 6.
As bolas que têm números pares estão pintadas de verde.
As bolas que têm números ímpares estão pintadas de azul.
Extraem-se, aleatoriamente, e de uma só vez, duas bolas do saco.
Sejam A e B os seguintes acontecimentos:

·       A: “As duas bolas são da mesma cor.”

·       B: “O produto dos números das bolas é impar.”

 

a)   Determine . Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

b)   Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada .

Solução

Proposta de resolução

9.   Considere:

·       uma caixa com seis bolas, todas brancas;

·       seis bolas pretas, fora da caixa;

·       um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.

 

      Lança-se duas vezes o dado.
Tiram-se, da caixa, tantas bolas brancas quantas o número saído no primeiro lançamento. Colocam-se, na caixa, tantas bolas pretas quantas o número saído no segundo lançamento.

a)   Qual é a probabilidade de a caixa ficar com seis bolas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

b)   Sejam A e B os acontecimentos:

A -«Sai face 5 no primeiro lançamento do dado.»

B -«Ficam, na caixa, menos bolas brancas do que pretas.»

Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionada .
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

Solução

Proposta de resolução

10. Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: Espadas, Copas, Ouros e Paus. Cada naipe tem três figuras: Rei, Dama e Valete.

a)   Retirando, ao acaso, seis cartas de um baralho completo, qual é a probabilidade de, entre elas, haver um e um só Rei? Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.

b)   De um baralho completo extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas cartas.
Sejam E₁, C₂ e F₂ os acontecimentos:

E₁: sair Espadas na primeira extracção;

C₂: sair Copas na segunda extracção;

F₂: sair uma figura na segunda extracção.

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de . Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite o raciocínio que efectuou. O valor pedido deverá resultar apenas da interpretação do significado de , no contexto da situação descrita.

Solução

Proposta de resolução

11. Uma turma do 12.º ano é constituída por vinte e cinco alunos (quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar uma viagem de finalistas.
A comissão será formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas relações públicas.

a)   Se o delegado de turma tivesse obrigatoriamente de fazer parte da comissão, podendo ocupar qualquer um dos três cargos, quantas comissões distintas poderiam ser formadas?

b)   Admita agora que o delegado de turma pode, ou não, fazer parte da comissão.

b1)   Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas?

Nota: Entenda-se por comissão mista uma comissão constituída por jovens que não são todos do mesmo sexo.

b2)   Suponha que a escolha dos três elementos vai ser feita por sorteio, da seguinte forma.
Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. As vinte e cinco folhas são dobradas e introduzidas num saco. Em seguida, retiram-se do saco, sucessivamente, três folhas de papel. O primeiro nome a sair corresponde ao do presidente, o segundo, ao do tesoureiro, e o terceiro, ao do responsável pelas relações públicas.
Sejam A, E e C os acontecimentos:
A: «o presidente é uma rapariga»;
E: «o tesoureiro é uma rapariga»;
C: «a comissão é formada só por raparigas».

         Indique o valor da probabilidade condicionada  e, numa pequena composição, com cerca de dez linhas, justifique a sua resposta.

Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar exclusivamente da interpretação de , no contexto do problema.

Solução

Proposta de resolução

12. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam E₁ e E₂ dois acontecimentos possíveis (  e  ).

a)   Prove que .

b)   Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus.
De um baralho completo extraem-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas.
Qual é a probabilidade de pelo menos uma das cartas extraídas não ser do naipe de espadas?
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

Nota: Se o desejar, utilize a igualdade referida na alínea anterior; neste caso, deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos E₁ e E₂ , no contexto da situação apresentada.

c)   Num certo jogo de cartas, utiliza-se um baralho completo e dão-se treze cartas a cada jogador.
Imagine que está a participar nesse jogo.
Qual é a probabilidade de, nas treze cartas que vai receber, haver exactamente seis cartas do naipe de espadas? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.

Solução

Proposta de resolução

13. Seja S o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (  e  ).
Sabendo que A e B são independentes, prove que:

 

Proposta de resolução

14. Uma caixa contém cinco bolas brancas e cinco bolas pretas, indistinguíveis ao tacto.
Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.
Considere os seguintes acontecimentos:

      B₁ - a bola retirada em primeiro lugar é branca;
B₂ - a bola retirada em segundo lugar é branca.

      Qual é o valor da probabilidade condicionada ?

[A]                                   [B]                                   [C]                                          [D]     

Solução

Proposta de resolução

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUÇÕES

2.  

a)   São dependentes.

b)   Só serão independentes se N for o conjunto de resultados, isto é, se .

c)   São independentes.

3.   ;  e .
Os acontecimentos são independentes.

4.   .

5.    

