Al\u00e9m dessa pe\u00e7a, o jogo tem mais quatro pe\u00e7as P2, P3, P4 e P5, com recortes diferentes. Dada a sua pouca idade, a crian\u00e7a pega nas pe\u00e7as ao acaso e experimenta cada uma, mas j\u00e1 tem o cuidado de p\u00f4r de parte a pe\u00e7a experimentada.<\/p>\n a) qual seria o valor esperado?<\/p>\n b) a frase: “o valor esperado pode n\u00e3o ser um dos valores da vari\u00e1vel” \u00e9 verdadeira ou falsa?<\/p>\n<\/li>\n a) que valores tomaria a vari\u00e1vel?<\/p>\n b) qual seria a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades dessa vari\u00e1vel?<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n Consideremos o acontecimento ${{E}_{i}}$: “a pe\u00e7a escolhida entra na caixa na tentativa i” e calculemos as seguintes probabilidades:<\/p>\n $P(X=0)=P({{E}_{1}})=\\frac{1}{5}$<\/p>\n $P(X=1)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap {{E}_{2}})=P(\\overline{{{E}_{1}}})\\times P({{E}_{2}}|\\overline{{{E}_{1}}})=\\frac{4}{5}\\times \\frac{1}{4}=\\frac{1}{5}$<\/p>\n $P(X=2)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}\\cap {{E}_{3}})=P(\\overline{{{E}_{1}}})\\times P(\\overline{{{E}_{2}}}|\\overline{{{E}_{1}}})\\times P({{E}_{3}}|(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}))=\\frac{4}{5}\\times \\frac{3}{4}\\times \\frac{1}{3}=\\frac{1}{5}$<\/p>\n $P(X=3)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}\\cap \\overline{{{E}_{3}}}\\cap {{E}_{4}})=…=\\frac{4}{5}\\times \\frac{3}{4}\\times \\frac{2}{3}\\times \\frac{1}{2}=\\frac{1}{5}$<\/p>\n $P(X=4)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}\\cap \\overline{{{E}_{3}}}\\cap \\overline{{{E}_{4}}}\\cap {{E}_{5}})=…=\\frac{4}{5}\\times \\frac{3}{4}\\times \\frac{2}{3}\\times \\frac{1}{2}\\times 1=\\frac{1}{5}$<\/p>\n A distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades \u00e9 a seguinte:<\/p>\n Ent\u00e3o, o valor esperado da vari\u00e1vel aleat\u00f3ria \u00e9 $\\mu =0\\times \\frac{1}{5}+1\\times \\frac{1}{5}+2\\times \\frac{1}{5}+3\\times \\frac{1}{5}+4\\times \\frac{1}{5}=\\frac{10}{5}=2$.<\/p>\n Ou seja, espera-se (mas n\u00e3o se pode garantir) que a crian\u00e7a, procedendo ao acaso, coloque a pe\u00e7a dentro da caixa \u00e0 3.\u00aa tentativa. Note que, por exemplo, se tem:<\/p>\n $P(X=0)=P({{E}_{1}})=\\frac{1}{6}$;<\/p>\n $P(X=1)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap {{E}_{2}})=P(\\overline{{{E}_{1}}})\\times P({{E}_{2}}|\\overline{{{E}_{1}}})=\\frac{5}{6}\\times \\frac{1}{5}=\\frac{1}{6}$.<\/p>\n a) \u00a0Neste caso, o valor esperado da vari\u00e1vel aleat\u00f3ria \u00e9 (o que tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 inesperado [porqu\u00ea?]): \\[\\mu =0\\times \\frac{1}{6}+1\\times \\frac{1}{6}+2\\times \\frac{1}{6}+3\\times \\frac{1}{6}+4\\times \\frac{1}{6}\\times 5\\times \\frac{1}{6}=\\frac{15}{6}=2,5\\]<\/p>\n b) A afirma\u00e7\u00e3o \u00a0“o valor esperado pode n\u00e3o ser um dos valores da vari\u00e1vel” \u00e9 verdadeira. Basta reparar no valor esperado agora obtido ($\\mu =2,5$), que n\u00e3o \u00e9 um dos valores da vari\u00e1vel aleat\u00f3ria considerada. a) A vari\u00e1vel aleat\u00f3ria toma os valores: 0, 1, 2, 3, … , n. (Porqu\u00ea?)