\nEnunciado<\/b><\/span><\/p>\n
Considera um tri\u00e2ngulo [ABC].<\/p>\n
- \n
- Constr\u00f3i a mediana relativa ao lado [AB], designando o ponto m\u00e9dio de [AB] por D.<\/li>\n
- Justifica que os tri\u00e2ngulos [BCD] e [ACD] t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/li>\n
- Constr\u00f3i o baricentro do tri\u00e2ngulo [ABC] e designa-o por G.<\/li>\n
- Justifica que os seis tri\u00e2ngulos de v\u00e9rtice comum G determinados pelas tr\u00eas medianas de [ABC] t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/li>\n<\/ol>\nResolu\u00e7\u00e3o >><\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n\nResolu\u00e7\u00e3o<\/b><\/span><\/p>\n
- \n
![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2017\/11\/Pag101-6a_600-450-300x225.png\")
<\/a>Na figura ao lado, est\u00e1 constru\u00edda a mediana relativa ao lado [AB].<\/li>\n- Considere-se a altura do tri\u00e2ngulo [ABC] relativa ao lado [AB].
\nOra,\u00a0\\({A_{\\left[ {ACD} \\right]}} = \\frac{{\\overline {AD} \\times {h_3}}}{2}\\) e\u00a0\\({A_{\\left[ {BCD} \\right]}} = \\frac{{\\overline {BD} \\times {h_3}}}{2}\\).
\nComo D \u00e9 o ponto m\u00e9dio do lado [AB], ent\u00e3o \\(\\overline {AD} = \\overline {BD} = \\frac{{\\overline {AB} }}{2}\\).
\nConsequentemente, os tri\u00e2ngulos [ACD] e [BCD] t\u00eam a mesma \u00e1rea, pois tem-se:
\n\\[{A_{\\left[ {ACD} \\right]}} = \\frac{{\\overline {AB} \\times {h_3}}}{4} = {A_{\\left[ {BCD} \\right]}}\\]<\/li>\n![\"\"](\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2017\/11\/Pag101-6b_600-450-300x225.png\")
<\/a>Foram constru\u00eddas as duas restantes medianas, bem como o baricentro do tri\u00e2ngulo [ABC].<\/li>\n- Na figura ao lado, considerem-se os seis tri\u00e2ngulos em que o tri\u00e2ngulo [ABC] foi dividido pelas suas tr\u00eas medianas.
\nJ\u00e1 vimos, na al\u00ednea b., que a mediana\u00a0relativa ao lado [AB] divide o tri\u00e2ngulo [ABC] em dois tri\u00e2ngulos, [ACD] e [BCD], de igual \u00e1rea.
\nO mesmo se passa com as duas outras medianas do tri\u00e2ngulo [ABC], dividindo cada uma delas este tri\u00e2ngulo em dois com igual \u00e1rea entre si.
\nSintetizando estas rela\u00e7\u00f5es em termos das \u00e1reas dos seis tri\u00e2ngulos representados na figura ao lado, temos:
\n\\[\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} + {A_5} + {A_6} = {A_2} + {A_3} + {A_4}}\\\\{{A_1} + {A_2} + {A_6} = {A_3} + {A_4} + {A_5}}\\\\{{A_1} + {A_2} + {A_3} = {A_4} + {A_5} + {A_6}}\\end{array}} \\right.\\]
\nPor outro lado, reparemos que os tri\u00e2ngulos [ADG] e [BDG] t\u00eam igual \u00e1rea entre si, pois t\u00eam iguais bases ([AD] e [BD]) e iguais alturas (h’3<\/sub>). Igual rela\u00e7\u00e3o existe entre cada par dos restantes quatro tri\u00e2ngulos em que est\u00e1 decomposto o tri\u00e2ngulo [ABC].
\nSintetizando tamb\u00e9m estas rela\u00e7\u00f5es em termos das \u00e1reas dos seis tri\u00e2ngulos representados na figura ao lado, temos:
\n\\[\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} = {A_2}}\\\\{{A_3} = {A_4}}\\\\{{A_5} = {A_6}}\\end{array}} \\right.\\]
\nConjugando os dois sistemas de equa\u00e7\u00f5es, vem:
\n\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} + {A_5} + {A_6} = {A_2} + {A_3} + {A_4}}\\\\{{A_1} + {A_2} + {A_6} = {A_3} + {A_4} + {A_5}}\\\\{{A_1} + {A_2} + {A_3} = {A_4} + {A_5} + {A_6}}\\\\{{A_1} = {A_2}}\\\\{{A_3} = {A_4}}\\\\{{A_5} = {A_6}}\\end{array}} \\right.}& \\Leftrightarrow &{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1} + {A_5} + {A_5} = {A_1} + {A_3} + {A_3}}\\\\{{A_1} + {A_1} + {A_5} = {A_3} + {A_3} + {A_5}}\\\\{{A_1} + {A_1} + {A_3} = {A_3} + {A_5} + {A_5}}\\\\{{A_1} = {A_2}}\\\\{{A_3} = {A_4}}\\\\{{A_5} = {A_6}}\\end{array}} \\right.}& \\Leftrightarrow &{\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_5} = {A_3}}\\\\{{A_1} = {A_3}}\\\\{{A_1} = {A_5}}\\\\{{A_1} = {A_2}}\\\\{{A_3} = {A_4}}\\\\{{A_5} = {A_6}}\\end{array}} \\right.}& \\Leftrightarrow \\\\{}& \\Leftrightarrow &{{A_1} = {A_2} = {A_3} = {A_4} = {A_5} = {A_6}}&{}&{}&{}\\end{array}\\]
\nPortanto,\u00a0os seis tri\u00e2ngulos de v\u00e9rtice comum G determinados pelas tr\u00eas medianas de [ABC] t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/li>\n<\/ol>\n\u00ad
\n- Considere-se a altura do tri\u00e2ngulo [ABC] relativa ao lado [AB].