Uma n\u00f3doa circular de tinta \u00e9 detetada sobre um tecido.<\/p>\n
O comprimento, em cent\u00edmetros, do raio dessa n\u00f3doa, t segundos ap\u00f3s ter sido detetada, \u00e9 dado por: \\[r(t)=\\frac{1+3t}{4+t}\\,,\\,t\\ge 0\\]<\/p>\n
- \n
- Calcule o raio da n\u00f3doa no instante em que foi detetada.<\/li>\n
- Recorrendo \u00e0 sua calculadora, indique:<\/li>\n<\/ol>\n
- \n
- o instante em que o raio da n\u00f3doa atingiu 2 cm de comprimento;<\/li>\n
- o menor comprimento, em cent\u00edmetros, que o raio da n\u00f3doa nunca ultrapassar\u00e1.<\/li>\n<\/ul>\nResolu\u00e7\u00e3o >><\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n\nResolu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><\/p>\n
- \n
- Como $r(0)=\\frac{1+3\\times 0}{4+0}=0,25$, o raio da n\u00f3doa no instante em que foi detetada era de 0,25 cm.
\n\u00ad<\/li>\n - O raio da n\u00f3doa atingiu 2 cm de comprimento 7 segundos ap\u00f3s ter sido detetada:\n
![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/02\/11-pag182-11-1.jpg\" "\\"G1\\"")
<\/a>
\nO menor comprimento que o raio da n\u00f3doa nunca ultrapassar\u00e1 \u00e9 3 cm:<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/02\/11-pag182-11-2.jpg\" "\\"G2\\"")
<\/a>\u00a0 ![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2011\/02\/11-pag182-11-3.jpg\" "\\"T1\\"")
<\/a><\/p>\nValidemos estes resultados analiticamente:\\[\\begin{array}{*{35}{l}}
\nr(t)=2 & \\Leftrightarrow\u00a0 & \\begin{array}{*{35}{l}}
\n\\frac{1+3t}{4+t}=2 & \\wedge\u00a0 & t\\ge 0\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & \\begin{array}{*{35}{l}}
\n\\frac{1+3t-8-2t}{4+t}=0 & \\wedge\u00a0 & t\\ge 0\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & \\begin{array}{*{35}{l}}
\n\\frac{t-7}{4+t}=0 & \\wedge\u00a0 & t\\ge 0\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & \\begin{array}{*{35}{l}}
\nt=7 & \\wedge\u00a0 & t\\ne -4 & \\wedge\u00a0 & t\\ge 0\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & t=7\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\\]<\/p>\nOra, \\[r(t)=\\frac{1+3t}{4+t}=\\frac{3(4+t)-11}{4+t}=\\frac{3(4+t)}{4+t}-\\frac{11}{4+t}=3-\\frac{11}{4+t}\\]<\/p>\n
Logo, quando $t\\to +\\infty $, $\\frac{11}{4+t}\\to {{0}^{+}}$ e, consequentemente, $r(t)=3-\\frac{11}{4+t}\\to {{3}^{-}}$.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n
- Como $r(0)=\\frac{1+3\\times 0}{4+0}=0,25$, o raio da n\u00f3doa no instante em que foi detetada era de 0,25 cm.