<\/p>\n b) Como:<\/p>\n $P(X=0)=P({{E}_{1}})=\\frac{1}{5}={{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{0}}\\times \\frac{1}{5}=\\frac{1}{5}$<\/p>\n $P(X=1)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap {{E}_{2}})=P(\\overline{{{E}_{1}}})\\times P({{E}_{2}}|\\overline{{{E}_{1}}})={{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{1}}\\times \\frac{1}{5}=\\frac{4}{25}$<\/p>\n $P(X=2)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}\\cap {{E}_{3}})=P(\\overline{{{E}_{1}}})\\times P(\\overline{{{E}_{2}}}|\\overline{{{E}_{1}}})\\times P({{E}_{3}}|(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}))=\\frac{4}{5}\\times \\frac{4}{5}\\times \\frac{1}{5}={{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{2}}\\times \\frac{1}{5}=\\frac{16}{125}$<\/p>\n $P(X=3)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}\\cap \\overline{{{E}_{3}}}\\cap {{E}_{4}})=…=\\frac{4}{5}\\times \\frac{4}{5}\\times \\frac{4}{5}\\times \\frac{1}{5}={{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{3}}\\times \\frac{1}{5}=\\frac{64}{625}$<\/p>\n $P(X=4)=P(\\overline{{{E}_{1}}}\\cap \\overline{{{E}_{2}}}\\cap \\overline{{{E}_{3}}}\\cap \\overline{{{E}_{4}}}\\cap {{E}_{5}})=…=\\frac{4}{5}\\times \\frac{4}{5}\\times \\frac{4}{5}\\times \\frac{4}{5}\\times \\frac{1}{5}={{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{4}}\\times \\frac{1}{5}=\\frac{256}{3125}$<\/p>\n ent\u00e3o, a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades \u00e9 a seguinte:<\/p>\n \u00ad Precisa de uma ajuda?<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/caixabebe.jpg\" "\\"Jogo\\"")
<\/a>Uma crian\u00e7a tem um jogo constitu\u00eddo por uma caixa que numa das faces tem um buraco com um recorte de uma pe\u00e7a P1 que, quando nele introduzida, cai dentro da caixa.<\/p>\n\n
\n
\n\n
\n $X={{x}_{i}}$<\/td>\n 0<\/td>\n 1<\/td>\n 2<\/td>\n 3<\/td>\n 4<\/td>\n<\/tr>\n \n $P(X={{x}_{i}})$<\/td>\n $\\frac{1}{5}$<\/td>\n $\\frac{1}{5}$<\/td>\n $\\frac{1}{5}$<\/td>\n $\\frac{1}{5}$<\/td>\n $\\frac{1}{5}$<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
\n\u00ad<\/p>\n<\/li>\n
\n\n\n
\n $X={{x}_{i}}$<\/td>\n 0<\/td>\n 1<\/td>\n 2<\/td>\n 3<\/td>\n 4<\/td>\n \u00a05<\/td>\n<\/tr>\n \n $P(X={{x}_{i}})$<\/td>\n $\\frac{1}{6}$<\/td>\n $\\frac{1}{6}$<\/td>\n $\\frac{1}{6}$<\/td>\n $\\frac{1}{6}$<\/td>\n $\\frac{1}{6}$<\/td>\n $\\frac{1}{6}$<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
\n\u00ad<\/p>\n<\/li>\n\n\n
\n $X={{x}_{i}}$<\/td>\n 0<\/td>\n 1<\/td>\n 2<\/td>\n 3<\/td>\n 4<\/td>\n \u00a0\u00a0 …<\/td>\n n<\/td>\n<\/tr>\n \n $P(X={{x}_{i}})$<\/td>\n ${{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{0}}\\times \\frac{1}{5}$<\/td>\n ${{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{1}}\\times \\frac{1}{5}$<\/td>\n ${{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{2}}\\times \\frac{1}{5}$<\/td>\n ${{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{3}}\\times \\frac{1}{5}$<\/td>\n ${{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{4}}\\times \\frac{1}{5}$<\/td>\n …<\/td>\n ${{\\left( \\frac{4}{5} \\right)}^{n}}\\times \\frac{1}{5}$<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<\/ol>\n
\nJ\u00e1 agora<\/strong>:
\nQual \u00e9 a soma das probabilidades constantes na \u00faltima linha da tabela?
\nSe \u00e9 como diz, ent\u00e3o prove!<\/p>\n\n