Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

 

 Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF

1.   A região do espaço definida, num referencial ortonormado, por  é:

[A]    a circunferência de centro (0, 0,  ) e raio .

[B]    o círculo de centro (0, 0, 0) e raio .

[C]    a circunferência de centro (0, 0,  ) e raio 1.

[D]    o círculo de centro (0, 0,  ) e raio .

Solução

2.   Pelos pontos A (1, -2, 1), B (3, -1, 2), C (-1, -3, 0) passa (ou passam):

[A]    um e um só plano.                                                         [B]    uma infinidade de planos.

[C]    três e só três planos.                                                     [D]    nenhum plano.

Solução

3.   Num referencial ortonormado Oxyz, os planos a e b são definidos pelas equações:

a:       e       b:

      Os planos a e b são:

[A]    coincidentes.                                                                   [B]    estritamente paralelos.

[C]    concorrentes não perpendiculares.                           [D]    perpendiculares.

Solução

4.   Indique qual dos pares de equações seguintes define, num referencial ortonormado Oxyz, um par de planos perpendiculares.

[A]                                                       [B]    .

[C]    .                                                               [D]    .

Solução

5.   Num referencial ortonormado Oxyz, a intersecção das superfícies esféricas definidas pelas equações

é:

[A]    Um ponto.

[B]    Uma superfície esférica.

[C]    Uma circunferência.

[D]    O conjunto vazio.

Solução

6.   Dois planos a e b são estritamente paralelos. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A]    Qualquer recta contida em a é paralela a qualquer recta contida em b.

[B]    Há rectas contidas em a que intersectam b.

[C]    Há rectas perpendiculares a a que não são perpendiculares a b.

[D]    Dada uma recta contida em a, existem em b infinitas rectas que lhe são paralelas.

Solução

7.   Na pirâmide de Keops, quadrangular regular, a aresta da base tem 23 dam de comprimento e o ângulo que cada face forma com a base é de 52º.
Sejam A, B, C e D os vértices da base e V o vértice da pirâmide.
Considere o referencial ortonormado em que a unidade considerada é 10 metros e indique:

a)   As coordenadas do vértice V da pirâmide (utilize uma aproximação a menos de 0,1).

b)   Uma equação cartesiana do plano perpendicular a VB e que contém o vértice D.

c)   Uma equação vectorial da recta paralela a VC e que contém o ponto
(2, -1, 0).

d)   Considere a família dos vectores perpendiculares a  que têm origem em A e norma igual a 2. Que lugar geométrico definem os pontos extremidade destes vectores?
Caracterize‑o por uma condição em x, y, z.

Solução

Proposta de resolução

8.   Considere, num referencial ortonormado (O, , ,  ), o vector .

a)   Indique, justificando, dois vectores que sejam perpendiculares a  mas que não sejam colineares.

b)   Qual o ângulo de  com ? (Aproximação a menos de 0,01 radianos.)

c)   Escreva uma equação cartesiana do plano a perpendicular a  e que intersecta o eixo Oy no ponto (0, 1, 0).

d)   Considere os planos, b: , g: .
Indique, justificando, qual a posição relativa dos planos a, b e g.

Solução

Proposta de resolução

9.   No referencial ortonormado Oxyz está representado um cubo de faces paralelas aos planos coordenados. O perímetro de cada face é, na unidade considerada, igual a 16.

a)   Escreva uma equação cartesiana do plano que contém os pontos D, G e F.

b)   Defina analiticamente a superfície esférica tangente a todas as faces do cubo.

c)   Determine k, caso exista, de modo que o vector  seja colinear com .

d)   Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF], respectivamente, determine as coordenadas do ponto PÎ[HE] sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é um quadrado.

Solução

Proposta de resolução

10. No referencial ortonormado Oxyz, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yoz.
Na unidade considerada,  e .

a)   Defina por equações cartesianas a recta AC.

b)   Considere que o triângulo [ABC] roda uma volta completa em torno do eixo Oy.

b1)   Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida rotação.

b2)   Calcule o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.

