A reta pedida passa em A e \u00e9 perpendicular \u00e0 reta BC.\nComo $\\overrightarrow{BC}=(6,-4)$, ent\u00e3o $\\overrightarrow{r}=(2,3)$ \u00e9 um vetor diretor da reta pedida.<\/p>\n
Assim, o declive da reta pedida \u00e9 $m=\\frac{3}{2}$, pelo que a sua equa\u00e7\u00e3o reduzida \u00e9 da forma $y=\\frac{3}{2}x+b$.<\/p>\n
Dado que o ponto A pertence a esta reta, temos $1=\\frac{3}{2}\\times 5+b\\Leftrightarrow b=-\\frac{13}{2}$.<\/p>\n
Logo, a equa\u00e7\u00e3o reduzida da reta pedida \u00e9 $y=\\frac{3}{2}x-\\frac{13}{2}$.<\/p>\n
ALTERNATIVA<\/strong>:
\nDesignando por $P(x,y)$ um ponto gen\u00e9rico da reta pedida, os vectores $\\overrightarrow{AP}=(x-5,y-1)$ e $\\overrightarrow{BC}=(6,-4)$ ter\u00e3o de ser perpendiculares (ver anima\u00e7\u00e3o, abaixo).<\/p>\nLogo, a reta pedida pode ser definida por: \\[\\begin{array}{*{35}{l}}
\n\\overrightarrow{AP}.\\overrightarrow{BC}=0 & \\Leftrightarrow\u00a0 & (x-5,y-1).(6,-4)=0\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & 6x-30-4y+4=0\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & 3x-2y-13=0\u00a0 \\\\
\n{} & \\Leftrightarrow\u00a0 & y=\\frac{3}{2}x-\\frac{13}{2}\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\\]
\n\u00ad<\/p>\n<\/li>\n
Para determinarmos a altura do tri\u00e2ngulo relativamente ao lado [BC] necessitamos de determinar a proje\u00e7\u00e3o do ponto A sobre a reta BC, ponto A’.\nOra, o declive da reta BC \u00e9 ${{m}_{BC}}=\\frac{-2-2}{3-(-3)}=-\\frac{2}{3}$, que \u00e9 sim\u00e9trico e inverso do declive da reta pedida na al\u00ednea anterior, portanto estas retas s\u00e3o perpendiculares.<\/p>\n
Logo, a proje\u00e7\u00e3o do ponto A sobre a recta BC \u00e9 um dos pontos B ou C.<\/p>\n
Dado que apenas as coordenadas do ponto C verificam a equa\u00e7\u00e3o da recta pedida na al\u00ednea anterior, ent\u00e3o o ponto procurado \u00e9 C, isto \u00e9, o triangulo [ABC] \u00e9 ret\u00e2ngulo em C.<\/p>\n
Logo, \\[\\begin{array}{*{35}{l}}
\n{{A}_{[ABC]}} & = & \\frac{\\overline{BC}\\times \\overline{AC}}{2}\u00a0 \\\\
\n{} & = & \\frac{\\sqrt{{{(3+3)}^{2}}+{{(-2-2)}^{2}}}\\times \\sqrt{{{(3-5)}^{2}}+{{(-2-1)}^{2}}}}{2}\u00a0 \\\\
\n{} & = & \\frac{\\sqrt{52}\\times \\sqrt{13}}{2}\u00a0 \\\\
\n{} & = & \\frac{2\\sqrt{13}\\times \\sqrt{13}}{2}\u00a0 \\\\
\n{} & = & 13\u00a0 \\\\
\n\\end{array}\\]<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n
\u00ad
\n