|
Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de MatemáticaAno Lectivo 2003/04 Intersecção de planos; Resolução de sistemas 11.º Ano
Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF 1. Qual a intersecção dos planos a: e b: ? 2. Determine a intersecção dos planos dados pelas seguintes equações: a: ; b: e g: . 3. Qual a intersecção do plano a: com o plano b: ? 4. Determine a intersecção dos planos dados pelas seguintes equações: a: ; b: e g: . 5. Investigue se há pontos comuns aos três planos dados pelas seguintes equações: a: ; b: e g: . 6. Qual a intersecção dos planos a: ; b: e g: 7. Qual a intersecção dos planos a: ; b: e g: 8. Qual a intersecção dos planos: a: ; b: e g: ?
Proposta de Resolução:1. Qual a intersecção dos planos a: e b: ? Essa intersecção é o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem as equações do sistema . Estes planos não são paralelos (os vectores normais, e não são paralelos), logo a sua intersecção é uma recta. Resolvendo o sistema em ordem a x e a y, vem:
Ou seja, , que são equações cartesianas da recta de intersecção. Essa recta passa no ponto (1, 0, 0) e é paralela ao vector . Há infinitos ternos ordenados (x, y, z) que verificam o sistema (qualquer ponto da recta de intersecção verifica o sistema) por isso diz‑se que o sistema é indeterminado. 2. Determine a intersecção dos planos dados pelas seguintes equações: a: ; b: e g: .
O ponto pedido é a solução do sistema de equações . Resolvendo o sistema, vem: . Os três planos intersectam‑se no ponto J (1, -2, 3). Obtém‑se um, e um só terno ordenado de valores reais que verifica o sistema. Diz‑se então que o sistema é possível e determinado. 3. Qual a intersecção do plano a: com o plano b: ?
O sistema não tem soluções. Os vectores normais e são paralelos, logo também são paralelos os planos e são conjuntos disjuntos. A intersecção é vazia. Este sistema é impossível. 4. Determine a intersecção dos planos dados pelas seguintes equações: a: ; b: e g: . Resolvendo o sistema, vem: . Logo, o sistema é impossível.
É de reparar que a intersecção dos dois últimos planos é a recta que é paralela ao plano a: , visto que (2, -3, 1).(1, 1, 1) . Logo não se pode encontrar qualquer ponto comum aos três planos. As equações do sistema dizem‑se condições incompatíveis. 5. Investigue se há pontos comuns aos três planos dados pelas seguintes equações: a: ; b: e g: . Resolvendo o sistema, vem: o que equivale a obter apenas duas equações. Então, como há 3 incógnitas, podemos exprimir duas delas em função da terceira, o que mostra que o sistema é indeterminado:
. Para cada valor escolhido para z vem um valor para x, outro para y, logo o sistema tem infinitas soluções. O sistema pode escrever‑se , logo a recta que passa em (0, -3, 0), com vector director (1, 1, 1) é comum aos três planos dados; todos os seus pontos são solução do sistema. 6. Qual a intersecção dos planos a: ; b: e g:
O sistema não tem soluções. Os vectores normais , e são paralelos, logo também são paralelos os planos e são conjuntos disjuntos. A intersecção é vazia. Este sistema é impossível. 7. Qual a intersecção dos planos a: ; b: e g:
O sistema não tem soluções. Os vectores normais , são paralelos, logo também são estritamente paralelos os planos a e b. Estes planos são concorrentes com o plano g. A intersecção é vazia. Este sistema é impossível. 8. Qual a intersecção dos planos: a: ; b: e g: ? Dois dos planos são coincidentes (b e g) e o terceiro não é paralelo aos dois restantes (os vectores normais, e não são paralelos), logo a sua intersecção é uma recta. Resolvendo o sistema em ordem a x e a y, vem:
Ou seja, , que são equações cartesianas da recta de intersecção. Essa recta passa no ponto (1, 0, 0) e é paralela ao vector . Há infinitos ternos ordenados (x, y, z) que verificam o sistema (qualquer ponto da recta de intersecção verifica o sistema) por isso diz‑se que o sistema é indeterminado.
O Professor
|
