{"id":13659,"date":"2018-02-14T17:15:16","date_gmt":"2018-02-14T17:15:16","guid":{"rendered":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=13659"},"modified":"2022-09-22T22:44:08","modified_gmt":"2022-09-22T21:44:08","slug":"from-konigsberg-bridges-to-genome-sequencing","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?p=13659","title":{"rendered":"From K\u00f6nigsberg bridges to genome sequencing"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Euler.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"13661\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=13661\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Euler.png\" data-orig-size=\"210,280\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Euler\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Euler.png\" class=\"wp-image-13661 alignright\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Euler.png\" alt=\"\" width=\"100\" height=\"133\"><\/a>In 1735, the bright mathematician <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Leonhard_Euler\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Leonard Euler<\/a> presented his solution of the famous problem of <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Seven Bridges of K\u00f6nigsberg<\/a>. His notable solution has sparked a whole new branch of mathematics &#8211; the <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Graph_theory\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">graph theory<\/a>, which is now widely used in many fields of science.<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: square;\">\n<li>Fonte:&nbsp;<a href=\"http:\/\/www.rudn.ru\/en_new\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">RUDN University<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p><div class=\"video-container\"><span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/cnYdRF99oJ8?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=pt-PT&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span><\/div><\/p>\n<p><\/p>\n<p>Apresenta-se seguidamente a solu\u00e7\u00e3o do problema apresentada por Leonhard Euler, no escrito intitulado&nbsp;<em>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/em>&nbsp;(Solu\u00e7\u00e3o para um problema relacionado com geometria de posi\u00e7\u00e3o).<br>As ilustra\u00e7\u00f5es do texto encontram-se a seguir \u00e0 p\u00e1gina 158.<\/p>\n<div class=\"embed-archiveorg\" style=\"text-align:center;\"><iframe loading=\"lazy\" title=\"Archive.org\" src=\"https:\/\/archive.org\/embed\/commentariiacade08impe#page\/128\" width=\"840\" height=\"576\" style=\"border:0;\" webkitallowfullscreen=\"true\" mozallowfullscreen=\"true\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p><\/p>\n<ul style=\"list-style-type: circle;\">\n<li><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Euler_Konigsberg.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/em><\/a> (vers\u00e3o pdf)<\/li>\n<\/ul>\n<p><ul id='GTTabs_ul_13659' class='GTTabs' style='display:none'>\n<li id='GTTabs_li_0_13659' class='GTTabs_curr'><a  id=\"13659_0\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('<strong><em>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/em><\/strong>'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'><strong><em>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/em><\/strong><\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_1_13659' ><a  id=\"13659_1\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('A introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 tradu\u00e7\u00e3o'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>A introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 tradu\u00e7\u00e3o<\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_2_13659' ><a  id=\"13659_2\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('A tradu\u00e7\u00e3o'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>A tradu\u00e7\u00e3o<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<div class='GTTabs_divs GTTabs_curr_div' id='GTTabs_0_13659'>\n<span class='GTTabs_titles'><b><strong><em>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/em><\/strong><\/b><\/span><\/p>\n<p><em><strong>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/strong><\/em><\/p>\n<p>Este \u00e9 um dos artigos mais famosos de Euler &#8211; o problema da ponte de K\u00f6nigsberg. \u00c9 frequentemente citado como o primeiro documento em topologia e teoria dos grafos. Muito foi escrito sobre este assunto, o que n\u00e3o ser\u00e1 aqui referido. Em vez disso, s\u00e3o apresentadas abaixo algumas liga\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<p>De acordo com os registos, o artigo foi apresentado \u00e0 Academia de S\u00e3o Petersburgo em 26 de agosto de 1735, apresentado para publica\u00e7\u00e3o em 1736 e impresso em 1741 nos&nbsp;<a href=\"http:\/\/eulerarchive.maa.org\/docs\/originals\/E053.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae<\/em> vol. 8, 1741, pp. 128-140<\/a>.