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«Poderá um software de geometria
dinâmica ajudar numa mais eficaz utilização da história da matemática na sala
de aula?»
«A matemática é uma grande
aventura nas ideias; a sua história reflecte alguns dos mais nobres pensamentos
de inúmeras gerações.»
(Dirk
J. Struik)
Depois da troca de
impressões ocorrida na 1.ª sessão e das leituras sugeridas nos materiais (e
outras(1) da minha iniciativa), deixo aqui
registadas algumas ideias, que, por ventura, mais não serão que o reflexo das
ditas.
Sendo a matemática um corpo
de conhecimentos naturalmente desenvolvido por pessoas durante há já alguns
milénios, o estudo da sua história permite tomar consciência de uma tradição que,
incluindo facetas várias do drama humano que captura a imaginação e perpetua o
interesse (mistério, aventura, intriga, etc.), vai fazer diminuir as suas
cargas mística e mágica, naturalmente absurdas. O estudo da história da
matemática permite descobrir que a matemática formalizada é precedida por uma
matemática informal e quase empírica (que se desenvolve pelo jogo das
conjecturas através da especulação, da crítica e da dinâmica dos interesses
práticos e teóricos), a qual, sendo objecto de estudo, dá uma visão unitária
integradora, proporcionando a iluminação das ideias iniciais de certos assuntos
e elementos, que doutra forma não se interpretariam.
Eduardo
Veloso, na sua obra
“Geometria – Temas actuais”, Edição do Instituto de Inovação Educacional, 1.ª
Edição (Julho, 1998), refere a partir da página 24:
«O texto mais completo de
Freudenthal sobre o ensino da geometria constitui um dos capítulos do seu livro
Mathematics as an Educational Task, publicado em 1973. O título do
capítulo é The case of geometry ("o caso da geometria") e as
questões principais são expostas logo nos primeiros parágrafos, que não podemos
deixar de transcrever:
Durante
muito tempo matemática foi sinónimo de geometria. De facto, sempre existiram
também outros ramos - álgebra, trigonometria, cálculo - que contudo quase não
passavam de colecções de regras não fundamentadas, escolhidas ao acaso,
enquanto a geometria era um sistema conceptual perfeito, onde as afirmações
resultavam rigorosamente umas das outras e finalmente tudo das definições e
axiomas. Embora outras técnicas fossem mais eficientes, a geometria era a
verdade genuína. Mas a alta estima que era atribuída à geometria foi
desaparecendo. Os sistemas axiomáticos de Pasch e Hilbert revelaram muitas
falhas na geometria clássica. Por outro lado as axiomáticas do tipo das de
Pasch-Hilbert eram tão complicadas que o que se podia fazer era lê-las ou fazer
investigação sobre os fundamentos a propósito delas, mas não era possível fazer
geometria no seu interior ou, em qualquer caso, ensinar geometria com elas.
Noutros tempos, a geometria não era apenas uma
poderosa peça de ciência dedutiva; era o mais antigo e divulgado exemplo de
didáctica. A primeira lição que ficou registada foi a lição experimental
que Sócrates deu ao escravo de Meno diante deste, embora o relato de Platão
possa ser ficção. Não se tratou de acaso o facto do conteúdo da lição de
Sócrates ter sido geometria. Ainda hoje a geometria seria um excelente tema
para o método socrático e para a reinvenção; a este respeito apenas é igualada
pelas probabilidades.
A estrutura dedutiva da geometria tradicional não foi
apenas um sucesso didáctico. Existem actualmente pessoas que acreditam ter a
geometria falhado por não ter sido suficientemente dedutiva. Na minha opinião,
a causa foi antes o facto da dedução não ser ensinada como reinvenção, como fez
Sócrates, mas sim imposta ao aluno. De qualquer modo, algumas pessoas defendem
e promovem actualmente a abolição da geometria. Entre aqueles que deveriam
abrir à juventude as portas da sua herança cultural, existem alguns que
alegremente deitariam a geometria no incinerador cultural. Os dias da geometria
tradicional estão contados, se porventura ainda existe em algum lugar. O que se
lhe seguirá? Esta questão urgente justifica o título deste capítulo. O
"caso da geometria" - foi condenada à morte, mas terá tido um
julgamento imparcial? Foi condenada justamente ou devido a provas falsas? Teve
o réu advogado de defesa? Não deverá ser reaberto o processo?