6.  

a)    

b)    

c)    

d)    

e)    

7.  

a1)   0,9

a2)   0,1

b)   Não, visto .

c)    

8.  

a)    

b)    

9.  

a)    

b)    

10.

a)    

b)    

11.

a)    

b)    

c)    

12.

b)    

c)    

14. [C]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Proposta de Resolução:

1.   Aceitando a sugestão, temos:
 

2.  

a)   Ora, , pois M e N são acontecimentos incompatíveis.
Por definição de probabilidade condicionada, temos
                 (por hipótese  e  ).
Logo, sendo , os acontecimentos são dependentes.

b)   Como , então .
Logo, , pois por hipótese é .
Por outro lado,  (  ).
Portanto, os acontecimentos M e N apenas serão independentes se , isto é, se N for o espaço de resultados (  ).

c)   Se , então .
Assim, , pois .
Logo, os acontecimentos M e N são independentes.

3.   Definindo os acontecimentos A e B e o conjunto de resultados, temos:

        
        
        
Logo, ,  e .
Ora, , logo os acontecimentos A e B são independentes.

4.   Sabe-se que . Pretende-se descobrir  (Porquê?).
Ora, (acompanhe o raciocínio com o diagrama ao lado)
          

5.   Pretende-se determinar  (Porquê?). (Faça um diagrama!)
Ora, .

6.  

	0	A	B	AB	Total
	37,0%	38,1%	6,2%	2,8%	84,1%
	7,0%	7,2%	1,2%	0,5%	15,9%
Total	44,0%	45,3%	7,4%	3,3%	100,0%

a)   .

b)   .

c)   .

d)   .

e)   .

7.  

a1) .

a2) .

b)   Ora,  e .
Como , as provas não são independentes.

c)   Acompanhe a resolução pelo diagrama ou pela tabela, depois de os ter completado.

. Note que .

	0,4	0,2	0,6
	0,3	0,1	0,4
	0,7	0,3	1

 

8.  

a)   Ora, .

b)   visto que, se o produto dos números é ímpar, ambas as bolas têm números ímpares, pelo que são ambas azuis, sendo assim, da mesma cor.

9.  

a)   Para que a caixa fique com 6 bolas, o número saído no dado no primeiro lançamento tem de ser igual ao saído no segundo lançamento. Portanto, dos 36 resultados possíveis, apenas 6 são favoráveis. Logo, .

b)   , pois  designa a probabilidade de ficarem na caixa menos bolas brancas do que pretas, sabendo que saiu a face 5 no primeiro lançamento. Ora, tendo saído a face 5 no primeiro lançamento, ficou apenas uma bola branca na caixa. Para que fiquem, na caixa, menos bolas brancas do que pretas, terá de sair face 2, 3, 4, 5 ou 6 no segundo lançamento.

10.

a)   Como cada acontecimento favorável é constituído por um Rei (escolhido entre 4 possíveis) mais 5 cartas, qualquer uma delas diferente de Rei (escolhidas, portanto, de entre 48 possíveis), vem:
.

b)   significa «probabilidade de sair figura de copas na segunda extracção, sabendo que saiu uma carta de espadas na primeira extracção».
Tem-se, assim, que:
O número de casos possíveis é 51 (número de cartas existentes no baralho, após a extracção da primeira carta).
O número de casos favoráveis é 3 (número de figuras de copas existentes no baralho, após a extracção da primeira carta, a qual, por ser de espadas, não é figura de copas).
A probabilidade pedida é, por aplicação da regra de Laplace, .

11.

a)   Podem ser formadas  comissões distintas, dado que o delegado pode ocupar qualquer um dos três cargos e os restantes dois elementos podem ser escolhidos de um grupo de 24 alunos, sendo depois possível a permutação dos dois cargos disponíveis entre si.

b1) Se as comissões são mistas, então participam dois rapazes e uma rapariga ou duas raparigas e um rapaz. Logo, podem obter-se  comissões mistas distintas.

b2) significa «probabilidade de a comissão ser formada só por raparigas, sabendo que, para presidente e para tesoureiro, foram sorteadas duas raparigas».
Tem-se, assim, que:
O número de casos possíveis é 23 (número de alunos que restam, após o sorteio para os cargos de presidente e tesoureiro).
O número de casos favoráveis é 13 (número de raparigas que restam, após o sorteio para os cargos de presidente e tesoureiro).
A probabilidade pedida é, por aplicação da regra de Laplace, .

12.

a)  
 

b)   Sejam E₁ e E₂ os seguintes acontecimentos:
E₁: “Sair espadas na primeira extracção”
E₂: “Sair espadas na segunda extracção”

      Ora, dado que  equivale a “pelo menos uma das cartas extraídas não é do naipe de espadas”, temos:
 

c)   Uma mão de 13 cartas pode ser obtida de  maneiras distintas, já que não interessa a ordem da distribuição das cartas nem tão pouco pode haver repetição das mesmas. Ora, as seis cartas do naipe de espadas podem ser escolhidas de  maneiras distintas de entre as 13 cartas desse naipe. As restantes 7 cartas podem ser escolhidas de  maneiras distintas de entre as cartas dos outros três naipes.
Logo, a probabilidade pedida é .

13.
 

14. Ora, .
Ou, melhor ainda: Se a primeira bola extraída é branca, restam 9 bolas na caixa, das quais apenas 4 são brancas. Logo, na segunda extracção, a probabilidade de extrair uma bola branca é de 4 em 9, isto é, .