{"id":7055,"date":"2011-10-15T16:26:50","date_gmt":"2011-10-15T15:26:50","guid":{"rendered":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=7055"},"modified":"2022-01-25T17:24:41","modified_gmt":"2022-01-25T17:24:41","slug":"um-quarto-da-populacao-de-uma-vila","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=7055","title":{"rendered":"Um quarto da popula\u00e7\u00e3o de uma vila foi vacinada"},"content":{"rendered":"<p><ul id='GTTabs_ul_7055' class='GTTabs' style='display:none'>\n<li id='GTTabs_li_0_7055' class='GTTabs_curr'><a  id=\"7055_0\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('Enunciado'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>Enunciado<\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_1_7055' ><a  id=\"7055_1\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('Resolu\u00e7\u00e3o'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>Resolu\u00e7\u00e3o<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<div class='GTTabs_divs GTTabs_curr_div' id='GTTabs_0_7055'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>Enunciado<\/b><\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/vaccination.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"7056\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=7056\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/vaccination.jpg\" data-orig-size=\"270,270\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;}\" data-image-title=\"Vacina\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/vaccination.jpg\" class=\"alignright size-full wp-image-7056\" title=\"Vacina\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/vaccination.jpg\" alt=\"\" width=\"130\" height=\"130\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/vaccination.jpg 270w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/vaccination-150x150.jpg 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 130px) 100vw, 130px\" \/><\/a>Um quarto da popula\u00e7\u00e3o de uma vila foi vacinada contra uma dada doen\u00e7a.<\/p>\n<p>No decorrer de uma epidemia constatou-se que em cada vinte doentes h\u00e1 tr\u00eas vacinados.<\/p>\n<p><strong>a)<br \/>\n<\/strong>A vacina \u00e9 eficaz?<\/p>\n<p>A Maria pensou e resolveu o problema. Infelizmente a folha da resposta apanhou chuva e n\u00e3o se percebem alguns passos.<\/p>\n<p>Veja se concorda com o modo como a Maria resolveu o problema e complete os passos que faltam at\u00e9 chegar \u00e0 conclus\u00e3o.<\/p>\n<blockquote>\n<p>Para testar a efic\u00e1cia da vacina devo comparar a probabilidade de estar doente com a probabilidade de estar doente se foi vacinado.<br \/>\nVou designar por V o acontecimento &#8220;estar vacinado&#8221; e por D o acontecimento &#8220;estar doente&#8221;.<\/p>\n<p>Ora a probabilidade de estar vacinado \u00e9 $P(V)=\\frac{1}{4}$ e $P(V|D)=\\frac{3}{20}$.<\/p>\n<p>Ent\u00e3o, $P(V|D)=&#8230;&#8230;..=&#8230;&#8230;\\,P(&#8230;..)$.<\/p>\n<p>Mas, $P(D\\cap V)=&#8230;&#8230;..=&#8230;&#8230;\\,P(&#8230;..)$.<\/p>\n<p>Logo daqui resulta que $P(D|V)=4\\times \\frac{3}{20}P(D)=\\frac{3}{5}\\,&#8230;&#8230;.$.<\/p>\n<p>Isto \u00e9, $P(D|V)\\,&#8230;&#8230;.\\,P(D)$, logo a vacina \u00e9 eficaz.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><strong>\u00a0b)<\/strong><br \/>\nAproveitando uma das igualdades anteriores e sabendo que, em cem pessoas vacinadas, oito est\u00e3o doentes, determine a percentagem de doentes na popula\u00e7\u00e3o. Apresente o resultado aproximado \u00e0s unidades.<\/p>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_7055' onClick='GTTabs_show(1,7055)'>Resolu\u00e7\u00e3o &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_1_7055'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>Resolu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><!