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Qual
a origem da proposição "A soma dos ângulos de um triângulo é
igual a dois rectos", que surge na proposição
32 do Livro I dos Elementos?
De imediato, o propósito
é tentar descobrir a quem em primeiro lugar é atribuído o seu
conhecimento. Depois de alguma pesquisa realizada, seleccionaram-se alguns
textos que serão apresentados nesta página.
Time Line of the Greek period (including
some Indian mathematicians): 800
BC - 700 AD
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Timelines/TimelineA.html
Nota:
Os destaques nos textos são de minha responsabilidade. Começamos
por um texto do saudoso Professor Miguel de Guzman:
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LOS
PITAGÓRICOS
MIGUEL
DE GUZMAN OZAMIZ
Catedrático de la
Universidad Complutense - 1986 |
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ORIGENES DEL PITAGORISMO
|
| El nacimiento y la pervivencia del
pitagorismo es uno de los fenómenos más interesantes en la
historia de la ciencia y de la cultura en general. Surgió, se
desarrolló y se expandió como un modo de vida religioso. Su
armazón intelectual consistió en una visión del universo como
un cosmos, en contraposición al caos, es decir como un todo
ordenado y organizado de acuerdo con leyes asequibles a la razón
humana. El mismo impulso religioso conducía hacia la búsqueda y
contemplación de la armonía intelectual implantada en este
universo como paradigma de conducta humana y como camino y método
de elevación espiritual, en búsqueda de las raices y fuentes de
la naturaleza.
En nuestra cultura actual,
fuertemente impregnada por el espíritu científico, que acepta
esta cosmovisión de fondo como base implícita e indiscutida,
transmitida en sus líneas generales a través de los siglos desde
las mismas raíces pitagóricas, el brillo de la idea fundamental
de la racionalidad del universo se nos presenta apagado y
desgastado por la costumbre. La armonía de las esferas no es para
nosotros más que el constante ruido de fondo que escuchamos en
nuestro quehacer racional.
Pero el mundo del siglo VI
en que a Pitágoras le tocó vivir era muy distinto. Las
invasiones persas habían aproximado hacia los griegos las
milenarias culturas orientales con su abigarrado espíritu
religioso y su actitud mística y contemplativa, que originaban
una especial forma de racionalidad. El espíritu religioso
oriental no buscaba, ni busca, su camino hacia la comunión con lo
divino a través de la contemplación racional del universo, sino
más bien mediante la negación de la búsqueda misma de la razón,
hacia formas de comunicación en zonas más internas del espíritu.
Pero junto con esta vena mística del espíritu, la cultura
oriental había realizado admirables conquistas de la razón,
plasmadas, por ejemplo, en los desarrollos astronómicos y aritméticos
de los babilonios más de un milenio antes de que Pitágoras
naciese. Tal vez una de las razones profundas del hondo
enraizamiento del movimiento pitagórico en la cultura griega y en
su heredera la cultura occidental en que hoy vivimos, consistió
en el acierto de Pitágoras para unificar ambas tendencias,
racional y contemplativo-religiosa, al dar forma a lo que llegó a
ser, mucho más que una escuela de pensamiento, una forma de vida. |
| (...) |
|
LA GEOMETRÍA DE LOS
PITAGÓRICOS |
| La principal fuente de nuestro
conocimiento sobre la geometría de los pitagóricos se encuentra
en el comentario de Proclo a los Elementos de Euclides. Proclo
escribe en Alejandría, muy alejado de Pitágoras en el tiempo,
pues vivió del 410 al 485 d. de C., pero es seguro que tuvo ante
sus ojos la Historia de la Geometría que Eudemo, un discípulo de
Aristóteles, escribió hacia el año 320 a. de C. Al comienzo de
su comentario a los Elementos Proclo transmite un resumen de lo
que fue la historia de Eudemo. Otra fuente de considerable
importancia es el mismo libro de los Elementos de Euclides. Señalaré
a continuación algunas de las porciones de los elementos que
parecen provenir de fuentes pitagóricas, a juzgar por diversos
testimonios y por razones lógicas internas. |
| (...) |
| Guiados por los testimonios históricos,
por argumentos de tipo lógico como los aducidos y por otros
derivados del estilo de presentación y de congruencia interna,
tanto van der Waerden como otros historiadores llegan a la
conclusión de que los libros II y IV de los Elementos proceden
completa o casi completamente de los pitagóricos.
Del libro III,
relativo a cuerdas y tangentes en el círculo y de ángulos en el
círculo, Neuenschwander ha mostrado que una gran parte era
conocida de los pitagóricos antiguos y de Hipócrates de Quíos.
El libro I de los Elementos tiene un carácter mucho menos
transparente. Se puede aventurar que tal vez los pitagóricos
hayan formulado una axiomática incipiente, pues los axiomas
1,2,3,7,8 son citados verbalmente (estilo pitagórico) en los
libros II y IV, de procedencia más claramente pitagórica. La
proposición I, 29 sobre la igualdad de los ángulos determinados
por paralelas era conocida de los pitagóricos que demostraron
mediante ella que la suma de los ángulos de un triángulo mide
dos rectos. Conocieron también I,47(el
"teorema de Pitágoras"), pero la demostración que poseían
era a través de la teoría de proporciones, que Euclides evita en
este libro.