<\/p>\n<p>Est\u00e1 dispon\u00edvel uma tradu\u00e7\u00e3o em portugu\u00eas do referido artigo de Euler, com o t\u00edtulo <a href=\"https:\/\/www.rbhm.org.br\/index.php\/RBHM\/article\/view\/82\/56\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Euler e as Pontes de&nbsp;K\u00f6nigsberg<\/em><\/a>, de autoria de&nbsp;Frederico Jos\u00e9 Andries Lopes e Pl\u00ednio Zornoff T\u00e1boas, que foi publicada na <a href=\"https:\/\/www.rbhm.org.br\/index.php\/RBHM\/issue\/view\/11\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Revista Brasileira de Hist\u00f3ria da Matem\u00e1tica &#8211; Vol. 15 n.\u00ba 30<\/a> &#8211; p\u00e1g. 23-32.<\/p>\n<p>Nas sec\u00e7\u00f5es seguintes, transcrevem-se&nbsp; a introdu\u00e7\u00e3o e a tradu\u00e7\u00e3o realizadas por&nbsp;Frederico Jos\u00e9 Andries Lopes e Pl\u00ednio Zornoff T\u00e1boas do mencionado artigo&nbsp;de&nbsp;Leonhard Euler.<\/p>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_13659' onClick='GTTabs_show(1,13659)'>A introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 tradu\u00e7\u00e3o &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_1_13659'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>A introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 tradu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><\/p>\n<p><strong>Introdu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p>\u00abApresentamos aqui uma tradu\u00e7\u00e3o do famoso artigo <em>Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis<\/em>, no qual o matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o Leonhard Euler (1707-1783) exp\u00f5e e soluciona o problema conhecido como <em>As pontes de K\u00f6nigsberg<\/em>, frequentemente citado em livros de hist\u00f3ria de matem\u00e1tica e de matem\u00e1tica recreativa como o problema fundador da topologia e da teoria dos grafos.<\/p>\n<p>O problema consistia em saber se era poss\u00edvel percorrer as pontes que ligavam uma ilha no rio Pregel, em K\u00f6nigsberg (atual Kaliningrado, na R\u00fassia), ao restante da cidade, sem passar pela mesma ponte duas vezes. Euler responde na negativa, e ainda apresenta crit\u00e9rios para se decidir quando problemas semelhantes t\u00eam ou n\u00e3o solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>O artigo todo \u00e9 dividido em 21 par\u00e1grafos numerados. No final do par\u00e1grafo 9, o problema original j\u00e1 est\u00e1 resolvido, mas o texto restante continua refletindo e generalizando o problema at\u00e9 chegar em regras gerais (teoremas) para serem aplicadas em situa\u00e7\u00f5es similares. <span style=\"text-decoration: underline;\">Ao contr\u00e1rio do que mostram os livros de hist\u00f3ria, Euler n\u00e3o apresenta o j\u00e1 famoso grafo em que as por\u00e7\u00f5es de terra s\u00e3o representados como v\u00e9rtices e as pontes como arestas, o qual pode ser encontrado na bibliografia fornecida ou em livros comuns de hist\u00f3ria da matem\u00e1tica<\/span>.<\/p>\n<p>Este artigo \u00e9 um brilhante exemplo de como surge uma nova teoria matem\u00e1tica, e como age o chamado pensamento matem\u00e1tico: observar, selecionar, abstrair e codificar elementos do problema em s\u00edmbolos adequados. E, por fim, solucionar o problema atrav\u00e9s de uma reflex\u00e3o sobre esses mesmos s\u00edmbolos. Esse processo semi\u00f3tico est\u00e1 exemplarmente exposto no artigo, de largas e profundas repercuss\u00f5es did\u00e1ticas para a forma\u00e7\u00e3o de novos matem\u00e1ticos e educadores.<\/p>\n<p>O artigo original foi escrito em 1735, apresentado para publica\u00e7\u00e3o em 1736 e impresso em 1741 nos <em>Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae<\/em>, vol. 8. Desse artigo, existem duas tradu\u00e7\u00f5es em ingl\u00eas: uma em BIGGS, LLOYD e WILSON, pp. 3-8, e outra em NEWMAN, pp. 565-571. Embora esta \u00faltima seja de melhor qualidade, ambas optaram por modernizar o texto original.<\/p>\n<p>Ao contr\u00e1rio das tradu\u00e7\u00f5es mencionadas, procuramos n\u00e3o modernizar o texto ou empregar o vocabul\u00e1rio t\u00e9cnico corrente. Com isso, pretendemos favorecer interpreta\u00e7\u00f5es mais convenientes acerca do universo de ideias e concep\u00e7\u00f5es do autor. A come\u00e7ar pelo t\u00edtulo, traduzimos <em>geometria situs<\/em>, j\u00e1 tradicionalmente traduzida como <em>geometria de posi\u00e7\u00e3o<\/em> em l\u00edngua portuguesa, <em>por geometria de situa\u00e7\u00e3o<\/em>. Encontramos essa tradu\u00e7\u00e3o em artigos posteriores, como no de Vandermonde, <em>Remarques sur les probl\u00e8mes de situation<\/em>, de 1771 [BIGGS, LLOYD &amp; WILSON, p. 22.]. Como consequ\u00eancia dessa op\u00e7\u00e3o, tamb\u00e9m n\u00e3o uniformizamos o vocabul\u00e1rio t\u00e9cnico. Por exemplo, Euler usa os termos <em>iter<\/em> (caminho), <em>cursus<\/em> (curso, percurso) e <em>transitus<\/em> (tr\u00e2nsito) como sin\u00f3nimos, um recurso comum para variar seu estilo por vezes bastante repetitivo.