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Como
já vimos, os geómetras gregos não se limitavam à utilização da régua
e do compasso, segundo o método euclideano. Por vezes, viam-se na
necessidade de recorrer a construções que não conseguiam reduzir ao traçado
e ao prolongamento de rectas e ao traçado de circunferências e que,
portanto, exigiam instrumentos diferentes, não se fundamentando nos três
primeiros postulados dos Elementos de Euclides.
Pelo
que parece, ainda no decurso da procura da solução da trissecção do
ângulo surge uma interessante curva da geometria grega, conhecida pela
designação de trissectriz de Hípias. Dê-mos a palavra a Carlos Sá:
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No livro IV da Colecção Matemática,
Papo descreve uma das mais interessantes curvas da geometria
grega, conhecida na antiguidade pelo nome de quadratriz. Esta
curva permite trissectar qualquer ângulo agudo com facilidade; na
verdade, independentemente de qualquer outra propriedade que a curva
também possa ter, o que a descrição dada por Papo toma evidente
é que ela permite transformar razões entre as amplitudes de dois
ângulos em razões entre os comprimentos de dois segmentos de
recta, e vice-versa. Portanto, é plausível que ela tenha sido
descoberta no decurso dos estudos relativos ao problema da trissecção
do ângulo, surgindo pela primeira vez na história da matemática
como uma curva trissectriz, e mudando de nome,
posteriormente, dada a sua aplicabilidade ao problema da quadratura
do círculo. O matemático mais antigo associado a esta curva é Hípias
de Elis, um sofista do século V a.C.; Por isso, até que seja
estudado o modo como, no século seguinte, Dinóstrato a utilizou
para rectificar a circunferência, ela será aqui designada por trissectriz
de Hípias.
É de observar que, neste texto, a
palavra trissectriz é usada em dois sentidos diferentes. Para além
do seu significado usual (por exemplo, na expressão trissectriz dum
ângulo) - em que o referido termo designa uma semi-recta que divide
o ângulo em duas partes, uma das quais é a terça parte do todo -
a palavra trissectriz é também aqui usada para designar uma
determinada curva (justamente a curva de Hípias) que, como se verá
de seguida, permite trissectar um ângulo dado.
Papo descreve esta curva através de
dois movimentos sincronizados, um rectilíneo e outro circular. Dado
um quadrado ABCD, suponha-se que o lado BC se desloca
paralelamente a si próprio até coincidir com o lado AD e,
simultaneamente, o ladoAB gira em torno do ponto A até
coincidir com o lado AD (ver figura); os dois movimentos
deverão ser uniformes (isto é, as velocidades devem ser
constantes), começar no mesmo instante e acabar no mesmo instante.
Em cada instante, com a excepção do último, as duas rectas
intersectam-se num ponto bem determinado. Enquanto as duas rectas se
deslocam, o seu ponto de intersecção descreve a curva de Hípias.
Uma vez que o movimento do lado BC é
uniforme, a distância por ele percorrida é proporcional ao tempo
decorrido no percurso. Analogamente, como o movimento do lado AB é
uniforme, a amplitude angular percorrida por esse lado (que pode ser
medida pelo arco determinado na circunferência de centro A e raio AB)
é também proporcional ao tempo decorrido no seu percurso.
Consequentemente, há proporcionalidade entre a distância rectilínea
percorrida pelo lado BC e a amplitude angular percorrida pelo
lado AB (ver figura):
Ora,
é justamente devido a esta propriedade que a curva de Hípias
permite reduzir todas as questões de proporcionalidade entre
ângulos a questões análogas entre segmentos de recta e, em
particular, permite reduzir a trissecção dum dado ângulo à
trissecção dum segmento de recta.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000 |
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Hípias
de Elis
(c 460 a.C - 400 a.C)
Hípias de Elis era um homem de estado
e um filósofo que viajava de lugar para lugar levando dinheiro
pelos seus serviços. Fazia conferências sobre poesia,
gramática, história, política, arqueologia, matemática e
astronomia. Platão
descreve-o como um homem vão que é arrogante e vanglório, tendo
um conhecimento vasto mas superficial. Heath
diz-nos algo do seu carácter quando escreve:
Reivindicou... ter ido uma
vez ao festival do Olimpo com tudo o que usava feito por ele
próprio, anel e sandália, frasco de óleo, raspador, sapatos,
roupa, e um cinturão persa de tipo caro; também deitou a
mão a poemas, épicos, tragédias, ditirambos, e a todo o tipo de
trabalhos em prosa.
A respeito das
realizações académicas de Hípias, Heath
escreve:
Era um mestre da ciência do
cálculo, da geometria, da astronomia, "dos ritmos e das
harmonias e da escrita correcta". Tinha também um sistema
maravilhoso de mnemónica permitindo-o, se ouvisse uma vez uma
lista de cinquenta nomes, recordá-los a todos. |
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Propriedade da
curva trissectriz de Hípias
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A
curva de Hípias permite reduzir todas as questões de
proporcionalidade entre ângulos a questões análogas entre
segmentos de recta e, em particular, permite reduzir a trissecção
dum dado ângulo à trissecção dum segmento de recta. |
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Arraste o ponto P para
animação manual.
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Sobre
a quadratriz de Dinóstrato, dê-mos novamente a palavra a Carlos Sá:
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Um século depois de Hípias de Elis
ter descoberto a trissectriz, um outro matemático ateniense,
Dinóstrato,
descobriu que essa curva podia também ser utilizada na solução
dum problema geométrico diferente mas não menos importante: a
rectificação da circunferência. Proclo de Lícia (Comentários
ao Primeiro Livro dos Elementos de Euclides) designa a curva de
Hípias por quadratriz, embora não lhe associe o nome de
Dinóstrato.