Para acabar con los
puntos más sobresalientes de la geometría de los pitagóricos se
puede decir que, de acuerdo con un escolio al libro XIII de los
Elementos, los pitagóricos conocieron de los cuerpos regulares,
el cubo, el tetraedro y el dodecaedro. Según el mismo escolio,
que parece muy verosímil, el octaedro y el icosaedro parecen
haber sido estudiados por vez primera por Teeteto, en la primera
mitad del siglo IV a. de C. |
| (...) |
|
VIGENCIA DEL
PITAGORISMO |
La estela dael pitagorismo en la
historia del pensamiento científico es incomparablemente más
brillante y duradera que la de cualquier otro movimiento. La fe
pitagórica en la tarea humana de entender el cosmos es la misma
que ha inspirado toda la actividad científica a lo largo de más
de 25 siglos. Es llamativo observar cómo a través de un período
tan dilatado las armonías del cosmos que impresionaron tan
hondamente a Pitágoras y a sus discípulos han sido capaces de
seguir admirando y atrayendo la capacidad contemplativa de los
hombres de tantas épocas distintas. Pitágoras se apoyó en el
sentimiento religioso de la época para constituir una síntesis
científico-religiosa de una gran capacidad de pervivencia. Platón,
con su profundidad filosófica y su incomparable sensibilidad estética
se hizo vehículo de transmisión de una gran porción del núcleo
de pensamiento pitagórico. El espíritu pitagórico, incluso con
fervores que emulan los de las primitivas comunidades griegas, ha
aparecido en momentos y personas que representan verdaderos puntos
de cambio de rumbo en la evolución del pensamiento científico.
Se puede pensar por ejemplo en Kepler, con su Mysterium
Cosmographicum y su Harmonice Mundi o en Leibniz con su
idea de la Characteristica Universalis.
En nuestros días, la confianza
pitagórica en nuestra capacidad para explorar y entender el
universo es algo tan inmerso en el método científico que quien
la explicita, la pondera, se maravilla de ella y trata de explicársela,
corre peligro de aparecer como un iluminado. Las posturas y
explicaciones ante el hecho de la adecuación de las estructuras
mentales del científico con la realidad exterior a la que se
aplican pueden ser diferentes (compárese Bourbaki en L´Architecture
des Mathematiques, E.P. Wigner en The Unreasonable
Efectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, J. von
Neumann en The Mathematician) pero todas ellas pasan por la
afirmación de tal acuerdo.
Tampoco faltan en nuestros días
voces influyentes que quisieran asignar a la matemática un papel
más profundo, en cierto modo semejante al que el pitagorismo le
señalaba. En 1973 le fue concedida al matemático soviético I.R.
Shafarevich el premio Heinemann, por la Academia de Ciencias de Göttingen,
por el valor de su investigación matemática. Con tal motivo
pronunció un discurso interesante titulado "Sobre ciertas
tendencias en el desarrollo de la matemática", publicado en
ruso y en alemán en Jahrbuch der Akademie der Wissenschaften in Göttingen
1973, 37-42, y más tarde traducido al inglés en The Mathematical
Intelligencer (1981) 3, 182-184. En
él Shafarevich después de argumentar que el objetivo último que
justifica la actividad matemática no puede encontrarse en su mera
aplicabilidad, se remonta a los pitagóricos con las siguientes
palabras:
"La matemática como
ciencia nació en el siglo VI a. de C. en la comunidad religiosa
de los pitagóricos y fue parte de esta religión. Su propósito
estaba bien claro. Revelando la armonía del mundo expresada en la
armonía de los números proporcionaba un sendero hacia una unión
con lo divino. Fue este objetivo elevado el que en aquel tiempo
proporcionó las fuerzas necesarias para un logro científico del
que en principio no puede darse parangón. Lo que estaba
involucrado no era el descubrimiento de un bello teorema ni la
creación de una nueva rama de la matemática, sino la creación
misma de las matemáticas.
Entonces, casi en el momento de
su nacimiento habían aparecido ya aquellas propiedades de la
matemática gracias a las cuales las tendencias humanas generales
se manifiestan más claramente que en ninguna otra parte. Esta es
precisamente la razón por la que en aquel tiempo las matemáticas
sirvieron como modelo para el desarrollo de los principios
fundamentales de la ciencia deductiva.
En conclusión quiero expresar
la esperanza de que por esta misma razón la matemática ahora
pueda servir como modelo para la solución del problema
fundamental de nustro tiempo: revelar un supremo objetivo y
propósito religiosos para la actividad cultural humana".
Quede ahí la sugerencia de
Shafarevich. Con quien ciertamente no se puede menos de estar de
acuerdo es con A.N. Whitehead, que cierra así su capítulo sobre
la matemática en la historia del pensamiento en su obra Ciencia
y el Mundo Moderno: "Verdaderamente Pitágoras, con su
fundación de la filosofía europea y de la matemática europea,
la dotó con la más afortunada de las conjeturas ¿o acaso fue un
resplandor de genio divino que penetró hasta la naturaleza más
íntima de las cosas?". |
|
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LOS
PITAGÓRICOS
MIGUEL
DE GUZMAN OZAMIZ
Catedrático de la Universidad Complutense - 1986 |
|
http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/pitagoricos.htm |
O
texto seguinte é de autoria do Professor Carlos Correia de Sá.
|
A soma dos ângulos internos
dum triângulo
Carlos Correia de Sá |
|
|
Depois
de provar que duas rectas distintas paralelas a uma terceira recta
são paralelas entre si (Elementos I. 30) e de dar uma
construção com régua e compasso para a recta paralela a uma
recta dada passando por um dado ponto exterior (Elementos I.
