<\/a>A figura representa uma vista do corte da parede interior de um recipiente c\u00f3nico, segundo um plano que cont\u00e9m a altura. O \u00e2ngulo \u03b1 est\u00e1 expresso em graus e x<\/em> em cent\u00edmetros.<\/p>\n\nSeja V(x) o volume do l\u00edquido correspondente \u00e0 parte colorida, expresso em cm3<\/sup>.\n\nMostre que V(x) \u00e9 o volume de um cone de raio da base igual a $x.sen\\,\\frac{\\alpha }{2}$ e de altura igual a $x.\\cos \\,\\frac{\\alpha }{2}$.<\/li>\nDeduza uma express\u00e3o de V(x) em fun\u00e7\u00e3o de x<\/em> e de \u03b1.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\nTomemos $\\alpha =60{}^\\text{o}$.\n\nVerifique que $V(x)=\\frac{\\pi \\sqrt{3}}{24}{{x}^{3}}$.<\/li>\nTrace a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de V(x) num referencial ortogonal (considere, no eixo das abcissas, 1 cm para representar o comprimento 1 cm, e no eixo das abcissas, 1 cm para representar 100 cm3<\/sup>).<\/li>\nExplique como utilizar esta curva para marcar sobre a parede do recipiente as gradua\u00e7\u00f5es 100, 200, …, 700 (em cm3<\/sup>).<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ol>\nResolu\u00e7\u00e3o >><\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n\nResolu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><\/p>\n\n<\/a>\n\nSeja esse cone de v\u00e9rtice V, base com centro em O e raio r<\/em>, e altura $h=\\overline{VO}$.\nA semirreta $\\dot{V}O$ \u00e9, portanto, bissetriz do \u00e2ngulo \u03b1.\nAssim,\u00a0\\[sen\\frac{\\alpha }{2}=\\frac{r}{x}\\Leftrightarrow r=x.sen\\frac{\\alpha }{2}\\] e \\[\\cos \\frac{\\alpha }{2}=\\frac{h}{x}\\Leftrightarrow h=x.\\cos \\frac{\\alpha }{2}\\]\n\u00ad<\/li>\nUma express\u00e3o de V(x) pode ser: \\[V(x)=\\frac{1}{3}\\times \\pi \\times {{(x.sen\\frac{\\alpha }{2})}^{2}}\\times (x.\\cos \\frac{\\alpha }{2})=\\frac{\\pi {{x}^{3}}}{3}.se{{n}^{2}}\\frac{\\alpha }{2}\\times \\cos \\frac{\\alpha }{2}\\]\n\u00ad<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\nPara\u00a0$\\alpha =60{}^\\text{o}$, vem:\n\n\\[\\begin{matrix}\nV{{(x)}_{\\alpha ={{60}^{\\text{o}}}}} & = & \\frac{\\pi {{x}^{3}}}{3}\\times se{{n}^{2}}{{30}^{\\text{o}}}\\times \\cos {{30}^{\\text{o}}}\u00a0 \\\\\n{} & = & \\frac{\\pi {{x}^{3}}}{3}\\times {{(\\frac{1}{2})}^{2}}\\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}\u00a0 \\\\\n{} & = & \\frac{\\pi \\sqrt{3}}{24}{{x}^{3}}\u00a0 \\\\\n\\end{matrix}\\]\n\u00ad<\/li>\nA seguir, apresenta-se uma representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de V(x):\n\u00ad\n
![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2010\/09\/recipienteconico.jpg\" "\\"Recipiente")
<\/a>A figura representa uma vista do corte da parede interior de um recipiente c\u00f3nico, segundo um plano que cont\u00e9m a altura. O \u00e2ngulo \u03b1 est\u00e1 expresso em graus e x<\/em> em cent\u00edmetros.<\/p>\n