<\/p>\n<p>Gostar\u00edamos, por fim, de dedicar esta tradu\u00e7\u00e3o \u00e0 mem\u00f3ria do querido e inspirador amigo, Prof. Dr. Pl\u00ednio Zornoff T\u00e1boas, que aqui figura como segundo autor. Pl\u00ednio faleceu em pleno curso da escrita, enquanto d\u00e1vamos os \u00faltimos retoques do texto. Certamente, o que aqui apresentamos n\u00e3o faz mais justi\u00e7a aos padr\u00f5es de rigor e qualidade que ele tanto prezava.\u00bb<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: square;\">\n<li>Fonte:&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.rbhm.org.br\/index.php\/RBHM\/article\/view\/82\/56\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Euler e as Pontes de K\u00f6nigsberg<\/em><\/a>, Frederico Jos\u00e9 Andries Lopes &amp; Pl\u00ednio Zornoff T\u00e1boas<\/li>\n<\/ul>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_13659' onClick='GTTabs_show(0,13659)'>&lt;&lt; <strong><em>Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis<\/em><\/strong><\/a><\/span><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_13659' onClick='GTTabs_show(2,13659)'>A tradu\u00e7\u00e3o &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_2_13659'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>A tradu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><\/p>\n<p><strong>A tradu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p><strong><em>So<\/em><\/strong><em><strong>lu\u00e7\u00e3o de um problema pertinente \u00e0 Geometria de situa\u00e7\u00e3o<\/strong><br><\/em>Leonhard Euler<em><br><\/em><\/p>\n<p>\u00a7. 1. Al\u00e9m daquela parte da Geometria que se ocupa de quantidades e que tem sido cultivada em todos os tempos com sumo zelo, existe outra ainda hoje bastante desconhecida, da qual Leibniz foi o primeiro a fazer men\u00e7\u00e3o, a qual chamou de Geometria de situa\u00e7\u00e3o. Foi por ele estabelecido que essa parte se ocupa apenas com a determina\u00e7\u00e3o da situa\u00e7\u00e3o e com a descoberta das propriedades da situa\u00e7\u00e3o; nela n\u00e3o devem ser consideradas quantidades nem ser utilizado o c\u00e1lculo de quantidades. No entanto, n\u00e3o est\u00e3o suficientemente definidas quais esp\u00e9cies de problemas se relacionam a esta Geometria de situa\u00e7\u00e3o, e qual m\u00e9todo \u00e9 necess\u00e1rio empregar em sua resolu\u00e7\u00e3o. Por isso, quando ultimamente \u00e9 feita men\u00e7\u00e3o a algum problema que parece ser de geometria, mas quando examinado com aten\u00e7\u00e3o n\u00e3o requer determina\u00e7\u00e3o de quantidades nem admite solu\u00e7\u00e3o com aux\u00edlio do c\u00e1lculo de quantidades, n\u00e3o tive d\u00favidas de o referir \u00e0 geometria de situa\u00e7\u00e3o, principalmente quando em sua resolu\u00e7\u00e3o \u00e9 considerada apenas a situa\u00e7\u00e3o e nenhum c\u00e1lculo direto \u00e9 empregado. Decidi, portanto, exp\u00f4r aqui um m\u00e9todo que criei para resolver problemas desse g\u00eanero, como um tipo de Geometria de situa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>\u00a7. 2. Esse problema, dito a mim ser bastante conhecido, era o seguinte: existe uma ilha em K\u00f6nigsberg, na Pr\u00fassia, dita <em>der Kneiphof<\/em>, e que o rio que a cerca \u00e9 dividido em dois ramos, como se pode ver na figura.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"13702\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=13702\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" data-orig-size=\"650,310\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"1_Euler-trad_FredericoLopes\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" class=\"aligncenter wp-image-13702 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" alt=\"\" width=\"650\" height=\"310\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1_Euler-trad_FredericoLopes.jpg 650w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/1_Euler-trad_FredericoLopes-300x143.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 650px) 100vw, 650px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Sobre os ramos deste rio foram constru\u00eddas sete pontes, <em>a<\/em>, <em>b<\/em>, <em>c<\/em>, <em>d<\/em>, <em>e<\/em>, <em>f <\/em>e <em>g<\/em>, e acerca dessas pontes era proposta a quest\u00e3o, se algu\u00e9m poderia estabelecer um curso tal que passe por cada uma das pontes uma vez e n\u00e3o mais que uma vez. Disseram-me que uns negam, outros duvidam, e que ningu\u00e9m afirma que isso possa ser feito. A partir disso, formulei em seguida o problema com a m\u00e1xima generalidade: qualquer que seja a figura do rio e sua distribui\u00e7\u00e3o em ramos, e qualquer que seja o n\u00famero de pontes, descobrir se \u00e9 poss\u00edvel passar ou n\u00e3o sobre cada ponte uma s\u00f3 vez.<\/p>\n<p>\u00a7. 