31), Euclides demonstra o importante resultado seguinte:
Elementos
I. 32: Em qualquer triângulo, se um dos lados for
prolongado, o ângulo externo é igual aos dois ângulos internos
e opostos, e os três ângulos internos do triângulo são iguais
a dois ângulos rectos.
No
seu comentário a esta proposição de Euclides, Proclo afirma:
Eudemo,
o Peripatético, faz todavia remontar aos Pitagóricos a invenção
do teorema em virtude do qual todo o triângulo tem os ângulos
internos iguais a dois ângulos rectos (...)
De
acordo com Proclo (via Eudemo), os pitagóricos teriam demonstrado
este teorema da seguinte maneira. Seja ABC um triângulo e
trace-se pelo vértice uma recta DE, paralela ao lado BC do triângulo.
Prova pitagórica do resultado sobre a soma dos
ângulos internos dum triângulo arbitrário.
|
|
Como
as rectas BC e DE são paralelas, qualquer uma das
transversais AB e AC determina nelas ângulos alternos
internos iguais. Ou seja, <BAD = <ABC e <CAE
= <ACB. Uma vez que os três ângulos DAB, BAC e
CAE são, quando tomados conjuntamente, iguais a dois ângulos
rectos, também os três ângulos internos do triângulo ABC são,
quando tomados conjuntamente, iguais a dois ângulos rectos.
A
demonstração transcrita por Proclo não é essencialmente
diferente da de Euclides; em ambas as versões, são chamadas a
intervir relações entre ângulos num sistema de duas rectas
paralelas e uma recta transversal. A igualdade de ângulos alternos
internos, por exemplo, pode ter sido sugerida, ainda num período
muito recuado, pelos motivos em zigue-zague usados na decoração de
vasos de cerâmica; mas sabe-se que o tratamento conveniente da
questão só foi conseguido nos finais do século IV a.C., com
Euclides ou um seu contemporâneo. Com efeito, poucos anos antes
(meados do século IV a.C.), Aristóteles considerava que o
tratamento que os geómetras davam das questões do paralelismo não
era satisfatório (Primeiros Analíticos, citado em Heath
1970, 27):
Isto
é o que sucede com aqueles que estabelecem a teoria das paralelas,
porque assumem inconscientemente coisas que não é possível
demonstrar se não existirem paralelas. O resultado é que as
pessoas que argumentam assim apenas dizem que uma coisa é se for, e
nesta base tudo tem de ser evidente por si, o que é impossível.
Este
testemunho de Aristóteles permite creditar o autor dos Elementos
pelo encadeamento neles exposto. Portanto, a demonstração
acima não estava ao alcance dos geómetras anteriores (e, em
particular, dos da escola pitagórica), nos termos rigorosos em que
Proclo a apresentou.
O
principal mérito de Euclides reside na escolha do quinto postulado,
consequência duma perfeita consciência da incapacidade de
demonstrar por outra via, quer as relações entre os ângulos
formados por uma transversal incidindo em duas paralelas, quer a
igualdade a dois rectos dos ângulos internos dum triângulo. Como
diz T. Heath ( 1981, I, 202), referindo-se àquela passagem de Aristóteles:
Esta
censura foi removida por Euclides, quando escreveu este Postulado
que fez época. Quando se consideram as incontáveis tentativas
sucessivas, feitas ao longo de mais de vinte séculos, para provar o
Postulado, muitas delas por geómetras capazes, não podemos deixar
de admirar o génio do homem que concluiu que uma tal hipótese, que
ele achou necessária para a validade de todo o seu sistema de
geometria, era realmente indemonstrável.
|
|
Retirado de HISTÓRIA
DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 259-260) |
|
| Elementos I.32: |
Em
qualquer triângulo, prolongado um seu lado, o ângulo externo iguala
a soma dos dois interiores não adjacentes, e a soma dos três
ângulos interiores do triângulo é igual a dois rectos.
|
Construção: |
| Construamos
CE, através do ponto C e paralela à recta AB. (I.31) |
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|
Created with Cinderella
|
|
Ficheiro Cdy: I32
|
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|
Prova: |
|
|
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Como
a recta AB é paralela à recta CE, e a recta AC lhes é secante,
então os ângulos alternos BAC e ACE são iguais entre si. (I.29) |
|
|
De
igual modo, como a recta AB é paralela à recta CE, e a recta BD
lhes é secante, então o ângulo exterior ECD é igual ao
interior ABC. (I.29)
Adicionemos o ângulo ACB a cada. Então a soma dos ângulos ACD e
ACB iguala a soma dos três ângulos ABC, BCA e CAB. (C.N.2) |
|
|
Mas
a soma dos ângulos ACD e ACB iguala dois ângulos rectos. (I.13)
Portanto, a soma dos ângulos ABC, BCA e CAB também iguala dois
ângulos rectos. (C.N.1) |
Conclusão:
-
Atribui-se
a Tales a demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma
circunferência aos extremos de um diâmetro [AB] obtém-se um triângulo
rectângulo em C. Por isso, provavelmente, para demonstrar este
teorema, Tales terá usado também o facto de que a soma dos ângulos
de um triângulo é igual a dois rectos.