Se existem hoje motivos para preocupação do futuro do
ensino da geometria e mesmo para recear que a geometria possa desaparecer do
currículo, os primeiros culpados são aqueles que, activa ou passivamente,
resistiram à inovação no ensino da Matemática. As vozes daqueles que defendiam
a renovação não foram ouvidas. O grupo mais perigoso era constituído por
aqueles que acreditavam que podiam salvar a velha geometria reforçando a sua
estrutura dedutiva; tarefa voltada ao fracasso, sem dúvida. Geometria não é
apenas dedução.»
E, na página 38, continua Eduardo
Veloso:
«Não é possível compreender o papel da matemática na
construção da nossa sociedade sem integrar a história da geometria no seu
ensino. Acresce que durante muitos séculos a história da matemática se
confundiu praticamente com a história da geometria, e a maior parte dos
matemáticos eram intitulados geómetras. Assim, a componente histórica no
programa de geometria, nomeadamente no ensino secundário, deve tomar-se muito
mais ampla do que é na actualidade.
Tendo
em conta que a história da geometria não terminou no séc. XVIII nem se esgota
com a geometria euclidiana, é importante que os alunos não abandonem o 12.° ano
sem compreender que existem "outras geometrias" para além daquela com
que contactaram durante quase toda a escolaridade. Esta compreensão deve
"ter uma base experimental - os alunos devem trabalhar, resolver problemas
ou realizar actividades de investigação noutras geometrias para além da geometria
euclidiana. Além disso, a existência das geometrias não-euclidianas tem
implicações filosóficas profundas, e não é aceitável manter os alunos alheios a
elas depois de 12 anos de escolaridade.»
Uma
forma de estudar as figuras geométricas, oriunda dos antigos matemáticos
gregos, é através da realização e exploração de construções geométricas. Os
matemáticos gregos clássicos faziam construções utilizando apenas régua e
compasso, o que deu origem a muitos e interessantes problemas de Geometria (por
exemplo, a quadratura do círculo, a trissecção do ângulo e a duplicação do
cubo), cujo principal interesse na procura de soluções (ao longo dos tempos)
para alguns dos problemas de construção geométrica, esteve na investigação das
figuras que
propiciou e na descoberta das suas propriedades, estabelecidas sob a forma de
teoremas e também utilizadas em aplicações mecânicas.
A realização e exploração de construções geométricas,
praticada pelos geómetras aos longo dos tempos, constitui uma forma poderosa de
aprender e ensinar Geometria. Considerando as características e potencialidades
dos mais modernos Ambientes Geométricos Dinâmicos (Texto
4, GSP,
Cabri, Cinderella [Jorge
Nuno Silva], GSP [Eduardo
Veloso], Cabri-Géomètre
[Branca Silveira], Cabri, Sketchpad e
Cinderella [Mesa Redonda], Geometry
With Cinderella), estará facilitada a
utilização da história da matemática (geometria e suas conexões) na sala de
aula, porquanto se resolverão alguns dos constrangimentos (ou impossibilidades)
mais frequentes nas tentativas tradicionais de abordagem com papel e lápis, por
facultarem quase sempre:
-
ferramentas que
permitem a construção de figuras geométricas utilizando explicitamente as suas
propriedades, mas, principalmente, viabilizarem a modificação (de forma simples
e imediata) dessas construções, proporcionando a visualização de muitas e
diferentes representações de uma figura;
-
o uso de
cores nos
desenhos até a existência de uma calculadora interna e a possibilidade
de medição de ângulos, distâncias e áreas, ocorrendo a actualização dos valores
em tempo real a partir da movimentação da figura;
-
se um determinado
problema requer (ou sugere) o uso de sistemas de coordenadas, estes programas
disponibilizam sistemas de coordenadas cartesianas e polares;
-
a possibilidade de
criação e arquivamento de construções que podem ser utilizadas numa outra
situação, através de macro-construções ou scripts;
-
através do
rato é
possível clicar sobre um ponto do objecto geométrico construído e depois
arrastá-lo pelo ecrã, criando um movimento que provoca uma mudança na
configuração. A questão sobre o que se pode arrastar e sobre por
que arrastar permite a diferenciação entre uma figura construída ou
simplesmente desenhada;
-
a possibilidade de
ocultação
de elementos que não interessam na construção;
-
um comando de
rastro que possibilita a visualização ponto a ponto da trajectória de um objecto
escolhido, assim como a animação de figuras, permitindo a simulação de
situações mecânicas;
-
a realização (imediata)
de várias transformações geométricas, tais como simetria, reflexão,
rotação, translação e dilação, após a definição dos respectivos parâmetros;
-
a
construção de lugares
geométricos ou locus, baseada na trajectória de um objecto em função de
um caminho conhecido que outro objecto percorre.