3. O que certamente diz respeito ao problema das sete pontes de K\u00f6nigsberg \u00e9 que ele pode ser resolvido com a total enumera\u00e7\u00e3o de todos os cursos que podem ser estabelecidos. Com isso, saber\u00edamos se algum curso viria a satisfazer o problema ou n\u00e3o. Mas esse modo de resolu\u00e7\u00e3o seria demasiadamente dif\u00edcil e trabalhoso por causa do grande n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es, e em outras quest\u00f5es com muito mais pontes certamente n\u00e3o poderia ser empregado. Al\u00e9m disso, se essa opera\u00e7\u00e3o fosse assim levada a cabo, seriam encontradas muitas coisas que n\u00e3o estavam no problema, o que sem d\u00favida seria a origem de grande dificuldade. Por isso, tendo deixado esse m\u00e9todo de lado, procurei outro que n\u00e3o faria mais do que mostrar se tal caminho pode ser feito ou n\u00e3o, pois suspeitei que um tal m\u00e9todo seria muito mais simples.<\/p>\n<p>\u00a7. 4. Todo o meu m\u00e9todo repousa na adequada designa\u00e7\u00e3o de cada tr\u00e2nsito pelas pontes, para o que utilizo as letras mai\u00fasculas A, B, C, D, atribu\u00eddas a cada regi\u00e3o separada pelo rio. Assim, se algu\u00e9m migra da regi\u00e3o A para a B pela ponte <em>a <\/em>ou <em>b<\/em>, denoto esse tr\u00e2nsito pelas letras AB, das quais a primeira mostra a regi\u00e3o de onde veio o viajor, e a segunda d\u00e1 a regi\u00e3o aonde chega depois de atravessada uma ponte. Se, logo a seguir, o viajor sai da regi\u00e3o B para a regi\u00e3o D pela ponte <em>f<\/em>, este tr\u00e2nsito ser\u00e1 representado pelas letras BD. Denoto, por\u00e9m, dois tr\u00e2nsitos AB e BD, feitos sucessivamente, pelas tr\u00eas letras ABD somente, porque a letra do meio, B, designa tanto a regi\u00e3o na qual o primeiro tr\u00e2nsito chega quanto a regi\u00e3o da qual o segundo tr\u00e2nsito sai.<\/p>\n<p>\u00a7. 5. De modo semelhante, se o viajor avan\u00e7a da regi\u00e3o D para a regi\u00e3o C pela ponte <em>g<\/em>, denotarei esses tr\u00eas tr\u00e2nsitos feitos sucessivamente pelas quatro letras ABDC. Dessas quatro letras, ABDC, ser\u00e1 entendido que o viajor, primeiro na regi\u00e3o A, migrou para a regi\u00e3o B e da\u00ed partiu para a regi\u00e3o D, e depois, por fim, partiu dessa para a regi\u00e3o C. Como essas regi\u00f5es est\u00e3o mutuamente separadas entre si pelo rio, \u00e9 necess\u00e1rio que o viajor passe por tr\u00eas pontes. Assim, os tr\u00e2nsitos feitos sucessivamente por quatro pontes ser\u00e3o denotados por cinco letras; e se o viajor passa por um n\u00famero qualquer de pontes, sua migra\u00e7\u00e3o ser\u00e1 denotada por um n\u00famero de letras maior em uma unidade do que o n\u00famero de pontes. Por essa raz\u00e3o, para designar o tr\u00e2nsito por sete pontes s\u00e3o requeridas oito letras.<\/p>\n<p>\u00a7. 6. Com essa maneira de designa\u00e7\u00e3o, n\u00e3o atento por quais pontes o tr\u00e2nsito \u00e9 feito. Se esse tr\u00e2nsito pode ser feito de uma regi\u00e3o em outra por v\u00e1rias pontes, a designa\u00e7\u00e3o ser\u00e1 a mesma, indicando apenas a regi\u00e3o de chegada. Entende-se disso que, se o curso pode ser feito pelas sete pontes da figura de tal maneira que passe por cada uma somente uma vez, e por nenhuma duas vezes, esse curso pode ser representado por oito letras, e essas letras devem ser dispostas de tal maneira que a sucess\u00e3o imediata das letras A e B ocorra duas vezes, porque h\u00e1 duas pontes <em>a <\/em>e <em>b <\/em>ligando essas duas regi\u00f5es A e B; tamb\u00e9m a sucess\u00e3o das letras A e C deve ocorrer duas vezes nessa s\u00e9rie de oito letras; e ainda, a sucess\u00e3o das letras A e D deve ocorrer uma vez; e do mesmo modo, \u00e9 necess\u00e1rio que ocorra uma vez a sucess\u00e3o das letras B e D, e tamb\u00e9m a das letras C e D.<\/p>\n<p>\u00a7. 7. A quest\u00e3o, portanto, reduz-se a que se forme, com as quatro letras A, B, C, e D, uma s\u00e9rie de oito letras na qual todas aquelas sucess\u00f5es ocorram tantas vezes quantas forem exigidas. Mas antes de envidar esfor\u00e7os em tal disposi\u00e7\u00e3o, conv\u00e9m mostrar se tal maneira de dispor essas letras \u00e9 poss\u00edvel ou n\u00e3o. Pois se puder ser demonstrado que tal disposi\u00e7\u00e3o n\u00e3o pode de todo ocorrer, ser\u00e1 in\u00fatil todo trabalho despendido para tal. Por essa raz\u00e3o, investiguei uma regra, com a ajuda da qual possa ser facilmente discernido, tanto para essa quest\u00e3o quanto para todas outras semelhantes, se tal disposi\u00e7\u00e3o de letras possa existir.<\/p>\n<p>\u00a7. 8. Considero, para encontrar tal regra, uma \u00fanica regi\u00e3o A, para a qual conduza um n\u00famero qualquer de pontes <em>a<\/em>, <em>b<\/em>, <em>c<\/em>, <em>d<\/em>, etc.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"13703\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=13703\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" data-orig-size=\"641,99\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"2_Euler-trad_FredericoLopes\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" class=\"aligncenter wp-image-13703 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" alt=\"\" width=\"641\" height=\"99\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2_Euler-trad_FredericoLopes.jpg 641w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/2_Euler-trad_FredericoLopes-300x46.