-
De
acordo com Proclo (via Eudemo), os pitagóricos teriam demonstrado o
teorema "todo o triângulo tem os ângulos internos iguais a dois
ângulos rectos", com base numa axiomática considerada
incipiente nos dias de hoje e, na época, considerada insatisfatória
por Aristóteles.
-
Crê-se
que Euclides terá considerado nos Elementos um grande número de
conhecimentos anteriores, entre os quais se incluiu o referido
teorema. Consequência duma perfeita consciência da incapacidade de
demonstrar por outra via, quer as relações entre os ângulos
formados por uma transversal incidindo em duas paralelas, quer a
igualdade a dois rectos dos ângulos internos dum triângulo, a
escolha do 5.º Postulado por Euclides deu a consistência que ele
achou necessária para a validade de todo o seu sistema de geometria Euclidiana,
que actualmente se considera uma hipótese não demonstrável com base
nos primeiros quatro postulados.
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Tales
de Mileto |
|
Aproximadamente
624 - 547 a.C.
|
|
O
Filósofo e o eclipse
solar de 28 de maio de 585 a. C.* |
|
|
A
Escola Jônica desenvolveu-se entre os séculos VII e VI a .C. na
cidade de Mileto, importante porto comercial situado na costa da
Ásia Menor (hoje território da Turquia). Entre os historiadores,
há o consenso de que se trata da primeira escola de filosofia,
sendo Tales, seu fundador, o primeiro filósofo da história.
O
primeiro problema filosófico enfrentado pela Escola Jônica foi
saber qual é a origem, o princípio, qual a substância
primordial (a arché, em grego) de tudo que existe. Pela primeira
vez o homem busca explicação da natureza dentro da natureza.
Este comportamento leva ao abandono das explicações mitológicas
que eram dadas anteriormente ao surgimento da filosofia, aquilo
que alguns historiadores costumam chamar de "milagre
grego", ou seja, a passagem do saber mítico para o
pensamento racional, filosófico. Os pensadores jônios podem ser
vistos como precursores da ciência moderna e que não há razão
para duvidar que Tales foi o primeiro ser humano a merecer
legitimamente ser considerado um cientista.
Para
Tales a arché, a matéria prima, a origem de tudo é a água,
Tales diz: "Tudo é água". Segundo Aristóteles, a
contribuição de Tales é relevante enquanto investiga o porquê
das coisas. Para ele, "a terra flutua na água, que é de
certo modo a origem de todas as coisas".O filósofo alemão
Nietzsche diz que Tales é um mestre criador que, sem fabulação
fantástica, começou a ver a natureza em suas profundezas. Para
isso, serviu-se da ciência e do demonstrável, mas logo foi além
deles, já que isso é uma característica típica da cabeça
filosófica.
Considerado
o "Pai" da filosofia ocidental, estudioso da matemática,
geometria e astronomia, alguns historiadores consideram, todavia,
que sua colocação pelos antigos entre os "sete sábios da
Grécia" deveu-se principalmente à sua atuação política:
teria tentado unir as polis gregas da Ásia Menor numa confederação,
no intuito de fortalecer o mundo helênico diante das ameaças de
invasões de povos orientais. Foi proclamado pelo Oráculo de
Delfos como o primeiro dos sete sábios da antigüidade. A formação
cultural e científica de Tales de Mileto é proveniente de suas
constantes viagens. Teve contato com a Geometria no Egito e com a
Astronomia na Babilônia, onde os conhecimentos de Matemática
datam de um milênio antes dele. Como
matemático, são atribuídos a ele os seguintes teoremas:
um círculo é bissectado por um diâmetro; os ângulos da base de
um triângulo isósceles são iguais; os pares de ângulos opostos
formados por duas retas que se cortam são iguais; se dois triângulos
são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais
respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos
são congruentes; que todos os ângulos inscritos no meio circulo
são retos e que, em todo triângulo, a
soma de seus ângulos internos é igual a 180 graus.
Conta-se
que numa das viagens ao Egito, Tales impressionou o Faraó,
medindo a altura das pirâmides pela observação do comprimento
das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é
igual à sua altura. Diz à tradição que Tales previu o eclipse
solar de 28 de maio de 585 a. C (exatamente há 2588 anos). De que
maneira? A olho nu e sem nenhum instrumento sofisticado para a época?
Seria pura lenda que teria previsto com exatidão a hora e o dia
em que ocorreria o fenômeno ou realmente teria acertado a previsão
em decorrência de seus profundos conhecimentos na área da
astronomia? De qualquer forma, Tales foi o primeiro astrônomo a
explicar o eclipse do sol, ao verificar que a Lua é iluminada por
este astro. O que parece mostrar e provar que as suas idéias
eram, não somente conhecidas, mas também largamente
compartilhadas e discutidas. |
|
*
Prof. Ary Meirelles Jacobucci
professor de Filosofia do Centro UNISAL - unidade Americana
Mestre em Educação |
|
Fonte |
|
Pitágoras
de Samos |
|
Aproximadamente
580 - 500 a.C.
|
Pitágoras nasceu em
Samos, uma das ilhas do Dodecaneso na Grécia e provavelmente
recebeu instrução matemática e filosófica de Tales
e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos,
viajou pelo Egito
e Babilônia
- possivelmente indo até a Índia. Durante suas peregrinações,
ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas
como também muitas idéias religiosas. Quando voltou ao mundo
grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia (na
costa sudoeste da atual Itália), onde fundou a Escola Pitagórica
dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. À Pitágoras
são atribuídas várias descobertas sobre as propriedades dos números
inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração
do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido
pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor a
sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) seriam criações de
Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais.
