Escola Secundária/3 da Sé-Lamego
Ficha de
Trabalho de Matemática
Ano Lectivo 2003/04 Desenvolvimento do quadrado de uma soma 8.º Ano
Sugestões
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Sugestão A1
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Uma folha de papel, um lápis e uma régua são
indispensáveis... ou o GSP.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão A2
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Identifica os elementos referidos na proposição:
segmento
de recta, quadrado e rectângulo.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão A3
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Naturalmente, sabes o que é um
quadrado: quadrilátero com
os lados iguais e os quatro ângulos internos rectos.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão A4
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Naturalmente, sabes o que é um
rectângulo: quadrilátero
com os quatro ângulos internos rectos.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão B1
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Desenha um segmento
[AB] e divide-o em dois segmentos [AC]
e [BC], através de um ponto C, qualquer, pertencente a [AB].
A proposição refere 3 quadrados. Já os construíste?
“O rectângulo que as partes contêm”, significa um rectângulo de lados iguais
às partes.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão B2
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Já construíste os 5 quadriláteros?
- Três quadrados e dois rectângulos!
Parece que um deles iguala os outros 4, não é isso que diz?
FIM
(Retrocede)
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Sugestão B3
As 4 peças
são:
- dois
rectângulos geometricamente iguais;
- dois
quadrados de lados iguais ao comprimento e largura dos rectângulos,
respectivamente.
Cada peça
tem dois pontos em vértices opostos. Um deles permite deslocar a peça.
O outro permite rodar a peça em torno do outro vértice.
Se não
conseguires construir o quadrado, retrocede e vê a Sugestão B4.
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É possível construir um quadrado com estas 4 peças?
Experimenta!
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H
- coloca a peça na horizontal |
V
- coloca a peça na vertical |
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Os
pontos a vermelho nas linhas amarelas (à esquerda e em baixo)
permitem definar as dimensões dos rectângulos |
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Se pretenderes iniciar a animação,
com o botão direito do rato sobre a página, selecciona "Actualizar".
Ficheiro GSP (versão 3)
This is a prototype of JavaSketchpad,
a World-Wide-Web component of The Geometer's Sketchpad.
Copyright ©1990-1998 by Key Curriculum Press, Inc. All rights reserved.
Portions of this work were funded by the National Science Foundation (awards
DMI 9561674 & 9623018).
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FIM
(Retrocede)
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Sugestão B4
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Faz esta
dobragem:
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1
Recorta um quadrado de papel e dobra-o segundo uma diagonal. |
2
Agora, dobra o quadrado segundo uma dobra paralela a um dos seus
lados, à distância que quiseres. |
3
Seguidamente, pelo ponto de intersecção das duas primeiras dobras,
faz outra dobra paralela agora ao lado do quadrado não considerado na
etapa anterior. |
Bem, agora já
conheces uma solução do puzzle da Sugestão B3.
Assim,
já és capaz de construir uma figura única associada à proposição
de Euclides, não é verdade? Confirma!
FIM
(Retrocede)
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Sugestão C1
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Considera a figura
e recorda a sequência de dobras feitas na actividade da Sugestão B4:
-
Dado
o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se a sua
diagonal [AD];
-
Por
C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a AE quer a
BD;
-
Por
G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB quer a
DE.
Continua!
FIM
(Retrocede)
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Sugestão C2
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-
Dado
o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se
a sua diagonal [AD];
-
Por
C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a AE
quer a BD;
-
Por
G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB
quer a DE.
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Justifica que
[DFGK] e [ACGH] são quadrados, isto é, que cada um deles tem os quatro ângulos
rectos e os 4 lados iguas.
O ângulo
FDK é _______, pois é um ângulo interno do quadrado [ABDE]; Logo, também
é recto o ângulo DFG, pois FDK e DFG são ângulos de
____________________________, internos no mesmo lado da secante (ver 2);
Os
ângulos DFG e FGK são também _________________________, internos do mesmo
lado da secante (ver 3) e, como o ângulo DFG é recto, então também é
recto o ângulo _______;
Continua...
FIM
(Retrocede)
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Sugestão C3
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-
Dado
o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se
a sua diagonal [AD];
-
Por
C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a AE
quer a BD;
-
Por
G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB
quer a DE.
-
O ângulo
FDK é recto, pois é um ângulo interno do quadrado [ABDE]; Logo,
também é recto o ângulo DFG, pois FDK e DFG são ângulos de
lados paralelos, internos no mesmo lado da secante (ver 2);
-
Os
ângulos DFG e FGK são também de lados paralelos, internos do
mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo DFG é recto, então
também é recto o ângulo FGK;
-
Os
ângulos FGK e GKD são também de lados paralelos, internos do
mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo FGK é recto, então
também é recto o ângulo GKD;
-
Portanto,
(por 4, 5 e 6) o quadrilátero [DFGK] tem os quatro ângulos
rectos.
-
Vamos
agora mostrar que [DFGK] tem os quatro lados iguais:
Os ângulos BAD e KGD são geometricamente iguais, pois são ângulos
de lados paralelos da mesma espécie;
Mas, no triângulo isósceles [ABD], a lados iguais opõem-se ângulos
iguais, pelo que são iguais os ângulos BAD e KDG;
consequentemente, são também iguais entre si os ângulos KGD e
KDG.
No triângulo [DGK], a ângulos iguais opõem-se lados iguais,
logo são iguais os lados [GK] e [DK].
Mas, os pares de ângulos DGK com FDG e GDK com FDG são também
iguais entre si, respectivamente, pois são ângulos de lados
paralelos e da mesma espécie. Consequentemente, pelo critério de
igualdade ALA, são geometricamente iguais os triângulos [DGK] e
[DFG], pelo que são iguais si [FD], [DK], [KG] e [GF].