Estas potencialidades dos softwares de
geometria dinâmica são algumas das suas mais importantes características que,
além de facilitarem a construção geométrica pretendida, aumentarem a sua
precisão e diminuírem o tempo gasto na mesma quando feita com papel e lápis,
ajudam a enriquecer o processo de ensino-aprendizagem da geometria (e suas
conexões), além de valorizarem o conhecimento matemático e a sua construção,
através das acções de experimentar, interpretar, visualizar, induzir,
conjecturar, abstrair, generalizar e demonstrar.
Cada uma destas características está fortemente
relacionada com as restantes, contudo podem ser apresentadas separadamente com
o objectivo de tornar mais perceptível a sua importância:
(A)
Precisão e variedade na construção de objectos geométricos
(B)
Exploração e descoberta
(C)
Visualização ou Representação Mental de Objectos Geométricos
(D)
Prova
Acresce que
este tipo de software permite que a grande maioria das propriedades pode ser re(descoberta) através de um método heurístico, que parte da realização de
construções geométricas e coloca o desafio de perceber porque é que essas
construções funcionam e descobrir as suas consequências. Schumann, um investigador alemão
colaborador do projecto Cabri-géomètre,
sistematizou o seguinte método:
-
Descoberta indutiva de propriedades através de
construções geométricas.
-
Resolução de um
problema de construção.
Resultado: uma configuração geométrica.
-
Análise do resultado da
construção (em particular, através da inclusão e destaque de elementos
essenciais, obtidos através de medições e de cálculos baseados em medições).
Resultado: uma primeira conjectura.
-
Realização de novas
construções que tenham em consideração casos diversificados e verificação da
conjectura nessas construções.
Resultado: confirmação da conjectura com a formulação de um primeiro teorema ou
rejeição da conjectura.
-
Descoberta e apresentação da prova.
-
Necessidade da prova:
motivação.
-
Análise do problema:
estabelecimento das hipóteses e da tese.
-
Aplicação de métodos
heurísticos para descobrir provas (avançar da hipótese para a tese, trabalhar
em sentido contrário, raciocinar por analogia com outras provas, etc.).
-
Documentação da prova
tendo em vista a sua compreensão.
-
Tratamento do teorema e da prova.
-
Discussão e explicação
da metodologia para descobrir teoremas e provas.
-
Aplicação de métodos
heurísticos, como especialização, generalização, comparação, inversão, para
produzir novas afirmações.
Naturalmente que por vezes há limitações. As
limitações encontradas nos softwares de geometria dinâmica são, muitas vezes,
consequências da própria tecnologia utilizada e algumas delas podem até mesmo
ser exploradas pelo professor nas aulas.
Defendendo-se uma Geometria que envolva um amplo
espectro de actividades, iniciando-se pela exploração concreta e
experimentação, passando pelo acto de conjecturar e chegando até às provas
formais, a sua importância vai muito além da simples aquisição de conteúdos
predeterminados. Envolve o desenvolvimento da compreensão, não apenas em
Matemática, mas na ciência em geral. Sob este ponto de vista, os programas de
Geometria Dinâmica têm uma contribuição específica a dar, oferecendo novas
representações de objectos geométricos que, de alguma forma, «concretizam» a
figura formal. O trabalho com estes programas oferece formas alternativas de
aprender Geometria e, como consequência, novas formas de ensiná-la.
Nos programas dos Ensino
Básico e Secundário, a História da Matemática aparece desde alguns anos como um
tema transversal, que devia ser integrado de forma harmoniosa nos outros temas.
Infelizmente, a preparação da generalidade dos professores nesta matéria é
muito reduzida – que é o meu caso –, e os programas adiantam poucas referências
significativas que possam suportar actividades da História da Matemática. Por
seu lado, a generalidade dos manuais escolares pouco acrescentam, limitando-se
alguns a fazer uma ou outra referência histórica que é insuficiente para que o
professor, que desconhece o assunto, possa desenvolver actividades
significativas com os seus alunos.
Pelo acima exposto, sabido
como introduzir a História da Matemática de forma harmoniosa nos outros temas,
é minha convicção que um software de geometria dinâmica poderá ajudar numa mais
eficaz utilização da história da matemática (geometria e suas conexões) na sala
de aula.
E acreditando que a minha
convicção é acertada, nada mais restará do que um
simples pormenor de concretização...
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inderella
