![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/9V2Pag60-5.png\")
<\/a>Considera um oct\u00f3gono regular inscrito numa circunfer\u00eancia de centro O<\/em> e raio 4 cm e decomposto em oito tri\u00e2ngulos de v\u00e9rtice O<\/em> e com um lado comum ao oct\u00f3gono.<\/p>\n\n
\n
<\/a>Como o oct\u00f3gono \u00e9 regular, ent\u00e3o a circunfer\u00eancia est\u00e1 dividida em oito arcos geometricamente iguais.
\nAssim sendo, vem:\u00a0\\(C\\widehat OD = \\overparen{CD} = \\frac{{360^\\circ }}{8} = 45^\\circ \\).
\nCada um desses tri\u00e2ngulos possui um \u00e2ngulo interno com 45 graus de amplitude (o de v\u00e9rtice O<\/em>), como vimos anteriormente.
\nPor outro lado, cada um desses tri\u00e2ngulos possui lados adjacentes a esse \u00e2ngulo que s\u00e3o geometricamente iguais, pois s\u00e3o raios da mesma circunfer\u00eancia.
\nAssim, pelo crit\u00e9rio LAL, conclui-se que esses oito tri\u00e2ngulos, em que o oct\u00f3gono est\u00e1 dividido, s\u00e3o geometricamente iguais.
\n\u00ad<\/li>\n
\n<\/a>No tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [OPD<\/em>], vem \\({\\mathop{\\rm sen}\\nolimits} C\\widehat OD = \\frac{{\\overline {DP} }}{{\\overline {OD} }}\\), donde:
\n\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{\\mathop{\\rm sen}\\nolimits} 45^\\circ = \\frac{{\\overline {DP} }}{4}}& \\Leftrightarrow &{\\frac{{\\sqrt 2 }}{2} = \\frac{{\\overline {DP} }}{4}}\\\\{}& \\Leftrightarrow &{\\overline {DP} = 2\\sqrt 2 }\\end{array}\\]
\nLogo, em cent\u00edmetros quadrados, as \u00e1reas pedidas s\u00e3o:
\n\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\\left[ {OCD} \\right]}} = \\frac{{\\overline {OC} \\times \\overline {DP} }}{2} = \\frac{{4 \\times 2\\sqrt 2 }}{2} = 4\\sqrt 2 }\\\\{{A_{Oct\u00f3gono}} = 8 \\times {A_{\\left[ {OCD} \\right]}} = 8 \\times 4\\sqrt 2 = 32\\sqrt 2 }\\end{array}\\]<\/li>\n<\/ol>\n