Logo, o quadrilátero [DFGK] tem os quatro lados iguais.
-
Logo,
(por 7 e 8) o quadrilátero [DFKG] é um quadrado.
-
Por
um processo análogo (de 4 a 9), se provaria (prova tu agora) que
o quadrilátero [ACGH] é um quadrado.
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Justifica
agora que [EFGH] e [ BCGK] são rectângulos e
geometricamente iguais.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão C4
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-
Dado
o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se
a sua diagonal [AD];
-
Por
C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a AE
quer a BD;
-
Por
G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB
quer a DE.
-
O
ângulo FDK é recto, pois é um ângulo interno do quadrado [ABDE];
Logo, também é recto o ângulo DFG, pois FDK e DFG são ângulos
de lados paralelos, internos no mesmo lado da secante (ver 2);
-
Os
ângulos DFG e FGK são também de lados paralelos, internos do
mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo DFG é recto, então
também é recto o ângulo FGK;
-
Os
ângulos FGK e GKD são também de lados paralelos, internos do
mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo FGK é recto, então
também é recto o ângulo GKD;
-
Portanto,
(por 4, 5 e 6) o quadrilátero [DFGK] tem os quatro ângulos
rectos.
-
Vamos
agora mostrar que [DFGK] tem os quatro lados iguais:
Os ângulos BAD e KGD são geometricamente iguais, pois são ângulos
de lados paralelos da mesma espécie;
Mas, no triângulo isósceles [ABD], a lados iguais opõem-se ângulos
iguais, pelo que são iguais os ângulos BAD e KDG;
consequentemente, são também iguais entre si os ângulos KGD e
KDG.
No triângulo [DGK], a ângulos iguais opõem-se lados iguais,
logo são iguais os lados [GK] e [DK].
Mas, os pares de ângulos DGK com FDG e GDK com FDG são também
iguais entre si, respectivamente, pois são ângulos de lados
paralelos e da mesma espécie. Consequentemente, pelo critério de
igualdade ALA, são geometricamente iguais os triângulos [DGK] e
[DFG], pelo que são iguais si [FD], [DK], [KG] e [GF].
Logo, o quadrilátero [DFGK] tem os quatro lados iguais.
-
Logo,
(por 7 e 8) o quadrilátero [DFKG] é um quadrado.
-
Por
um processo análogo (de 4 a 9), se provaria (prova tu agora) que
o quadrilátero [ACGH] é um quadrado.
-
Os
pares de ângulos GFD e CGK, KDF e BKG, FGK e GCD e ainda DKG e
KBC, são, em cada um dos pares, ângulos de lados paralelos e
como os primeiros de cada par são rectos, então todos eles são
são rectos.
Logo, o quadrilátero [CBKG] é um rectângulo.
-
De
forma semelhante (a 11), se provaria que o quadrilátero [EFGH]
é um rectângulo.
-
Ora,
[FG] é geometricamente igual a [GK], pois são lados do mesmo
quadrado [DFGK]; ainda, [HG] é geometricamente a [CG], pois são
lados do mesmo quadrado [ACGH].
Logo, os rectângulos [BCGK] e [EFGH] são geometricamente
iguais.
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Agora,
só falta concluir, e é fácil...
Como
... ... ...
...
... ...
...
... ... Consequente, "Se um segmento de recta [AB] é dividido em dois
segmentos [AB] e [BC] ... ... ... ".
FIM
(Retrocede)
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Sugestão D1
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Como sabes, a cada segmento de recta está associada a
medida do seu comprimento.
Executa a animação:
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FIM
(Retrocede)
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Sugestão D2
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Sabes a tabuada da multiplicação?
É melhor
confirmar... e observar!
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Instruções:
Para executar a multiplicação 3 vezes 5, clique sobre a tecla "3" na primeira coluna e na tecla "5" na primeira
linha da tabela. Em seguida, clique sobre a tecla do sinal da igualdade "=" no canto superior direito da tabela.
Usando a tecla "C" podemos mudar a cor dos quadrados. A cor actual é mostrada no canto direito
inferior da tabela |
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FIM
(Retrocede)
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Sugestão D3
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Conheces a propriedade distributiva da multiplicação? É
melhor confirmar!
Sabes calcular as medidas da área de um quadrado e de um rectângulo?
FIM
(Retrocede)
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Sugestão D4
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Certamente, já
fizeste a interpretação correcta.
Se
tiveres dúvida, chama o
professor.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão E1
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Designa  e ,
por exemplo.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão E2
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A expressão
pode ser ?
Sim,
ou não? Porquê?
FIM
(Retrocede)
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Sugestão E3
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Escolhe valores para a e para b e vê o que
vai acontecendo. Para facilitar, podes construir uma tabela:
| a |
b |
a
+ b |
(a
+ b)2 |
a2 |
2ab |
b2 |
a2
+ 2ab + b2 |
| 2 |
1 |
3 |
9 |
4 |
4 |
1 |
9 |
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Não
te esqueças de experimentar para todo o tipo de números que conheces.
FIM
(Retrocede)
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Sugestão E4
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Então, que concluis?
Tens de concluir alguma coisa, nem
que seja a incerteza!
FIM
(Retrocede)
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Sugestão F1
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Sabes calcular ,
e ?
Não, não! É, respectivamente, 9, 16 e 25. Porquê?
FIM
(Retrocede)
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Sugestão F2
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Então, não será ?
Continua!
FIM
(Retrocede)
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Sugestão F3
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Já disseste, em
D, que conhecias a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição!
FIM
(Retrocede)
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Sugestão F4
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Foi fácil? Já provaste?
Se não for o caso, chama o professor.
FIM
(Retrocede)
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