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 641px) 100vw, 641px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Dessas pontes, observo primeiro uma \u00fanica, <em>a<\/em>, que conduz \u00e0 regi\u00e3o A. Agora, se o viajor passa por essa ponte, ent\u00e3o deve ter estado na regi\u00e3o A antes do tr\u00e2nsito, ou chega em A depois do tr\u00e2nsito. Assim, na maneira de designar o tr\u00e2nsito acima estabelecida, \u00e9 necess\u00e1rio que a letra A ocorra uma vez. Se tr\u00eas pontes, digamos, <em>a<\/em>, <em>b<\/em>, <em>c<\/em>, levam \u00e0 regi\u00e3o A, e o viajor passa por todas as tr\u00eas, ent\u00e3o, na designa\u00e7\u00e3o de sua migra\u00e7\u00e3o, a letra A ocorrer\u00e1 duas vezes, seja com in\u00edcio do curso em A ou n\u00e3o. De modo semelhante, se cinco pontes conduzem a A, na designa\u00e7\u00e3o do tr\u00e2nsito por todas elas a letra A deve ocorrer tr\u00eas vezes. E se o n\u00famero de pontes for um n\u00famero \u00edmpar qualquer, e se a esse n\u00famero for acrescentada uma unidade, sua metade dar\u00e1 quantas vezes a letra A deve ocorrer.<\/p>\n<p>\u00a7. 9. Assim, no caso da travessia da pontes de K\u00f6nigsberg, porque cinco pontes, <em>a<\/em>, <em>b<\/em>, <em>c<\/em>, <em>d<\/em>, <em>e<\/em>, levam \u00e0 ilha A, \u00e9 necess\u00e1rio que na designa\u00e7\u00e3o do tr\u00e2nsito por essas pontes a letra A ocorra tr\u00eas vezes. E que a letra B deve ocorrer duas vezes, porque tr\u00eas pontes conduzem \u00e0 regi\u00e3o B. De modo semelhante, a letra D deve ocorrer duas vezes, e tamb\u00e9m duas vezes a letra C. Portanto, na s\u00e9rie de oito letras, com as quais o tr\u00e2nsito por sete pontes dever\u00e1 ser designado, a letra A dever\u00e1 estar presente tr\u00eas vezes, e as letras B, C e D duas vezes cada uma. Mas isso n\u00e3o pode ser feito de forma alguma em uma s\u00e9rie de oito letras. Disso fica claro, que tal tr\u00e2nsito n\u00e3o pode ser feito pelas sete pontes de K\u00f6nigsberg.<\/p>\n<p>\u00a7. 10. De modo semelhante sobre todos os outros casos. Se o n\u00famero de pontes que conduzem a uma regi\u00e3o qualquer for \u00edmpar, \u00e9 poss\u00edvel julgar se o tr\u00e2nsito pode ser feito uma s\u00f3 vez atrav\u00e9s de cada uma. Pois se ocorre que a soma de todas as vezes em que cada letra deve ocorrer for igual ao n\u00famero de todas as pontes aumentado em uma unidade, ent\u00e3o tal tr\u00e2nsito pode ser feito. Se, do contr\u00e1rio, como acontece em nosso exemplo, a soma de todas as vezes for maior que o n\u00famero de pontes aumentado em uma unidade, ent\u00e3o tal tr\u00e2nsito n\u00e3o pode, de forma alguma, ser feito. A regra que dei para encontrar o n\u00famero de vezes de A, a partir do n\u00famero de pontes que levam a A, vale igualmente para todas as pontes que partem ou de uma s\u00f3 regi\u00e3o B, como se v\u00ea na figura, ou a partir de v\u00e1rias. Considerando apenas a regi\u00e3o A, pergunto quantas vezes a letra A deve ocorrer.<\/p>\n<p>\u00a7. 11. Mas, por\u00e9m, se o n\u00famero de pontes que levam \u00e0 regi\u00e3o A for par, ent\u00e3o \u00e9 preciso observar, acerca do tr\u00e2nsito feito atrav\u00e9s de cada uma, se no in\u00edcio o viajor come\u00e7ar\u00e1 seu curso a partir da regi\u00e3o A ou n\u00e3o. Pois se duas pontes levam \u00e0 regi\u00e3o A, e o viajor come\u00e7a seu curso a partir de A, ent\u00e3o a letra A deve ocorrer duas vezes, pois deve aparecer uma vez na designa\u00e7\u00e3o da sa\u00edda de A por uma ponte, e uma vez tamb\u00e9m na designa\u00e7\u00e3o do retorno pela outra ponte. Mas se o viajor come\u00e7a o curso a partir de outra regi\u00e3o, ent\u00e3o a letra A ocorrer\u00e1 apenas uma vez, pois, uma vez posta na sequ\u00eancia, ela determinar\u00e1 tanto a chegada quanto a sa\u00edda de A, como estabeleci na designa\u00e7\u00e3o de tal curso.<\/p>\n<p>\u00a7. 12. Conduzam-se agora quatro pontes para a regi\u00e3o A, e que o viajor comece seu curso a partir da regi\u00e3o A. Assim, na designa\u00e7\u00e3o de todo o curso, a letra A dever\u00e1 aparecer tr\u00eas vezes, se ele passar por cada ponte uma s\u00f3 vez. Mas se ele come\u00e7ar a andar a partir de outra regi\u00e3o, ent\u00e3o a letra A ocorrer\u00e1 apenas duas vezes. Se seis pontes conduzem \u00e0 regi\u00e3o A, e se o in\u00edcio do curso \u00e9 tomado a partir de A, ent\u00e3o a letra A ocorrer\u00e1 quatro vezes; mas se o viajor n\u00e3o partir de A, ent\u00e3o a letra A dever\u00e1 ocorrer apenas tr\u00eas vezes. Assim, como regra geral, se o n\u00famero de pontes for par, a metade desse n\u00famero dar\u00e1 o n\u00famero de vezes que a letra A deve ocorrer, se o in\u00edcio do curso n\u00e3o come\u00e7ar em A. E a metade aumentada em uma unidade dar\u00e1 o n\u00famero de vezes que a letra A deve ocorrer, com in\u00edcio do curso tomado a partir da regi\u00e3o A.