Os membros da Escola Pitagórica
recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas:
Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que constituíram as
artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média
como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária
de uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática
à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na
independente das necessidades práticas e a transformaram em uma
atividade puramente intelectual.
(...)
Entre
as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos
podemos citar:
Também desenvolveram métodos geométricos
para demonstrar diversas identidades algébricas e estudaram os sólidos
regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro.
O símbolo que representava os
pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, isto devido
às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um pentágono
regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam
e formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção
de duas diagonais divide a diagonal de uma forma especial chamada
pelos gregos de divisão em média e extrema razão e que
conhecemos também como secção
áurea. |
| http://www.matematica.br/historia/pitagoras.html |
|
A
Matemática Interactiva na Internet
 |
|
GEOMETRIAS
NÃO EUCLIDIANAS |
|
Uma breve
introdução às Geometrias Hiperbólicas
Ricardo S. Kubrusly
IM/UFRJ |
O Drama de Euclides.
Duas retas paralelas nunca se encontram. Mas aonde se encontrariam
duas retas "ligeiramente" concorrentes? Antes do final
da página, ou além? Bem, isso depende do ângulo entre elas. E
se o ângulo for bem pequeno? Se encontrarão antes do final da
sala, ou além? Além dos limites da cidade? Dentro das fronteiras
do país? Isso é claro, ou não? E se o ângulo for realmente
muito pequeno, se encontrarão ainda neste nosso continente? Além
mar? Por seguro ainda no nosso planeta, ou não? Ou será um
encontro cósmico? Nesta galáxia, ou onde? E se elas não se
encontrarem dentro dos limites do cosmos? Ainda assim se
encontram? E se nunca se encontram, ainda assim são concorrentes,
ou não?
Segundo Euclides, duas retas são paralelas se elas nunca se
encontram. Ora, então as nossas retas que nunca se encontram são
paralelas. Mas como paralelas se o ângulo entre elas, embora
pequeno, é diferente de zero. É claro que elas não são
paralelas, ou não?
O quinto postulado.
Dado uma reta qualquer e um ponto fora desta reta, existe uma única
paralela à reta dada, passando por este ponto.
Euclides ao formular este postulado,
que acima está escrito na versão dada por Playfair no século
XVII, sabia, ou logo percebeu, que a questão da unicidade das
paralelas era, ou seria, polêmica, pois implicava a existência
do ponto de encontro de duas quaisquer retas concorrentes, mesmo
que este se encontrasse além dos limites do factível. Pode-se
afirmar a existência de algo que não pode ser realizado dentro
do universo inteiro? Esta era uma questão bastante delicada. Por
outro lado, a veracidade do quinto postulado, jamais foi
questionada, pelo menos até meados do século XIX. Era claro, que
as nossas duas retas acabariam por se encontrar, num ponto teórico,
que não precisava ser construído, pois tinha a sua existência
garantida dentro do nosso pensamento. O que preocupava o velho
Euclides, não era portanto a veracidade do seu quinto postulado,
mas sua praticidade. Não era tão simples quanto os outros
postulados que nunca geraram questões filosóficas, eram
essencialmente auto-evidentes e nunca remeteram nossos pensamentos
para o infinito.
Estabeleceu-se então um consenso de que embora houvesse algum
problema com o quinto postulado, sua veracidade era inquestionável.
Tratava-se, muito provavelmente, não de um verdadeiro postulado,
mas sim de um teorema, e como tal deveria ser demonstrado dentro
da própria geometria, utilizando-se é claro, apenas a matemática
gerada pelos quatro primeiros postulados. Nesta tarefa, a de
provar o quinto postulado de Euclides, envolveram-se milhares de
matemáticos durante mais de dois mil anos. Provas e mais provas
iam surgindo, ficavam por um tempo com a fama e a glória de terem
resolvido o maior desafio matemático que até então aparecera,
para depois serem derrubadas, uma a uma, pela mente precisa e
impiedosa da própria matemática.
Há "provas" de todos os tipos, desde as mais simples,
que foram facilmente desmontadas, até as mais elaboradas que no
início do século XIX apareceram na Europa e que necessitam de um
olhar atento e rigoroso para serem desqualificadas como
verdadeiras demonstrações do quinto postulado de Euclides. Mas
todas, das mais ingênuas às mais sofisticadas, continham sempre,
por mais disfarçado que fosse, um raciocínio circular que
escondia dentro da própria argumentação lógica de sua
demonstração, as verdades do próprio quinto postulado que se
queria provar. A suposta
verdade sobre a existência de uma única paralela
estava tão encarnada dentro do pensamento científico que era fácil
usá-la sem dar-se conta. São tantos os resultados, obtidos como
conseqüência direta da unicidade das paralelas, que até então
eram inquestionáveis, como a simples existência de retângulos
ou o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo ser
180o, que eram usados, sem que se percebesse a dependência
que tinham do quinto postulado, nas pretensas provas que acabavam
sempre tornando-se ciclos viciosos de redundância lógica.