Solução

Proposta de resolução

11. A embalagem de um certo gelado é uma superfície esférica.
Num referencial ortonormado essa superfície tem por equação: .

a)   O bordo da “tampa” da embalagem é uma circunferência que se obtém seccionando a superfície esférica por um plano b, de cota positiva e paralelo a xOy.
Sabendo que, na unidade considerada, o bordo da “tampa” tem perímetro igual a , escreva uma equação do plano b.

b)   Verifique que o ponto A (2, 3, 0) pertence à superfície esférica e determine as coordenadas do ponto B, de modo que [AB] seja diâmetro da superfície esférica.

c)   Seja a o plano mediador (perpendicular no ponto médio) do segmento [AB].
Determine  de modo que a seja perpendicular ao plano definido por .

d)   Defina analiticamente o segmento de recta [OA].

Solução

Proposta de resolução

12. Seja a o plano de equação .

a)   Defina por uma condição vectorial a recta perpendicular a a e que passa pelo ponto de intersecção de a com o eixo Oy.

b)   Para cada número real  a equação  representa um plano .

b1)   Mostre que qualquer que seja ,  e a são perpendiculares.

b2)   Diga, justificando, se existe  tal que  seja plano mediador do segmento [OA], sendo O a origem do referencial e A (1, -2, 1).

Solução

Proposta de resolução

13. Considere, num referencial ortonormado Oxyz, a superfície esférica de equação

.

·       A superfície esférica está representada na figura junta.

·       Os pontos A, B e C são pontos dessa superfície.

·       O ponto A tem coordenadas (0, 4, 3).

·       O ponto B tem coordenadas (0, -4, 3).

·       O ponto C é um ponto de cota negativa do eixo Oz.

 

a)   (Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de intersecção desta superfície esférica com os eixos do referencial.
Escolhido um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano definido por . Indique o resultado em forma de percentagem.)

b)   Mostre que uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A é .
(Note que um plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio no ponto de tangência.)

c)   Justifique que C tem coordenadas (0, 0, -5) e determine as coordenadas do ponto de intersecção do plano referido na alínea anterior com a recta BC.

d)   Calcule .

Solução

Proposta de resolução

14. Considere, num referencial o. n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura junta.

·       A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy.

·       [BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas (0, -5, 0).

·       O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4, 3, 0).

·       A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz.

·       O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro.

 

a)   Justifique que a recta AC é perpendicular à recta AB.

b)   Escreva uma equação vectorial da recta r.

c)   Justifique que  é um vector perpendicular ao plano ABD.
Determine uma equação deste plano.

d)   Designando por a a amplitude, em radianos, do ângulo BOD, mostre que o volume do cilindro é dado por , com .
(Determine  e interprete o resultado obtido.)

Solução

Proposta de resolução

15. Considere o prisma hexagonal regular representado num referencial o. n. Oxyz.
Sabe‑se que:

·       os pontos A, B e C pertencem à base inferior do prisma, a qual está contida no plano xoy e tem por centro a origem do referencial;

·       os pontos D, E, F e G pertencem à base superior do prisma, a qual está contida no plano de equação ;

·       o ponto C tem coordenadas (0, 4, 0).

 

a)   Mostre que o ponto B tem coordenadas ( , 2, 0) e aproveite este resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas ( , 2, 12).

b)   Mostre que a recta DG pode ser definida pela condição .

c)   Determine a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] do prisma.

Solução

Proposta de resolução

16. Na figura está representado um cubo, em referencial o. n. Oxyz.

·       O vértice O coincide com a origem do referencial.

·       O vértice R pertence ao semieixo positivo Ox.

·       O vértice P pertence ao semieixo positivo Oy.

·       O vértice S pertence ao semieixo positivo Oz.

·       A abcissa de R é 2.

 

a)   Determine uma equação cartesiana do plano PUV.

b)   Mostre que o raio da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo é  e determine uma equação dessa superfície esférica.

c)   Calcule a área da região do plano PUV compreendida entre a secção determinada por esse plano, no cubo, e a secção determinada pelo mesmo plano, na superfície esférica referida na alínea anterior.

Solução

Proposta de resolução

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUÇÕES

1.   D

2.   B

3.   C

4.   C

5.   D

6.   D

7.  

a)   V (0; 0; 14,7).

b)   .

c)   .

d)   O lugar geométrico é a circunferência de raio 2 unidades, centrada em A, assente sobre o plano de equação .
Uma condição é:

8.  

a)   e  (p.e.), pois .

b)   1,19 rad.

c)   .

d)   O sistema é impossível e, portanto, os três planos não se intersectam. Os planos intersectam‑se dois a dois segundo rectas paralelas.

9.  

a)   .

b)   .

c)   .

d)   P (2, 2- , 4).

