\nEnunciado<\/b><\/span><\/p>\n
Observa o seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n
\\[\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = *}\\end{array}}\\end{array}} \\right.\\]<\/p>\n
- \n
- Que n\u00famero podemos colocar em * de modo a obtermos um sistema indeterminado?<\/li>\n
- Sendo indeterminado, o sistema tem uma infinidade de solu\u00e7\u00f5es.
Apresenta quatro e representa-as num referencial cartesiano.<\/li>\n - Se a * for atribu\u00eddo o n\u00famero 10, qual \u00e9 a posi\u00e7\u00e3o relativa das retas que representam as equa\u00e7\u00f5es?
Nesse caso, quantas solu\u00e7\u00f5es tem o sistema?<\/li>\n<\/ol>\nResolu\u00e7\u00e3o >><\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n\nResolu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><\/p>\n\n
Observa o seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<\/blockquote>\n
\\[\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = *}\\end{array}}\\end{array}} \\right.\\]<\/p>\n
- \n
- Para obtermos um sistema indeterminado, as duas equa\u00e7\u00f5es do sistema t\u00eam de ser equivalentes.
Por isso, ser\u00e1 \\(* = 16\\), pois \\[\\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 8}& \\Leftrightarrow &{2 \\times \\left( {x + 2y} \\right) = 8 \\times 2}& \\Leftrightarrow &{2x + 4y = 16}\\end{array}\\] Em alternativa, sabemos que o sistema \u00e9 indeterminado quando as duas equa\u00e7\u00f5es definem duas fun\u00e7\u00f5es afins cujos gr\u00e1ficos s\u00e3o retas paralelas coincidentes. Deste modo, as retas t\u00eam de ter igual declive e igual ordenada na origem. Assim, a conclus\u00e3o ser\u00e1 a mesma, como se pode verificar:
\\[\\begin{array}{*{20}{c}}{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = *}\\end{array}}\\end{array}} \\right.}& \\Leftrightarrow &{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \\frac{1}{2}x + 4}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \\frac{1}{2}x + \\frac{*}{4}}\\end{array}}\\end{array}} \\right.}&{{\\rm{Logo:}}}&{\\frac{*}{4} = 4 \\Leftrightarrow * = 16}\\end{array}\\]<\/li>\n ![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2023\/05\/8_Pag197-6-296x300.png\")
<\/a>Sim, sendo indeterminado, o sistema tem uma infinidade de solu\u00e7\u00f5es. Consideremos as quatro solu\u00e7\u00f5es \\(\\begin{array}{*{20}{c}}{\\left( { – 2,5} \\right);}&{\\left( {0,4} \\right);}&{\\left( {2,3} \\right);}&{\\left( {4,2} \\right)}\\end{array}\\), que est\u00e3o representadas no referencial ao lado.
<\/li>\n- Se a * for atribu\u00eddo o n\u00famero 10, as retas que as equa\u00e7\u00f5es representam s\u00e3o estritamente paralelas, visto que apresentam igual declive e ordenadas na origem diferentes, conforme se mostra de seguida:\\[\\begin{array}{*{20}{c}}{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = 10}\\end{array}}\\end{array}} \\right.}& \\Leftrightarrow &{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \\frac{1}{2}x + 4}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \\frac{1}{2}x + \\frac{5}{2}}\\end{array}}\\end{array}}\\right.}\\end{array}\\]Nesse caso, o sistema n\u00e3o tem qualquer solu\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/ol>\n
\u00a0<\/p>\n
- Se a * for atribu\u00eddo o n\u00famero 10, as retas que as equa\u00e7\u00f5es representam s\u00e3o estritamente paralelas, visto que apresentam igual declive e ordenadas na origem diferentes, conforme se mostra de seguida:\\[\\begin{array}{*{20}{c}}{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = 10}\\end{array}}\\end{array}} \\right.}& \\Leftrightarrow &{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \\frac{1}{2}x + 4}\\\\{\\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \\frac{1}{2}x + \\frac{5}{2}}\\end{array}}\\end{array}}\\right.}\\end{array}\\]Nesse caso, o sistema n\u00e3o tem qualquer solu\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/ol>\n
- Para obtermos um sistema indeterminado, as duas equa\u00e7\u00f5es do sistema t\u00eam de ser equivalentes.