(...) |
| http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/diversos/gne.html |
Mathematical
mysteries:
Strange Geometries
by Helen Joyce
|
|
Euclidean Geometry |
|
The angles of a triangle sum to 180
degrees
|
|
M.C. Escher's "Regular division
of the plane"
|
|
Spherical Geometry |
|
The angles of a triangle sum to more
than 180 degrees
|
|
M.C. Escher's "Sphere with Angels
and Devils"
|
|
Hyperbolic Geometry |
|
The angles of a triangle sum to less
than 180 degrees
|
|
M.C. Escher's "Circle limit
IV"
|
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|
|
|
| http://plus.maths.org/issue18/xfile/ |
|
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Para
uma introdução à última parte da ficha de trabalho, o professor
poderá utilizar alguma informação contida no texto seguinte:
|
A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE |
Matemática pré-helénica |
|
A
origem da Matemática é tão antiga como a própria civilização.
As primeiras concepções de número e de forma datam do período
paleolítico. Poucos progressos se fizeram nestes campos até se dar
a transição para o período neolítico.
A
agrimensura desenvolveu-se principalmente no antigo Egipto para a
distribuição dos terrenos pelos proprietários, uma vez que as
marcas eram constantemente destruídas pelas cheias. A geometria
aparece assim entre os Egípcios como um conjunto de regras
empíricas, receitas práticas, para a medição de terrenos.
A
astrologia desenvolveu-se muito na Caldeia e na Assíria. Os Caldeus
deram origem a um desenvolvimento da matemática, dois mil anos
antes de Cristo, que continua hoje a surpreender os estudiosos de
História da Matemática.
Os
babilónios resolviam já equações até ao segundo grau e
possuíam um sistema de numeração capaz de representar valores
tão próximos quanto se quisesse de qualquer número. Foram talvez
eles os primeiros a sentir necessidade da demonstração lógica. |
|
Origens da matemática helénica |
|
Coube
aos antigos gregos ou helenos a glória de terem criado a
matemática como ciência racional, isto é, baseada no raciocínio
lógico dedutivo. Criaram-na reflectindo sobre os conhecimentos
matemáticos empíricos dos egípcios, babilónios e outros povos de
cuja cultura os helenos foram herdeiros. Mas foi a filosofia no
sentido etimológico do termo, isto é, o amor do conhecimento
desinteressado, que os levou a procurar a verdade em si mesma,
independentemente das aplicações práticas, buscando assim um meio
de atingir o prazer intelectual comparável ao da criação artística.
Daí o terem descoberto o método racional. É na descoberta do método
racional e na concepção da beleza como esplendor da verdade
racional que consiste essencialmente o chamado milagre grego,
não no sentido usual da palavra, mas por ser caso único na história.
Porém,
a matemática grega ficou sempre subordinada à geometria. Para a
criação da aritmética e da álgebra foi necessário pôr de lado
preocupações de rigor lógico e visar objectivos práticos
concretos. Foi assim que procederam os Indianos - inventores do
sistema de numeração decimal - que, em cálculos audaciosos não
justificados, manejaram decididamente, e com êxito, os radicais e
os números negativos.
Os
primeiros gregos que se dedicaram ao estudo da matemática foram os
filósofos da escola jónica na Ásia Menor, em especial em Mileto.
Um desses filósofos de Mileto, de cuja existência se chega a
duvidar, é Thales de Mileto (600 a.C.). Este filósofo teria estado
no Egipto de onde teria importado para as colónias jónicas os
primeiros conhecimentos de geometria e aritmética. Nos poucos
fragmentos de manuscritos que se atribuem a Thales surgem já
argumentações do tipo de demonstrações matemáticas. É-lhe
atribuída a demonstração de certos teoremas de geometria, como
teoremas elementares de semelhança de triângulos e outros. |
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A escola pitagórica |
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Pitágoras
é outra figura um tanto lendária que teria nascido na ilha de
Samos no Mar Egeu cerca de 540 a.C. e que teria fundado em Crotona,
colónia grega do sul de Itália, uma escola científico religiosa
constituída por elementos da aristocracia, que é referida como
escola pitagórica. Esta escola veio a exercer uma influência
profunda em todo o pensamento científico durante muitos séculos.
É na escola pitagórica que se encontra pela primeira vez a palavra
matemática, usada como sinónimo de ciência racional.
Os
pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número,
considerando-o como essência das coisas. Assim, admitiam que os
objectos materiais eram figuras geométricas constituídas por um número
de partes indivisíveis idênticas entre si e de dimensões não
nulas, a que davam o nome de mónadas, que seriam assim ao
mesmo tempo átomos materiais e átomos geométricos. Aliás, para
os pitagóricos e, de um modo geral, para os grandes da antiguidade,
a designação número aplicava-se só aos inteiros maiores
que um e que não apareciam claramente como entes abstractos.
Segundo
a teoria das mónadas os pitagóricos consideravam dois
segmentos de recta como formados, cada um deles, por um número
finito de mónadas; se o primeiro tem m mónadas e o segundo
tem n mónadas, a razão entre os comprimentos é m/n.
Diziam então que o comprimento do primeiro segmento está para o
comprimento do segundo segmento assim como m está para n.
De acordo com esta teoria todos os segmentos seriam mensuráveis
entre si.
Teorema
de Pitágoras: Num triângulo rectângulo o quadrado da
hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
O
teorema de Pitágoras levou à destruição da teoria das mónadas.
A descoberta deste teorema - que é afinal um dos acontecimentos
capitais da história do pensamento - foi tida como uma calamidade
pelos seus próprios autores, que tentaram ocultá-la, convencidos
de que os deuses os castigariam severamente se eles divulgassem o
que lhes parecia uma imperfeição divina.