<\/p>\n<p>\u00a7. 13. Porque em tal curso o in\u00edcio se d\u00e1 apenas a partir de uma s\u00f3 regi\u00e3o, defino, a partir do n\u00famero de pontes que levam a uma regi\u00e3o, o n\u00famero de vezes que uma letra que denota uma regi\u00e3o deve ocorrer como a metade da soma do n\u00famero de pontes aumentado em uma unidade, se o n\u00famero de pontes for \u00edmpar; e metade do n\u00famero de pontes se este for par. Da\u00ed que, se o n\u00famero de todas as vezes se iguala ao n\u00famero de pontes aumentado em uma unidade, ent\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel o tr\u00e2nsito desejado, tomando-se o in\u00edcio a partir da regi\u00e3o \u00e0 qual leva um n\u00famero \u00edmpar de pontes. Mas se, por outro lado, o n\u00famero de todas as vezes for menor em uma unidade do que o n\u00famero de pontes aumentado em uma unidade, ent\u00e3o o tr\u00e2nsito \u00e9 poss\u00edvel com in\u00edcio na regi\u00e3o a qual conduz um n\u00famero par de pontes, porque desse modo o n\u00famero de vezes ser\u00e1 aumentado em uma unidade.<\/p>\n<p>\u00a7. 14. Portanto, dada qualquer figura de \u00e1gua e pontes, estabele\u00e7o o procedimento seguinte para investigar se algu\u00e9m pode passar sobre cada ponte uma s\u00f3 vez. Primeiro, designo cada um das regi\u00f5es separadas por \u00e1gua entre si com as letras A, B, C, etc. Segundo, somo o n\u00famero de todas as pontes, aumento-o em uma unidade e o sobrescrevo sobre a coluna seguinte. Terceiro, do lado de cada letra A, B, C, etc., escrevo o n\u00famero de pontes que levam \u00e0 regi\u00e3o correspondente. Quarto, marco com um asterisco as letras que t\u00eam n\u00fameros pares adscritos. Quinto, escrevo ao lado a metade de cada um desses n\u00fameros pares, e a metade de cada n\u00famero \u00edmpar aumentado em uma unidade. Sexto, somo todos esses n\u00fameros escritos por \u00faltimo. Se essa soma for uma unidade menor ou igual ao n\u00famero prefixado acima, ent\u00e3o concluo que o tr\u00e2nsito desejado pode ser feito. Mas deve-se ter em mente que se a soma encontrada for uma unidade menor do que esse n\u00famero, ent\u00e3o o in\u00edcio da caminhada deve se dar a partir da regi\u00e3o marcada com um asterisco, e a partir de uma regi\u00e3o n\u00e3o marcada se a soma for igual a tal n\u00famero. Assim, portanto, para o caso das pontes de K\u00f6nigsberg, o procedimento \u00e9 o seguinte:<\/p>\n<p>O n\u00famero de pontes \u00e9 7; aumentado em uma unidade, \u00e9 8:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"13704\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=13704\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" data-orig-size=\"133,122\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"3_Euler-trad_FredericoLopes\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" class=\"aligncenter wp-image-13704 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/3_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" alt=\"\" width=\"133\" height=\"122\"><\/a><\/p>\n<p>Portanto, porque a soma d\u00e1 mais do que 8, o tr\u00e2nsito n\u00e3o pode absolutamente ser feito.<\/p>\n<p>\u00a7. 15. Sejam duas ilhas A e B circundadas por \u00e1gua, com a qual comunicam quatro rios, como mostra a figura.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/4_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"13705\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=13705\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/4_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" data-orig-size=\"663,333\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"4_Euler-trad_FredericoLopes\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/4_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" class=\"aligncenter wp-image-13705 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/4_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" alt=\"\" width=\"663\" height=\"333\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/4_Euler-trad_FredericoLopes.jpg 663w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/4_Euler-trad_FredericoLopes-300x151.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 663px) 100vw, 663px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Al\u00e9m disso, sejam quinze pontes <em>a<\/em>, <em>b<\/em>, <em>c<\/em>, <em>d<\/em>, etc., sobre a \u00e1gua que circunda as ilhas e sobre os rios. Pergunta-se se algu\u00e9m pode instituir um curso que passe por todas as pontes, mas por nenhuma mais do que uma s\u00f3 vez. Primeiro, portanto, designo todas as regi\u00f5es mutuamente separadas entre si pela \u00e1gua pelas letras A, B, C, D, E, F, de sorte que sejam seis regi\u00f5es. Da\u00ed aumento o n\u00famero de pontes, 15, em uma unidade, escrevo a soma, 16, e passo \u00e0 opera\u00e7\u00e3o seguinte.