Papo de Alexandria (Colecção Matemática, IV), por sua vez,
ao descrever a curva, associa-lhe os nomes de Dinóstrato e de
Nicomedes, e afirma que ambos a utilizaram para quadrar o círculo.
Considere-se a curva de Hípias,
definida pela intersecção dos lados BC e AB do
quadrado ABCD, quando ambos são sujeitos a movimentos
sincronizados, o primeiro deslocando-se paralelamente a si próprio
e o segundo rodando em torno do ponto fixo A, até ocuparem
ambos a posição do lado AD. Seja G o ponto em que a curva
intersecta o lado AD do quadrado [Do ponto de vista da matemática
grega, a determinação deste ponto da curva é problemática.
Observe-se que, quando os dois segmentos de recta móveis ocupam
ambos a posição do lado AD, isto é, quando são coincidentes,
eles não determinam nenhum ponto.]. Dinóstrato terá descoberto
que o lado do quadrado é meio proporcional entre o (comprimento do)
arco de circunferência BD e o segmento de recta AG, isto
é, que
Este resultado (que Papo apresenta como
proposição Colecção Matemática IV, 26 e prova por dupla
redução ao absurdo) permite construir um segmento de recta igual
à quarta parte do perímetro da circunferência de raio AB.
... Esta propriedade da curva de Hípias
foi considerada de tal modo importante, que lhe valeu ficar
conhecida como quadratriz. Contudo, deve notar-se que o
resultado de Dinóstrato não fornece directamente uma quadratura do
círculo, mas sim uma rectificação da circunferência. No século
seguinte àquele em que Dinóstrato viveu, Arquimedes de Siracusa
estabeleceu a ligação entre as duas questões (a da quadratura do
círculo e a da rectificação da circunferência), ao demonstrar
que todo o círculo é igual a um triângulo com altura igual ao
raio do círculo e base igual ao perímetro da respectiva circunferência.
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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000 |
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| Dim.
em cm 105 x 84 x 13 |
Animar:
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L'invenzione di
questa curva è attribuita da Proclo a Ippia di Elea (seconda metà del V°
secolo a.C.).
Per ottenerla, si faccia traslare in modo uniforme il segmento AB fino a
farlo coincidere con DC: e nello stesso tempo si faccia ruotare
uniformemente il segmento DA fino a farlo coincidere con DC. Il luogo dei
punti di intersezione dei due segmenti durante il loro movimento
simultaneo è la curva di Ippia, il quale (a quanto riferisce Pappo) la
utilizzò per trisecare un angolo acuto (problema non risolubile con riga
e compasso).
La trisettrice di Ippia serve anche per ottenere la quadratura del cerchio,
cioè per costruire il lato di un quadrato che abbia area uguale a un
cerchio assegnato. È ancora Pappo che attribuisce a Dinostrato (350 a.C.
circa) la scoperta di questa proprietà, e ne fornisce dimostrazione. |
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Retirado
de http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/155ogg.htm |
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Dinóstrato
(c 390 a.C - 320 a.C.)
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Um matemático famoso
da escola Platónica, o irmão de Menecmo,
e um discípulo de Platão.
Seguindo as peugadas de seu irmão, que desenvolveu a teoria de secções
cónicas, de Dinóstrato é dito ter feito muitas descobertas
matemáticas; mas é distinguido particularmente como o inventor da
quadratriz, embora haja alguma razão para atribuir a invenção
original desta curva Hípias
de Elis. |
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Arquimedes
(287 a.C -
212 a.C.)
| Para a quadratura do
círculo, Arquimedes deu a seguinte construção. Seja P o ponto
onde a espiral completa uma volta. Que a tangente à espiral em P
corte a linha perpendicular a OP em T. De seguida Arquimedes prova
na Proposição 19 de Acerca das Espirais (On spirals)
que OT é o comprimento da circunferência do círculo de raio OP.
Não haverá muita certeza que tenha resolvido o problema da
quadratura do círculo, mas Arquimedes provara como primeira
proposição de Medidas do Círculo (Measurement of the
circle) que a área de um círculo é igual à de um
triângulo rectângulo possuindo os dois lados mais curtos iguais
ao raio do círculo e à circunferência do círculo. Por isso, a
área do círculo de raio OP é igual à área do triângulo [OPT]. |
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Retirado de Squaring
the circle |
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Ficheiro
GSP |
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Espiral
de Arquimedes |
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A
espiral de Arquimedes é uma curva descrita por um ponto que se
desloca com uma velocidade uniforme ao longo de uma semi-recta, a
partir da origem, que roda, com uma velocidade angular uniforme, em
torno da origem.
A origem da semi-recta é o pólo da espiral; a distância de um
ponto da espiral ao pólo é o raio vector desse ponto. Os ângulos
de rotação são os ângulos polares que se contam a partir de uma
posição inicial da semi-recta, designada por eixo polar, de zero
para infinito. A cada valor do ângulo polar q
corresponde um valor para o raio vector r.
As espirais destinguem-se segundo a relação que liga o raio vector
com o ângulo polar. No caso da espiral de Arquimedes, esta relação
é expressa pela equação r
= a q.
Neste caso, o raio vector varia proporcionalmente ao ângulo polar. |
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Retirado de Espiral
de Arquimedes |
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