Este
facto teve grandes repercussões na história da ciência que se
fizeram sentir até fins do século XIX. De um modo geral, todas as
vezes que as necessidades do cálculo levavam a ampliar o campo dos
números existentes, introduzindo novos entes numéricos, estes eram
olhados com extrema desconfiança, que se reflectia nas curiosas
designações que lhes eram atribuídas. Assim, os números
irracionais foram denominados «números inexprimíveis», «números
incalculáveis», «números surdos», etc.. Depois, os números
negativos, que a teoria das equações algébricas tomava cada vez
mais inevitáveis, foram chamados «números absurdos», «números
falsos», «números fingidos», etc.. Depois ainda, a mesma teoria
das equações algébricas obrigou a introduzir os «números imaginários»,
também chamados «números impossíveis», «números quiméricos»,
etc.
O
misticismo que caracteriza a escola pitagórica traduz um sentimento
de deslumbramento perante a descoberta do método racional como dádiva
dos deuses.
Os
pitagóricos dedicaram-se à música e relacionaram os comprimentos
das cordas dos instrumentos musicais com as frequências. Foram os
fundadores da teoria da música e da acústica. Admitiram que a distância
dos planetas à terra estava relacionada com sons musicais e que o
movimento dava origem à música celeste de que os humanos não se dão
conta.
Para
os gregos a Aritmética era a ciência dos números, uma ciência
nobre que nada tinha a ver com os processos de cálculo numérico, a
que chamavam logística, e que só tinha interesse para as crianças
da escola e para os mercadores. Consideravam a matemática dividida
em quatro ramos: aritmética, música, geometria, astronomia. |
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Escola de Alexandria: Euclides |
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Aristóteles
educou Alexandre com a finalidade de levar à unificação do povo
grego. Alexandre fez numerosas conquistas e constituiu o seu império
abrangendo muito mais que do que a Grécia. Adoptou os hábitos e o
despotismo dos monarcas orientais, o que levou Aristóteles a
afastar-se, uma vez que não concordava com tal procedimento.
Depois
da morte de Alexandre o seu império foi dividido em três partes
entregues a três generais. O Egipto ficou para Ptolomeu, com
capital em Alexandria onde se criou o "Museu" que
foi o centro principal da cultura helenística. O prestígio da
escola de Alexandria perdurou durante muito tempo e deve-se aos três
maiores matemáticos da antiguidade, Euclides,
Arquimedes e
Apolónio,
que nela ensinaram. Estes matemáticos já não são filósofos, são
exclusivamente cientistas, pois a matemática tinha atingido um
estado de maturidade que lhe permitia afastar-se da mãe filosofia.
No entanto esta separação nem sempre prevaleceu: hoje em dia com a
cibernética tornam-se muito importantes as relações entre a matemática
e a filosofia.
Infelizmente
não se sabe muito sobre a vida de Euclides. Ao que parece ensinou
na escola de Alexandria no século III a.C.. A obra de Euclides que
o tornou famoso ao longo dos séculos é a sua sistematização da
geometria, a que se deu o nome de "Elementos", à
semelhança do que tinham feito anteriormente outros matemáticos
gregos em tentativas análogas. Hipócrates de Chios terá sido o
primeiro a escrever um livro de elementos em que tenta
sistematizar as descobertas dos Pitagóricos, demonstrando-as
sucessivamente a partir de um sistema de princípios ou premissas
iniciais.[Os matemáticos gregos costumavam dividir os princípios
em três categorias: definições, postulados e axiomas.
As definições têm por fim definir ou precisar o
significado dos termos. Os postulados constituíam os princípios
específicos da ciência considerada. Os axiomas, também
chamados noções comuns, eram considerados como princípios
comuns a todas as ciências.]
Os
Elementos de Euclides dividem-se em treze livros. É preciso
não esquecer que na antiguidade clássica não existia papel
escrevendo-se à mão em pergaminho e, por isso, os livros
correspondiam sensivelmente aos capítulos de um livro actual. Um
leitor desprevenido e que tenha uma boa preparação em matemática
ficará certamente desapontado ao ler as primeiras páginas. Mas
vale a pena continuar porque essa má impressão a pouco e pouco
ir-se-á atenuando e dará lugar a uma profunda admiração pelo
grau de rigor lógico que foi possível atingir naquela época. Não
se quer com isto dizer que as demonstrações de Euclides sejam
impecáveis segundo as exigências actuais. Mas seja como for
podemos dizer que nesta obra de Euclides se encontra essencialmente
quase tudo o que é necessário para construir dedutivamente a
geometria elementar, cuja estruturação lógica só foi completada
mais de vinte séculos depois pelo grande matemático alemão David
Hilbert (1862-1943).
Tudo
leva a crer que Euclides foi principalmente um sistematizador e não
propriamente um criador. São-lhe atribuídos o conhecido método
das divisões sucessivas, também chamado algoritmo de Euclides,
para achar o máximo divisor comum, os referidos teoremas sobre triângulos
rectângulos e pouco mais.
O
grande mérito de Euclides consiste em ter pela primeira
sistematizado os resultados dos geómetras anteriores num todo
racional, em que os teoremas e os métodos de resolução de
problemas são demonstrados por lógica dedutiva a partir de um número
limitado de premissas iniciais.
