\nSe tr\u00eas n\u00fameros naturais m<\/em>, n<\/em> e p<\/em> verificarem a igualdade \\({m^2} + {n^2} = {p^2}\\) diz-se que \\(\\left( {m,\\;n,\\;p} \\right)\\) \u00e9 um terno pitag\u00f3rico.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n- \n
Mostra que se \\(\\left( {m,\\;n,\\;p} \\right)\\) \u00e9 um terno pitag\u00f3rico e k<\/em> \u00e9 um n\u00famero natural, ent\u00e3o \\(\\left( {km,\\;kn,\\;kp} \\right)\\) \u00e9 tamb\u00e9m um terno pitag\u00f3rico.<\/blockquote>\n<\/li>\n- \n
Prova que, sendo a<\/em> e b<\/em> n\u00fameros naturais tais que \\(a > b\\), ent\u00e3o os n\u00fameros inteiros \\(m = {a^2} – {b^2}\\), \\(n = 2ab\\) e \\(p = {a^2} + {b^2}\\) formam um terno pitag\u00f3rico.<\/blockquote>\n<\/li>\n- \n
Utiliza a al\u00ednea anterior para obteres diferentes tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de lados inteiros.<\/blockquote>\n<\/li>\n<\/ol>\n\u00a0<\/p>\n
\n- Sendo \\(\\left( {m,\\;n,\\;p} \\right)\\) um terno pitag\u00f3rico e k<\/em> um n\u00famero natural, vem:
\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + {n^2} = {p^2}}& \\Leftrightarrow &{{k^2} \\times \\left( {{m^2} + {n^2}} \\right) = {p^2} \\times {k^2}}\\\\{}& \\Leftrightarrow &{{k^2} \\times {m^2} + {k^2} \\times {n^2} = {p^2} \\times {k^2}}\\\\{}& \\Leftrightarrow &{{{\\left( {km} \\right)}^2} + {{\\left( {kn} \\right)}^2} = {{\\left( {pk} \\right)}^2}}\\end{array}\\]
Logo, o terno de n\u00fameros naturais \\(\\left( {km,\\;kn,\\;kp} \\right)\\) \u00e9 tamb\u00e9m um terno pitag\u00f3rico, pois \\({{{\\left( {km} \\right)}^2} + {{\\left( {kn} \\right)}^2} = {{\\left( {pk} \\right)}^2}}\\).
<\/li>\n- Comecemos por averiguar o valor l\u00f3gico da seguinte rela\u00e7\u00e3o:
\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{{\\left( {{a^2} – {b^2}} \\right)}^2} + {{\\left( {2ab} \\right)}^2} = {{\\left( {{a^2} + {b^2}} \\right)}^2}}& \\Leftrightarrow &{\\left( {{a^4} – 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \\right) + \\left( {4{a^2}{b^2}} \\right) = \\left( {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \\right)}\\\\{}& \\Leftrightarrow &{\\underbrace {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} = {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}}_{{\\rm{Proposi\u00e7\u00e3o\\;verdadeira}}}}\\end{array}\\]
Portanto, confirma-se que a rela\u00e7\u00e3o de igualdade \\({{{\\left( {{a^2} – {b^2}} \\right)}^2} + {{\\left( {2ab} \\right)}^2} = {{\\left( {{a^2} + {b^2}} \\right)}^2}}\\) \u00e9 verdadeira e, consequentemente, conclui-se que sendo a<\/em> e b<\/em> n\u00fameros naturais tais que \\(a > b\\), ent\u00e3o os n\u00fameros inteiros \\(m = {a^2} – {b^2}\\), \\(n = 2ab\\) e \\(p = {a^2} + {b^2}\\) formam um terno pitag\u00f3rico.
<\/li>\n- Utilizando as rela\u00e7\u00f5es da al\u00ednea anterior podemos obter diferentes tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos de lados inteiros:<\/li>\n<\/ol>\n