--more--><\/p>\n<p><strong>a)<br \/>\n<\/strong>A vacina \u00e9 eficaz?<\/p>\n<blockquote>\n<p>Para testar a efic\u00e1cia da vacina devo comparar a probabilidade de estar doente com a probabilidade de estar doente se foi vacinado.<br \/>\nVou designar por V o acontecimento &#8220;estar vacinado&#8221; e por D o acontecimento &#8220;estar doente&#8221;.<\/p>\n<p>Ora a probabilidade de estar vacinado \u00e9 $P(V)=\\frac{1}{4}$ e $P(V|D)=\\frac{3}{20}$.<\/p>\n<p>Ent\u00e3o, <span style=\"color: #008000;\">$P(V|D)=\\frac{3}{20}=P(D\\cap V)\\div P(D)$<\/span> [<span style=\"color: #ff0000;\">$P(V|D)=&#8230;&#8230;..=&#8230;&#8230;\\,P(&#8230;..)$<\/span>].<\/p>\n<p>Mas, <span style=\"color: #008000;\">$P(D\\cap V)=P(V)\\times P(D|V)=\\frac{1}{4}\\times P(D|V)$<\/span> [<span style=\"color: #ff0000;\">$P(D\\cap V)=&#8230;&#8230;..=&#8230;&#8230;\\,P(&#8230;..)$<\/span>].<\/p>\n<p>Logo daqui resulta que <span style=\"color: #008000;\">$P(D|V)=4\\times \\frac{3}{20}P(D)=\\frac{3}{5}P(D)$<\/span> [<span style=\"color: #ff0000;\">$P(D|V)=4\\times \\frac{3}{20}P(D)=\\frac{3}{5}\\,&#8230;&#8230;.$<\/span>].<\/p>\n<p>Isto \u00e9, <span style=\"color: #008000;\">$P(D|V)&lt;P(D)$<\/span> [<span style=\"color: #ff0000;\">$P(D|V)\\,&#8230;&#8230;.\\,P(D)$<\/span>], logo a vacina \u00e9 eficaz.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><strong>\u00a0b)<br \/>\n<\/strong>Aproveitando uma das igualdades anteriores e sabendo que, em cem pessoas vacinadas, oito est\u00e3o doentes, determine a percentagem de doentes na popula\u00e7\u00e3o. Apresente o resultado aproximado \u00e0s unidades.<\/p>\n<p>\u00c9 dado que $P(D|V)=\\frac{8}{100}$.<\/p>\n<p>Da al\u00ednea anterior, sabe-se que $P(D|V)=\\frac{3}{5}P(D)$.<\/p>\n<p>Logo, temos: \\[\\begin{array}{*{35}{l}}<br \/>\n\\frac{8}{100}=\\frac{3}{5}P(D) &amp; \\Leftrightarrow\u00a0 &amp; P(D)=\\frac{40}{300}\u00a0 \\\\<br \/>\n{} &amp; \\Leftrightarrow\u00a0 &amp; P(D)=\\frac{2}{15}\u00a0 \\\\<br \/>\n\\end{array}\\]<br \/>\nPortanto, \u00e9 cerca de 13% a percentagem de pessoas doentes na popula\u00e7\u00e3o.<\/p><\/p>\n<div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_7055' onClick='GTTabs_show(0,7055)'>&lt;&lt; Enunciado<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Enunciado Resolu\u00e7\u00e3o Enunciado Um quarto da popula\u00e7\u00e3o de uma vila foi vacinada contra uma dada doen\u00e7a. No decorrer de uma epidemia constatou-se que em cada vinte doentes h\u00e1 tr\u00eas vacinados. a) A vacina \u00e9&#46;&#46;&#46;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":20993,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[226,97,227],"tags":[427,217,215,235],"series":[],"class_list":["post-7055","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-12--ano","category-aplicando","category-probabilidades-e-combinatoria","tag-12-o-ano","tag-acontecimento","tag-probabilidade","tag-probabilidade-condicionada"],"views":1409,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/12V1Pag170-28_520x245.png","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7055","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=7055"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7055\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/20993"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=7055"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=7055"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=7055"},{"taxonomy":"series","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fseries&post=7055"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}