O
seu trabalho apresenta várias lacunas que só puderam ser
preenchidas nos finais do século XIX, mas o rigor lógico atingido,
extraordinário em relação à sua época, justifica plenamente que
tal obra tenha sido tomada durante séculos como modelo da ciência
racional.
No
entanto, esta perfeição lógica, que não dá a mínima ideia das
tentativas que se fizeram para chegar aos teoremas e para resolver
os problemas, exerceu uma acção negativa durante séculos para o
progresso da matemática. Os resultados apareciam de certo modo como
obra de semi deuses, inigualáveis por simples mortais. |
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Adaptado de A MATEMÁTICA
NA ANTIGUIDADE
Texto baseado em notas das lições de História do Pensamento
Matemático
do Professor José Sebastião e Silva
Edição da SPM, Dezembro de 2000 |
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História da Matemática na
Babilónia |
A Babilónia era uma
das cidades da Mesopotâmia, região a sul da Ásia entre o rio
Tigre e o Eufrates, no actual Iraque e terras circundantes. Em
grego Mesopotâmia significa entre os rios.
Há cerca de 10 000 anos, o povo desta região começou a
domesticar animais e plantas, e a viver da agricultura e da pastorícia.
Viviam em casas feitas de canas e tijolos de lama, construíram
celeiros onde guardavam os seus cereais e desenvolveram um sistema
simbólico, pequenos objectos em argila, com diferentes formas
geométricas, para fazerem o registo do seu comércio e dos seus
bens. |
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| Esta
tábua contém 5 problemas. O primeiro envolve a resolução de uma
equação, o terceiro o peso original de uma pedra, o quarto a
quantidade necessária para betumar uma parede e o quinto é sobre a
planta de um terreno. |
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A epopeia de
Alexandre |
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Alexandre, o Grande
Rei da Macedónia (356-323 a.C.)
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Como pôde um reinado de 12 anos
mudar a face do mundo?
É uma pergunta que já faziam aqueles que rodeavam Alexandre III
da Macedónia, chamado Alexandre Magno, ou o Grande,
impressionados por este jovem de 20 anos que, de 336 a 324 a.C.,
tinha percorrido mais de 18.000 km, travando quatro grandes
batalhas, submetido o império persa de Dario, o Grande Rei,
fundado numerosas cidades chamadas Alexandria, a mais longínqua
das quais se encontra hoje no Tajiguistão, aberto o Oriente à
civilização grega e criado um império que se estendia da actual
Albânia até às fronteiras da Caxemira. E não a terá o próprio
Alexandre feito a si mesmo, ele que determinou que se chamasse
oficialmente «deus invicto», filho do deus do Egipto Amom-Ré,
ou Dionísio encarnado, e que estava convencido de ser descendente
de Aquiles, o rei da guerra de Tróia, e de Herácules, filho do
próprio Zeus? Por muito que o historiador se esforce por
desmontar os mitos, por medir escrupulosamente as partes que cabem
ao mérito e à sorte, é impossível não se deixar fascinar pela
extraordinária epopeia do maior conquistador da Antiguidade, um
conquistador que dá razão a todos aqueles que pensam que os
grandes homens desempenham um papel considerável na história. |
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No
tempo da Grécia Antiga,
História do Mundo, Selecções do Reader's Digest, 1996, Pág.
169-170 |
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Primeiros
princípios
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| Aristóteles
(384-322 a.C.), em Posterior
Analytics, apresenta uma discussão detalhada do papel dos primeiros
princípios em ciências demonstrativas. Os primeiros
princípios são aqueles conceitos ou as afirmações que
permanecem sem serem provadas. A sua veracidade é suposta e delas
outras afirmações são provadas. Os primeiros princípios
de Aristóteles podem ser classificados em três tipos: definições,
axiomas, e postulados. |
| Uma
definição é uma indicação que requer somente uma
compreensão dos termos que estão a ser usados. Não diz nada sobre
a existência da coisa que está a ser definida; isto deve ser
provado separadamente. Por exemplo, definir o significado do termo
''círculo" não implica que tal objecto exista. |
| Um
axioma ou uma noção comum é uma afirmação, cuja
veracidade é aceite por ser notoriamente óbvia, e que é aplicável
- por analogia, pelo menos - em todas as ciências. Um exemplo é
"coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"; este
é o primeiro axioma nos Elementos. |
Os
postulados, como os axiomas, são assumidos sem prova.
Contudo, enquanto que os matemáticos modernos tendem a não fazer
distinção entre os dois, os gregos antigos faziam-na. Aristóteles
indica três maneiras de diferenciar postulados e axiomas:
- Os
postulados não são evidentes por si mesmo, como são os
axiomas.
- Os
postulados são aplicáveis somente à ciência específica que
está sendo considerada, visto que os axiomas são mais gerais.
- Os
postulados afirmam que algo existe, enquanto que os axiomas não.
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| Cada
um dos postulados de Euclides
pode satisfazer algumas ou todas estas interpretações. Por
exemplo, o postulado "descrever um círculo com um dado centro
e um dado raio" dá obviamente uma indicação sobre a existência
dos círculos que não é realmente evidente por si mesma, como o é
no axioma no exemplo acima. |
| Segundo
Proclo,
os gregos antigos definiam os "elementos" de um estudo
dedutivo como os teoremas-mestre, de uso geral e amplo no assunto. Euclides,
no livro Os Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco
postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos
e sessenta e cinco proposições dessas dez afirmações. Certamente
um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a
criação da forma postulacional de raciocínio. |
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inderella
