A densidade populacional (n\u00famero de habitantes por unidade de \u00e1rea) de muitas cidades depende, grosseiramente, da dist\u00e2ncia ao centro da cidade.<\/p>\n
Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km2<\/sup>, \u00e0 dist\u00e2ncia de r quil\u00f3metros do centro, \u00e9 dada, aproximadamente, por: \\[P=5+30r-15{{r}^{2}}\\]<\/p>\n A fun\u00e7\u00e3o P est\u00e1 definida para $r\\ge 0$. Como para $r>1+\\frac{2\\sqrt{3}}{3}$ se tem $P<0$ (Porqu\u00ea?), a express\u00e3o dada deixa de ter significado para valores superiores a $1+\\frac{2\\sqrt{3}}{3}$, cujo valor aproximado ao metro, por defeito,\u00a0\u00e9 2154.<\/p>\n<\/li>\n Para valores do raio entre 0 e 1 km, a densidade populacional aumenta, atingindo o valor m\u00e1ximo (20 mil pessoas por km2<\/sup> de \u00e1rea) para o raio de 1 km; quando o raio varia no intervalo $\\left] 1,1+\\frac{2\\sqrt{3}}{3} \\right[$, a densidade populacional diminui.<\/p>\n<\/li>\n\n
\nQual o valor da taxa de varia\u00e7\u00e3o da densidade populacional para esse raio?<\/li>\n<\/ol>\n\n
\n\u00ad<\/li>\n
\n5+30r-15{{r}^{2}}=0 & \\Leftrightarrow\u00a0 & 3{{r}^{3}}-6r-1=0\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & r=\\frac{6\\mp \\sqrt{36+12}}{6}\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & r=\\frac{6\\mp 4\\sqrt{3}}{6}\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & r=1-\\frac{2\\sqrt{3}}{3}\\vee r=1+\\frac{2\\sqrt{3}}{3}\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\\]<\/p>\n
\nOs valores pedidos s\u00e3o, respectivamente, $P'(0,5)=15$, $P'(1)=0$ e $P'(2)=-30$, em\u00a0milhares de pessoas por km2 <\/sup>de \u00e1rea, por\u00a0km.<\/li>\n![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/03\/22-03-2011Ecra002.png\" "\\"Gr\u00e1fico\\"")
<\/a>\n
\nPara esse raio (1 km), a taxa de varia\u00e7\u00e3o da densidade populacional \u00e9 nula.<\/li>\n<\/ol>\n