10.

a)   .

b)   .

c)   .

11.

a)   .

b)   B (-2, -3, 0).

c)   .

d)   .

12.

a)   .

b)   Não existe qualquer  que verifique a condição.

13.

a)   (20%.)

b)  

c)   (0, -, 35).

d)   .

14.

a)  

b)   .

c)   .

d)   ( .)

15.

a)  

b)  

c)   ( , -10, 12).

16.

a)   .

b)   .

c)   .

 

O Professor

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Proposta de Resolução:

7.  

a)   Designando por E o ponto de intersecção do eixo Oy com a aresta [BC], temos .
Logo, . Assim, .

b)   Designando por P (x, y, z) um ponto genérico do plano considerado, os vectores  e  são perpendiculares.
Assim,

      Portanto,  é uma equação cartesiana do plano considerado.

c)   Como , uma equação vectorial da recta considerada é: .

d)   O lugar geométrico considerado é a circunferência de raio 2 unidades, centrada em A, assente sobre o plano perpendicular a AC e que passa em A.
Determinemos uma equação cartesiana do plano considerado. Um vector normal ao plano é , pelo que a equação procurada é do tipo . Dado que A é um ponto desse plano, então as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, como , uma equação do plano considerado é .
Logo, uma condição que caracteriza o lugar geométrico é: .

8.  

a)   Por exemplo,  e , pois  e  (cada um destes vectores é perpendicular ao vector dado) e não existe um k real tal que  (estes dois vectores não são colineares).

b)   Ora, . Logo,  rad..

c)   Um vector normal ao plano é , pelo que a equação procurada é do tipo . Dado que o ponto  é um ponto desse plano, então as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, como , uma equação do plano considerado é .

d)   Como o sistema das equações desses três planos é impossível, os três planos não se intersectam.

      Visto que não há planos paralelos (atente em vectores normais a esses planos: não há um par de vectores colineares), os planos intersectam‑se dois a dois segundo rectas paralelas.

9.  

a)   Comecemos por determinar a família de vectores perpendiculares ao plano considerado, isto é, perpendiculares a dois vectores não colineares desse plano.
Ora,  e . Assim,

Portanto, , com , traduz a família de vectores não nulos perpendiculares a esse plano.
Considere-se um desses vectores - , por exemplo - e P (x, y, z) um ponto genérico do plano considerado. Dado que os vectores a seguir indicados são perpendiculares, temos:

      Portanto,  é uma equação cartesiana do plano DFG.

b)   Dado que essa superfície esférica tem raio 2 e centro no ponto de coordenadas (0, 0, 2), pode ser definida pela condição .

c)   Para que os vectores considerados sejam colineares, as suas coordenadas não nulas terão de ser proporcionais. Dado que  e , então terá de ser:

.

d)   Como PÎ[HE], então P (2, y, 4) com . Para que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP seja um quadrado, terá de ser  (porquê?). Logo,

.

      Portanto, .

10.

a)   Como ,  e  (porquê?), então um vector director da recta é o vector , podendo a recta AC ser definida parametricamente por:

      Logo, eliminando o parâmetro k,  e, portanto, .

b1) Nessa rotação, o ponto A descreve uma circunferência no plano xOz, com centro em O e raio , que pode ser definida pela condição .

b2) Nessa mesma rotação, consideremos o rectângulo [OABC], decomposto nos triângulos rectângulos [ABC] e [AOC]. O volume pedido é a diferença entre os volumes dos sólidos gerados pelo rectângulo [OABC] e pelo triângulo rectângulo [AOC], respectivamente um cilindro e um cone.
Assim, .

11.

a)   Como o perímetro é , o bordo da tampa tem uma unidade de raio.

      Assim, , pelo que .
Logo,  é uma equação do plano b.

b)   Ora, . Como as coordenadas do ponto A verificam a equação da superfície esférica, então A é um dos seus pontos.
Ora, .

c)   Dois vectores normais aos planos considerados são, respectivamente,  e . Para que os planos sejam perpendiculares, estes vectores também terão de ser perpendiculares. Assim,

d)   Uma condição vectorial que define o segmento [AO] é , donde:

      Logo,  define analiticamente o segmento de recta [OA].

12.

a)   Comecemos por determinar a intersecção do plano a com o eixo Oy:

                  Logo, .

