Introdução

Entre as propostas de trabalho desenvolvidas na sessão realizada no dia 28 de Fevereiro, duas delas foram objecto de afirmações e relações algo interessantes, que na altura não foram provadas.

Essas duas propostas de trabalho são:

· Desafio 4 OS MUROS EM RUÍNA

· Desafio 7 O NÓ DA AUTO-ESTRADA

Na altura tive a oportunidade de fazer algumas afirmações, que passarei agora a provar de forma muito sintética.

As afirmações

1. É possível resolver o Desafio 4 de uma forma elementar, inclusivamente sem recurso a um sistema de equações.

2. A altura do chão a que as barras se cruzam é “um equivalente paralelo” das alturas dos muros, não dependendo da distância entre eles.

3. A localização do nó da auto-estrada a que corresponde o menor custo da obra é nem mais o problema dos muros disfarçado.

Condições da figura

· [ABQP] é um trapézio rectângulo, sendo S o ponto de intersecção das suas diagonais

· ; ; e

A prova

Considerando que o trapézio [ABPQ] está decomposto em dois triângulos equivalentes (amarelos) e outros dois semelhantes (azuis) de razão de semelhança , temos:

ou seja

donde se pode obter

ou seja

Já agora, sendo e dado que é (semelhança entre os triângulos [BQP] e [STP]), temos:

Consideremos agora o trapézio isósceles [ABB’A’], de eixo de simetria PQ:

Seja T’, pertencente à recta PQ, o ponto de intersecção das diagonais [AB’] e [A’B] deste trapézio.

Como os triângulos [ATA’] e [BTB’] são semelhantes, com razão de semelhança , terá de ser

Logo, .

As respostas

As traves cruzam-se a metros do chão.

O nó da auto-estrada deve localizar-se a km do pé da perpendicular da localidade A.

Animações

Sketch – Geometer´s Sketchpad

Animação em JavaSketchpad

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António Amaral

Lamego, Fevereiro de 2002



		Actualizada em 03-03-2002