Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Introdução ao Trabalho

      Certamente, já ouviste falar de Euclides (c. 330 a.C. - 260 a.C.). Muito pouco se sabe da sua vida, mas pensa-se que terá nascido na Síria e estudado em Atenas. Foi um dos primeiros geómetras e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Ensinou matemática na escola, conhecida por “Museu”, criada por Ptolomeu I Soter (306 a.C. - 283 a.C.), em Alexandria. Aí alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava.

      Muitos textos são atribuídos a Euclides, dos quais se conhecem alguns títulos. Embora se tenham perdido mais de metade das suas obras, ainda restaram, para felicidade dos séculos vindouros, os treze famosos livros que constituem os Elementos. Os 13 livros que constituem essa obra monumental contêm uma grande parte dos assuntos de matemática elementar que os gregos anteriores a Euclides e o próprio Euclides e outros matemáticos seus contemporâneos elaboraram, mas expostas de uma forma seleccionada de acordo com um critério prefixado que converteu esses conjuntos de conhecimentos em sistemas coerentes e consistentes que persistiram durante mais de 23 séculos!

      O método euclidiano, assim designado, consistiu em anunciar previamente as definições dos seres e as hipóteses básicas acerca deles [1], sobre as quais se construirá a geometria, a aritmética, etc., e depois construir estas ciências em forma rigorosamente dedutiva; tal método serviu de modelo a um tipo de construção científica que usado desde então na matemática se estendeu e se estende ainda hoje a outros sectores científicos.

      Talvez nenhum outro livro, além da Bíblia, se possa gabar de tantas edições em diversas línguas e certamente nenhuma outra obra matemática teve tanta influência como a exercida pelos Elementos: durante mais de dois mil anos, eles serviram como modelo de raciocínio lógico para todo o mundo, e pode afirmar-se que, durante todo esse tempo, todos os estudantes que aprenderam geometria, aprenderam-na de Euclides.

É exactamente isso que vamos fazer mais uma vez.

[1] Por exemplo:
Linha é o, que tem comprimento sem largura;
Círculo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circunferência, de maneira que todos as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circunferência, são iguais entre si. (familiar, não é verdade?)

A imagem acima reproduz uma página de uma edição medieval dos Elementos de Euclides, que data do ano 888. Está escrito à mão (como todos os livros eram naquele tempo), e é escrito em grego.

Enunciado

No segundo livro dos Elementos, Euclides afirma (o que é conhecido por problema 4 do livro 2):

Trabalho

 

A.   Identifica os elementos geométricos referidos no enunciado da proposição de Euclides.

B.   Constrói isoladamente as figuras geométricas referidas.
Constrói ainda uma única figura ligada ao enunciado da proposição de Euclides.

C.   Prova a proposição de Euclides, justificando geometricamente (apenas com argumentação geométrica) a construção feita em B.
Reformula o enunciado da proposição de Euclides, utilizando uma linguagem mais actual.

D.   Interpreta algebricamente a proposição de Euclides.

E.   Escreve uma expressão algébrica que traduza a proposição de Euclides.
Investiga se é razoável, ou não, generalizar a validade dessa expressão para todo o tipo de números que conheces.

F.   Prova, algebricamente, a expressão apresentada em E.

G.   Testa o teu conhecimento sobre este caso notável, em http://www.mat-no-sec.org/criar/Algebra/casoma.htm .

H.   Pesquisa na Internet mais informação sobre Euclides.
Regista pelo menos duas ou três, que tenhas julgado interessantes.