      O vector , normal ao plano a, é director da recta pedida. Assim, uma equação vectorial da recta pedida é .

b1) Os vectores  e  (não nulos) são normais, respectivamente aos planos referidos. Ora, . Logo, sendo perpendiculares estes dois vectores para todo o k real, os planos são perpendiculares qualquer se seja k.

b2) Para que um desses planos seja o plano mediador do segmento [OA], o ponto A tem de pertencer a esse plano e os vectores  e  têm de ser colineares. Ora,

      Logo, não existe qualquer  que verifique a condição formulada.

13.

a)   Os três eixos coordenados intersectam essa superfície esférica em seis pontos (dois por eixo), sendo quaisquer três deles não colineares. Portanto, escolhidos quaisquer 3 desses pontos eles definem um triângulo. Se se der ao trabalho, poderá confirmar que com esses 6 pontos se podem definir 20 triângulos distintos (basta contar os subconjuntos de  com três elementos). Desses 20 triângulos, apenas 4 deles ([DEF], [DEG], DFG] e [EFG]) estão contidos no plano definido por .
Logo, a probabilidade pedida é .

b)   Basta mostrar que o ponto A pertence a esse plano e que o vector  é normal ao plano. O que se verifica:

      Ora, , logo A pertence ao plano considerado;

      Como , sendo  um vector normal ao plano a, então também  é normal ao plano.

c)   As coordenadas do ponto C são tais que , pois C pertence à superfície esférica e ao semieixo negativo Oz. Logo, .

      Como a recta BC pode ser definida por , pois BC: , temos:

      Logo, o ponto pedido tem coordenadas .

d)   Ora, . Como o ângulo é agudo (porquê), então  e, portanto, .

14.

a)   O arco CAB é um arco de semicircunferência, logo o ângulo inscrito CAB é recto. Assim, as rectas concorrentes AC e AB são perpendiculares.

b)   Uma equação vectorial da recta r é .

c)   Como a recta r é perpendicular ao plano xOy, é perpendicular a todas rectas desse plano e, particularmente, à recta AC. Logo o vector  é perpendicular à recta r. (1)
Já justificámos na alínea a) que a rectas AC e AB são perpendiculares. Logo o vector  é perpendicular à recta AB. (2)
Portanto, por (1) e (2), podemos concluir que o vector  é perpendicular ao plano ABD, pois é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano.

      Um vector normal ao plano é , pelo que a equação procurada é do tipo . Dado que o ponto  é um ponto desse plano, então as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, como , uma equação do plano considerado é .

d)   O volume do cilindro é dado por .
Considerando o triângulo rectângulo [OBD], temos , com .
Assim, vem , com , sendo , pois . Podemos fazer a seguinte interpretação: o volume do cilindro pode ser tão grande quanto se queira, desde que o ângulo BOD se aproxime suficientemente do ângulo recto.

15.

a)   Como sabemos, um hexágono regular pode ser circunscrito por uma circunferência de raio igual ao lado do hexágono. Designando por Q o ponto de intersecção da aresta [AB] com o eixo Ox, podemos considerar o triângulo rectângulo [OQB], onde  e . Assim,  e, portanto, .
Ora, , donde . Como G é simétrico de F em relação ao plano yOz, vem .

b)   Como , então . Assim, uma equação vectorial da recta DG pode ser , donde se obtém:

       e, portanto, , c.q.m..

c)   Ora, . Portanto, a intersecção da recta DG com o plano que contém a face [ABFE] é o ponto de coordenadas .

16.

a)   O plano considerado intersecta o cubo segundo o rectângulo [OPUV]. Ora, as rectas UP e OT são perpendiculares, pois as diagonais da face de um cubo são perpendiculares. Por outro lado, a recta UV é perpendicular ao plano PQU, logo perpendicular à recta QT contida nesse plano.
Assim, podemos concluir que o vector  é normal ao plano PUV, pelo que a equação procurada é do tipo . Dado que o ponto  é um ponto desse plano, então as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, como , uma equação do plano considerado é .

b)   O centro dessa superfície esférica é o centro do cubo, que designaremos por . Logo, o raio é , c.q.m.. Portanto, essa superfície esférica pode ser definida pela equação .

c)   A área pedida corresponde à sombreada na figura ao lado, onde [OPUV] é um rectângulo inscrito num círculo de raio . Dado que  e , a área pedida é .

 

 

 

 

 

 

 

O Professor