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/5_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"13706\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=13706\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/5_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" data-orig-size=\"135,168\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"5_Euler-trad_FredericoLopes\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/5_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" class=\"aligncenter wp-image-13706 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/5_Euler-trad_FredericoLopes.jpg\" alt=\"\" width=\"135\" height=\"168\"><\/a><\/p>\n<p>Terceiro, escrevo as letras A, B, C, etc., uma por uma, e ponho ao lado de cada o n\u00famero de pontes que levam \u00e0quela regi\u00e3o: oito pontes levam a A, quatro a B, etc. Quarto, noto com um asterisco as letras com n\u00fameros pares. Quinto, em uma terceira coluna, escrevo a metade dos n\u00fameros pares, e aumento os \u00edmpares em uma unidade, colocando l\u00e1 sua metade. Sexto, adiciono cada n\u00famero da terceira coluna e obtenho a soma 16. Segue-se que o tr\u00e2nsito pode ser feito, mas somente se o curso come\u00e7ar a partir ou da regi\u00e3o D ou da E, pois essas n\u00e3o foram notadas com um asterisco. O curso, ent\u00e3o, pode ser feito assim E<em>a<\/em>F<em>b<\/em>B<em>c<\/em>F<em>d<\/em>A<em>e<\/em>F<em>f<\/em>C<em>g<\/em>A<em>h<\/em>C<em>i<\/em>D<em>k<\/em>A<em>m<\/em>E<em>n<\/em>A<em>p<\/em>B<em>o<\/em>E<em>l<\/em>D, onde entre cada letra mai\u00fascula coloquei a ponte pela qual passa o tr\u00e2nsito.<\/p>\n<p>\u00a7. 16. Desta maneira, portanto, ser\u00e1 f\u00e1cil julgar, em um caso bastante complicado, se o tr\u00e2nsito pode ser feito ou n\u00e3o uma vez s\u00f3 por todas as pontes. No entanto, ainda apresentarei um modo muito mais f\u00e1cil de o saber, um que se deriva facilmente do modo apresentado, depois que eu tiver trazido \u00e0 discuss\u00e3o as observa\u00e7\u00f5es seguintes. Primeiro, observo que, somados todos os n\u00fameros de pontes adscritos \u00e0s letras A, B, C, o resultado \u00e9 duas vezes maior que todo o n\u00famero de pontes. A raz\u00e3o disto \u00e9 que nesse c\u00f4mputo, no qual s\u00e3o numeradas todas as pontes que conduzem em uma data regi\u00e3o, cada ponte \u00e9 numerada duas vezes, pois cada ponte se refere a uma e a outra regi\u00e3o que une.<\/p>\n<p>\u00a7. 17. Segue-se, portanto, dessa observa\u00e7\u00e3o, que a soma de todas as pontes que conduzem a cada uma das regi\u00f5es \u00e9 um n\u00famero par, porque sua metade \u00e9 igual ao n\u00famero de pontes. Portanto, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel que entre o n\u00famero de pontes que levam em qualquer regi\u00e3o haja um \u00fanico n\u00famero \u00edmpar, nem tamb\u00e9m que tr\u00eas sejam \u00edmpares, nem cinco, etc. Por isso, se alguns n\u00fameros de pontes adscritos \u00e0s letras A, B, C, etc. s\u00e3o \u00edmpares, \u00e9 necess\u00e1rio que seu n\u00famero seja par, assim como no exemplo de K\u00f6nigsberg eram quatro os n\u00fameros \u00edmpares de pontes adscritos \u00e0s letras das regi\u00f5es A, B, C, D, como \u00e9 poss\u00edvel ver no \u00a7. 14. Tamb\u00e9m no exemplo precedente, do \u00a7. 15, apenas dois s\u00e3o os n\u00fameros \u00edmpares, adscritos \u00e0s letras D e E.<\/p>\n<p>\u00a7. 18. Como a soma de todos os n\u00fameros adjuntos \u00e0s letras A, B, C, etc. \u00e9 igual ao dobro do n\u00famero de pontes, fica claro que aquela soma, aumentada em dois e dividida por dois, d\u00e1 o n\u00famero prefixado \u00e0 opera\u00e7\u00e3o. Se, portanto, todos os n\u00fameros adscritos \u00e0s letras A, B, C, D, etc. forem pares, e se a metade de cada um for tomada para obter os n\u00fameros da terceira coluna, a soma destes n\u00fameros ser\u00e1 uma unidade menor do que o n\u00famero sobrescrito. Por isso, nesses casos o tr\u00e2nsito por todas as pontes sempre poder\u00e1 ser feito. Pois em qualquer regi\u00e3o que o curso se inicie, ela ter\u00e1 pontes em n\u00famero par que levam a si, como se requer. Assim poder\u00e1 ser feito no exemplo de K\u00f6nigsberg, que algu\u00e9m por todas as pontes passe duas vezes, como se cada ponte fosse dividida em duas, e o n\u00famero de pontes que leva a qualquer regi\u00e3o ser\u00e1 par.<\/p>\n<p>\u00a7. 19. Al\u00e9m disso, se apenas dois n\u00fameros adscritos \u00e0s letras A, B, C, etc., forem \u00edmpares, e todos os restantes pares, ent\u00e3o o tr\u00e2nsito desejado \u00e9 sempre poss\u00edvel, mas apenas se o curso come\u00e7ar a partir da regi\u00e3o \u00e0 qual tende um n\u00famero \u00edmpar de pontes. Pois se os n\u00fameros pares s\u00e3o divididos ao meio, e tamb\u00e9m os \u00edmpares s\u00e3o aumentados em uma unidade, como prescrito, a soma dessas metades ser\u00e1 uma unidade maior do que o n\u00famero de pontes, e por isso igual ao n\u00famero prefixado. Tamb\u00e9m a partir disso se percebe, que se houver quatro, ou seis, ou oito, etc., n\u00fameros \u00edmpares na segunda coluna, ent\u00e3o a soma dos n\u00fameros da terceira coluna ser\u00e1 maior do que o n\u00famero prefixado, excedendo-o em uma unidade, ou duas, ou tr\u00eas, etc., e por isso o tr\u00e2nsito n\u00e3o pode ser feito.