{"id":18898,"date":"2021-11-27T00:17:51","date_gmt":"2021-11-27T00:17:51","guid":{"rendered":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=18898"},"modified":"2021-11-27T02:46:29","modified_gmt":"2021-11-27T02:46:29","slug":"solucoes-dos-desafios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=18898","title":{"rendered":"Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios"},"content":{"rendered":"
This entry is part 5 of 6 in the series A mec\u00e2nica de Galileu<\/a><\/div>\n

Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios<\/h4>\n

\u00a0<\/p>\n

Desafio 1<\/h6>\n

Houve muitos trabalhos que antecederam o de Galileu, no que diz respeito ao movimento. No per\u00edodo de 1280 a 1340, matem\u00e1ticos de Merton College<\/a>, em Oxford, meditaram cuidadosamente sobre diversas grandezas que variavam com o tempo. Um teorema geral, conhecido por \u201cTeorema de Merton<\/a>\u201d ou \u201cRegra da Velocidade M\u00e9dia<\/a>\u201d, resume um resultado que se mostrou de grande import\u00e2ncia.<\/p>\n

Este teorema, que pode ser aplicado ao movimento com acelera\u00e7\u00e3o uniforme, \u00e9 expresso em termos simples da seguinte maneira: a\u00a0dist\u00e2ncia percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, \u00e9 igual \u00e0 dist\u00e2ncia que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia durante esse tempo<\/em>.<\/p>\n

    \n
  1. Mostre que a dist\u00e2ncia total percorrida a velocidade constante pode ser expressa pela \u00e1rea abaixo da linha desenhada num gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo (A \u201c\u00e1rea\u201d deve ser calculada em unidades de velocidade x unidades de tempo).<\/li>\n
  2. Suponha que esta \u00e1rea representa a dist\u00e2ncia total percorrida, mesmo quando a velocidade n\u00e3o \u00e9 constante.
    Desenhe um gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo, para uma velocidade que cres\u00e7a uniformemente, e trace a \u00e1rea abaixo da linha desenhada.<\/li>\n
  3. Prove o \u201cTeorema de Merton\u201d, mostrando que a \u00e1rea obtida \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea abaixo de uma linha de velocidade constante, em que esta seja igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia.<\/li>\n<\/ol>\n

    Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

    \"G2-7\"<\/a>Consideremos a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica apresentada na figura \u00e0 direita, relativa ao movimento de um objeto animado de velocidade constante \\({v_c}\\).<\/p>\n

    No intervalo de tempo\u00a0\\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\),\u00a0a dist\u00e2ncia percorrida pelo objeto \u00e9\u00a0expressa por\u00a0\\(d = {v_c} \\times \\left( {{t_2} – {t_1}} \\right)\\).<\/p>\n

    Ora, no intervalo considerado, a \u00e1rea limitada pelo gr\u00e1fico de\u00a0\\(v\\) e o eixo horizontal \u00e9 dada por:\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\\left[ {ABEF} \\right]}}}& = &{\\overline {AB} \u00a0\\times \\overline {AF} }\\\\{}& = &{{v_c} \\times \\left( {{t_2} – {t_1}} \\right)}\\end{array}\\]<\/p>\n

    Logo,\u00a0a dist\u00e2ncia total percorrida por um objeto a velocidade constante no intervalo \\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\) pode ser expressa pela \u00e1rea abaixo da linha desenhada num gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo:\u00a0\\(d = {A_{\\left[ {ABEF} \\right]}}\\).<\/p>\n

    \u00a0<\/p>\n