{"id":7351,"date":"2012-01-21T22:02:40","date_gmt":"2012-01-21T22:02:40","guid":{"rendered":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=7351"},"modified":"2022-01-30T17:10:07","modified_gmt":"2022-01-30T17:10:07","slug":"funcao-logistica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=7351","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00e3o log\u00edstica"},"content":{"rendered":"
Evolu\u00e7\u00e3o de uma popula\u00e7\u00e3o<\/h5>\n
\"Pierre<\/a>

Pierre Francois Verhulst (1804-1849)<\/p><\/div>\n

Suponha-se uma popula\u00e7\u00e3o de uma determinada esp\u00e9cie que vive, se reproduz e morre numa determinada regi\u00e3o, sem que haja emigra\u00e7\u00e3o ou imigra\u00e7\u00e3o de indiv\u00edduos dessa esp\u00e9cie.<\/p>\n

Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o n\u00famero de indiv\u00edduos dessa popula\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Um primeiro aspecto que conv\u00e9m notar \u00e9 que se vai representar por uma fun\u00e7\u00e3o real de vari\u00e1vel real um n\u00famero de indiv\u00edduos que \u00e9 necessariamente inteiro. Isto \u00e9 aceit\u00e1vel porque se pretende apenas uma aproxima\u00e7\u00e3o do n\u00famero de indiv\u00edduos; mesmo assim, deve-se restringir a aplica\u00e7\u00e3o do modelo a popula\u00e7\u00f5es com muitos indiv\u00edduos.<\/p>\n

Tendo tamb\u00e9m em mente que se trata de um grande n\u00famero de indiv\u00edduos, pode supor-se ainda que h\u00e1 uma taxa de natalidade uniforme e uma taxa de mortalidade tamb\u00e9m uniforme. Isto quer dizer que o n\u00famero de novos indiv\u00edduos nascidos por unidade de tempo e o n\u00famero de mortes por unidade de tempo s\u00e3o proporcionais ao n\u00famero de indiv\u00edduos existentes.<\/p>\n

Para dar conta das situa\u00e7\u00f5es em que h\u00e1 um limite m\u00e1ximo para a popula\u00e7\u00e3o que pode viver numa regi\u00e3o, Verhulst<\/a> introduziu em 1836 um modelo que considera que \u00e0 medida que uma popula\u00e7\u00e3o se aproxima de um certo valor m\u00e1ximo, a taxa de crescimento da popula\u00e7\u00e3o (taxa de natalidade – taxa de mortalidade) se reduz.<\/p>\n

Uma das fun\u00e7\u00f5es que verificam o modelo log\u00edstico referido \u00e9<\/p>\n

\\[P(t)=\\frac{M}{1+\\frac{M-{{P}_{0}}}{{{P}_{0}}}\\times {{e}^{-c\\,t}}}\\]<\/p>\n

onde $c$ \u00e9 uma constante positiva e $M$ \u00e9 o n\u00famero m\u00e1ximo de indiv\u00edduos suportado pela regi\u00e3o.<\/p>\n

Note-se que, se a taxa de crescimento da popula\u00e7\u00e3o \u00e9 da ordem de $c$ quando\u00a0$\\frac{P}{M}$ \u00e9 pequeno, \u00e0 medida que $P$ se aproxima de M essa taxa de crescimento vai-se aproximando de zero.<\/p>\n

No caso de a popula\u00e7\u00e3o inicial exceder M indiv\u00edduos, a taxa de crescimento torna-se negativa, o que leva a popula\u00e7\u00e3o a reduzir-se.<\/p>\n

Deve-se notar que a fase inicial de um crescimento log\u00edstico partindo de um\u00a0${{P}_{0}}$ muito menor do que $M$ \u00e9 muito parecida com um crescimento exponencial.<\/p>\n

(Adaptado da Brochura Fun\u00e7\u00f5es 12.\u00ba ano, p\u00e1ginas 79-82)<\/span><\/p>\n