<\/p>\n<p>\u00a7. 20. Portanto, proposto qualquer caso, ser\u00e1 poss\u00edvel saber, f\u00e1cil e imediatamente, se o tr\u00e2nsito pode ser feito uma s\u00f3 vez por todas as pontes ou n\u00e3o com a ajuda desta regra. Se houver mais do que duas regi\u00f5es \u00e0s quais levam um n\u00famero \u00edmpar de pontes, ent\u00e3o certamente pode-se afirmar que tal tr\u00e2nsito n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel. Se, por\u00e9m, o n\u00famero de pontes que levam a apenas duas regi\u00f5es for \u00edmpar, ent\u00e3o o tr\u00e2nsito poder\u00e1 ser feito, mas apenas se o curso se iniciar em uma destas duas regi\u00f5es. Se, por fim, n\u00e3o houver nenhuma regi\u00e3o \u00e0 qual leva um n\u00famero \u00edmpar de pontes, ent\u00e3o o tr\u00e2nsito desejado poder\u00e1 ser feito com in\u00edcio a partir de qualquer regi\u00e3o. Essa regra, portanto, satisfaz plenamente ao problema proposto.<\/p>\n<p>\u00a7. 21. Quando tiver sido determinado se tal tr\u00e2nsito pode ser realizado, resta ainda a quest\u00e3o de como o curso deve ser feito. Para isso, utilizo a seguinte regra: removam-se mentalmente, quantas vezes poss\u00edveis, pares de pontes que conduzem de uma a outra regi\u00e3o, e desse modo o n\u00famero de pontes geralmente diminui bastante. Ent\u00e3o se ver\u00e1 que se torna f\u00e1cil o curso desejado pelas pontes restantes, e que as pontes eliminadas mentalmente n\u00e3o modificar\u00e3o muito esse curso, o que ficar\u00e1 imediatamente claro com um pouco de aten\u00e7\u00e3o. Com efeito, n\u00e3o julgo necess\u00e1rio prescrever mais nada para a determina\u00e7\u00e3o dos cursos.<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: square;\">\n<li>Fonte:&nbsp;<a href=\"https:\/\/www.rbhm.org.br\/index.php\/RBHM\/article\/view\/82\/56\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Euler e as Pontes de K\u00f6nigsberg<\/em><\/a>, Frederico Jos\u00e9 Andries Lopes &amp; Pl\u00ednio Zornoff T\u00e1boas<\/li>\n<\/ul>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_13659' onClick='GTTabs_show(1,13659)'>&lt;&lt; A introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 tradu\u00e7\u00e3o<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<\/p>\n<p><\/p>\n<p>Algumas p\u00e1ginas sobre o Problema das Pontes de K\u00f6nigsberg:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li><a href=\"https:\/\/mathshistory.st-andrews.ac.uk\/HistTopics\/Topology_in_mathematics\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">A history of Topology<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/mathforum.org\/isaac\/problems\/bridges1.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Mathforum<\/a> on the beginnings of Toploogy<\/li>\n<li>Hist\u00f3ria de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/K%C3%B6nigsberg#History\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">K\u00f6nigsberg<\/a>, agora chamada <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Kaliningrad\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Kaliningrado<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<ul style=\"list-style-type: square;\">\n<li>Fonte:&nbsp;<a href=\"http:\/\/eulerarchive.maa.org\/index.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">The Euler Archive<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In 1735, the bright mathematician Leonard Euler presented his solution of the famous problem of Seven Bridges of K\u00f6nigsberg. His notable solution has sparked a whole new branch of mathematics &#8211; the graph theory,&#46;&#46;&#46;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":21892,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4,3,7],"tags":[13,477,480,171,200],"series":[],"class_list":["post-13659","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-ciencia-e-tecnologia","category-matematica","category-video","tag-documentario","tag-grafo","tag-konigsberg","tag-leonard-euler","tag-video-2"],"views":2530,"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Konigsberg_Euler.png","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_likes_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/13659","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=13659"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/13659\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21893,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/13659\/revisions\/21893"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/21892"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=13659"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=13659"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=13659"},{"taxonomy":"series","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fseries&post=13659"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}