{"id":7261,"date":"2011-12-04T23:49:07","date_gmt":"2011-12-04T23:49:07","guid":{"rendered":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=7261"},"modified":"2022-01-26T01:27:55","modified_gmt":"2022-01-26T01:27:55","slug":"um-sistema-de-alarme","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=7261","title":{"rendered":"Um sistema de alarme"},"content":{"rendered":"<p><ul id='GTTabs_ul_7261' class='GTTabs' style='display:none'>\n<li id='GTTabs_li_0_7261' class='GTTabs_curr'><a  id=\"7261_0\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('Enunciado'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>Enunciado<\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_1_7261' ><a  id=\"7261_1\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('Resolu\u00e7\u00e3o'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>Resolu\u00e7\u00e3o<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<div class='GTTabs_divs GTTabs_curr_div' id='GTTabs_0_7261'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>Enunciado<\/b><\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/Alarme.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"7262\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=7262\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/Alarme.jpg\" data-orig-size=\"220,220\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;}\" data-image-title=\"Alarme\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/Alarme.jpg\" class=\"alignright size-full wp-image-7262\" title=\"Alarme\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/Alarme.jpg\" alt=\"\" width=\"220\" height=\"220\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/Alarme.jpg 220w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/Alarme-150x150.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 220px) 100vw, 220px\" \/><\/a>Uma f\u00e1brica est\u00e1 dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princ\u00edpio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produ\u00e7\u00e3o. Pode, no entanto, acontecer que o sistema tenha um pequeno defeito. De fato, concluiu-se que numa jornada de trabalho:<\/p>\n<ul>\n<li>a probabilidade do alarme ser ativado em falso, ou seja, sem que ocorra qualquer avaria, \u00e9 $\\frac{1}{50}$;<\/li>\n<li>a probabilidade de que ocorra uma avaria sem o alarme funcionar \u00e9 $\\frac{1}{500}$;<\/li>\n<li>a probabilidade de ocorrer uma avaria \u00e9 $\\frac{1}{100}$;<\/li>\n<\/ul>\n<p>Designe-se por A o acontecimento &#8220;o alarme \u00e9 ativado&#8221; e por B\u00a0o acontecimento &#8220;a avaria ocorreu&#8221;.<\/p>\n<ol>\n<li>Calcule a probabilidade de, numa jornada de trabalho, uma avaria ocorrer e o alarme ser ativado.<br \/>\nDeduza a probabilidade do alarme ser ativado.<\/li>\n<li>Qual \u00e9 a probabilidade de, num dia de trabalho, o alarme avariar?<\/li>\n<li>O alarme acaba de tocar.<br \/>\nQual \u00e9 a probabilidade de que tenha ocorrido realmente uma avaria?<\/li>\n<\/ol>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_7261' onClick='GTTabs_show(1,7261)'>Resolu\u00e7\u00e3o &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_1_7261'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>Resolu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><!--more--><\/p>\n<ul>\n<li>a probabilidade do alarme ser ativado em falso, ou seja, sem que ocorra qualquer avaria, \u00e9 $\\frac{1}{50}$; \u2192 <span style=\"color: #0000ff;\">$P(A\\cap \\overline{B})=\\frac{1}{50}$<\/span><\/li>\n<li>a probabilidade de que ocorra uma avaria sem o alarme funcionar \u00e9 $\\frac{1}{500}$; \u2192 <span style=\"color: #0000ff;\">$P(\\overline{A}\\cap B)=\\frac{1}{500}$<\/span><\/li>\n<li>a probabilidade de ocorrer uma avaria \u00e9 $\\frac{1}{100}$; \u2192 <span style=\"color: #0000ff;\">$P(B)=\\frac{1}{100}$<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Designe-se por A o acontecimento &#8220;o alarme \u00e9 ativado&#8221; e por B\u00a0o acontecimento &#8220;a avaria ocorreu&#8221;.<\/p>\n<p>Comecemos por anotar os dados numa tabela de dupla entrada:<\/p>\n<table class=\" aligncenter\" style=\"width: 50%;\" border=\"0\" align=\"center\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\">$B$<\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\">$\\overline{B}$<\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><strong>Total<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\">$A$<\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><span style=\"color: #0000ff;\">\u00a0$\\frac{1}{50}$<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\">\u00a0$\\overline{A}$<\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><span style=\"color: #0000ff;\">$\\frac{1}{500}$<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><strong>\u00a0Total<\/strong><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><span style=\"color: #0000ff;\">$\\frac{1}{100}$<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; border: #dcdcdc 1px solid;\"><strong>$1$<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<ol>\n<li>\u00a0A probabilidade de, numa jornada de trabalho, uma avaria ocorrer e o alarme ser ativado, \u00e9 $$P(A\\cap B)=P(B)-P(\\overline{A}\\cap B)=\\frac{1}{100}-\\frac{1}{500}=\\frac{4}{500}=\\frac{1}{125}$$<br \/>\nA probabilidade de o alarme ser ativado \u00e9 $$P(A)=P(A\\cap B)+P(A\\cap \\overline{B})=\\frac{4}{500}+\\frac{1}{50}=\\frac{14}{500}=\\frac{7}{250}$$<\/li>\n<li>A probabilidade de, num dia de trabalho, o alarme avariar \u00e9 $$P(&#8221;\\text{o alarme avariar}&#8221;)=P(A\\cap \\overline{B})+P(\\overline{A}\\cap B)=\\frac{1}{50}+\\frac{1}{500}=\\frac{11}{500}$$<\/li>\n<li>A probabilidade de que tenha ocorrido uma avaria, dado que o alarme acaba de tocar, \u00e9 $$P(B|A)=\\frac{P(A\\cap B)}{P(A)}=\\frac{\\frac{1}{125}}{\\frac{7}{250}}=\\frac{2}{7}$$<\/li>\n<\/ol>\n<div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_7261' onClick='GTTabs_show(0,7261)'>&lt;&lt; Enunciado<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Enunciado Resolu\u00e7\u00e3o Enunciado Uma f\u00e1brica est\u00e1 dotada de um sistema de alarme que se ativa, em princ\u00edpio, quando algum acidente ou avaria ocorre no circuito de produ\u00e7\u00e3o. Pode, no entanto, acontecer que o sistema&#46;&#46;&#46;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":21069,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[226,97,227],"tags":[427,234,215,235],"series":[],"class_list":["post-7261","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-12--ano","category-aplicando","category-probabilidades-e-combinatoria","tag-12-o-ano","tag-axiomatica","tag-probabilidade","tag-probabilidade-condicionada"],"views":2685,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/12\/12V1Pag181-74_520x245.png","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7261","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=7261"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7261\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/21069"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=7261"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=7261"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=7261"},{"taxonomy":"series","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fseries&post=7261"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}