{"id":12596,"date":"2016-12-10T15:53:05","date_gmt":"2016-12-10T15:53:05","guid":{"rendered":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?page_id=12596"},"modified":"2021-11-27T22:23:07","modified_gmt":"2021-11-27T22:23:07","slug":"a-mecanica-de-galileu","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?page_id=12596","title":{"rendered":"A Mec\u00e2nica de Galileu"},"content":{"rendered":"<div id=\"attachment_12567\" style=\"width: 450px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12567\" data-attachment-id=\"12567\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12567\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b.jpg\" data-orig-size=\"1019,789\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;1248199027&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;1&quot;}\" data-image-title=\"Tempera on plaster by Luigi Catani, 1816\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b.jpg\" class=\"wp-image-12567\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b-300x232.jpg\" alt=\"Tempera on plaster by Luigi Catani, 1816\" width=\"440\" height=\"341\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b-300x232.jpg 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b-768x595.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileu_Catani_1024b.jpg 1019w\" sizes=\"auto, (max-width: 440px) 100vw, 440px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12567\" class=\"wp-caption-text\">Na presen\u00e7a do Gr\u00e3o-Duque, Galileu realiza a experi\u00eancia da queda dos corpos na Torre Inclinada de Pisa. Tempera de gesso por Luigi Catani , 1816 (Palazzo Pitti, Firenze, Quartiere Borbonico o Nuovo Palatino, sala 15)<\/p><\/div>\n<p>Abordaremos o desenvolvimento de um importante exemplo de investiga\u00e7\u00e3o b\u00e1sica: o estudo dos corpos em queda livre feito por <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Galileu_Galilei\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileu Galilei<\/a>. Embora o problema f\u00edsico da queda livre seja por si s\u00f3 interessante, o estudo ser\u00e1 orientado para a maneira como Galileu, um dos primeiros cientistas modernos, apresentou os seus argumentos. A sua perspetiva do mundo, a sua maneira de pensar, o seu uso da matem\u00e1tica e a sua confian\u00e7a nos testes experimentais, marcam o estilo da ci\u00eancia moderna. \u00c9 por isto que estes aspetos do seu trabalho s\u00e3o t\u00e3o importantes para n\u00f3s como os resultados reais da sua investiga\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>No prop\u00f3sito de enquadrar o tema a desenvolver, come\u00e7a-se por visionar um pequeno filme\u00a0intitulado <em>A\u00a0Mec\u00e2nica de Galileu<\/em> (Introdu\u00e7\u00e3o; Um pouco da hist\u00f3ria; Experi\u00eancia: a queda dos corpos; Experi\u00eancia: o plano inclinado; e O princ\u00edpio da in\u00e9rcia), apresentado por\u00a0Riccardo Pratesi, licenciado em F\u00edsica pela Universidade de Floren\u00e7a, professor de Matem\u00e1tica do ensino secund\u00e1rio do segundo grau\u00a0e colaborador do <a href=\"https:\/\/www.museogalileo.it\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Museu Galileu &#8211; Instituto e Museu de Hist\u00f3ria da Ci\u00eancia<\/a> para atividades educativas e de sensibiliza\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>A viagem prossegue com uma visita virtual ao <a href=\"https:\/\/www.museogalileo.it\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Museu Galileu \u2013 Instituto e Museu da Hist\u00f3ria da Ci\u00eancia<\/a>, cujo subt\u00edtulo faz justi\u00e7a \u00e0 sua hist\u00f3ria anterior e presente. A cria\u00e7\u00e3o de arquivos digitais de import\u00e2ncia vital para a pesquisa hist\u00f3rica e cient\u00edfica ao longo dos \u00faltimos vinte anos, a par dos recentes ambientes renovados, no espa\u00e7o e no conte\u00fado, t\u00eam permitido uma crescente visibilidade do museu na valoriza\u00e7\u00e3o do seu patrim\u00f3nio e na divulga\u00e7\u00e3o da cultura cient\u00edfica, quer a expans\u00e3o de exposi\u00e7\u00f5es tempor\u00e1rias e outras atividades, muitas das quais t\u00eam sido bem-sucedidas a uma escala global.<\/p>\n<p>Durante a visita virtual ao\u00a0Museu Galileu travar-se-\u00e1 contacto com v\u00e1rios\u00a0recursos Galileanos, que ser\u00e3o \u00fateis para apreciar o estudo dos corpos em queda livre feito por Galileu Galilei.<\/p>\n<p>Por \u00faltimo,\u00a0passa-se a apreciar o estudo dos corpos em queda livre feito por Galileu, entremeando-o com quest\u00f5es e desafios diversos\u00a0que, em v\u00e1rios momentos ao longo do tempo, poder\u00e3o ser trabalhados (de forma interdisciplinar) por alunos do 3.\u00ba ciclo ou\u00a0do ensino secund\u00e1rio, dependendo\u00a0dos conte\u00fados matem\u00e1ticos envolvidos e do grau de dificuldade apresentado.<\/p>\n<\/p>\n<h4>Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Mec\u00e2nica de Galileu<\/h4>\n<\/p>\n<div class=\"epyt-video-wrapper\"><iframe loading=\"lazy\"  id=\"_ytid_72646\"  width=\"480\" height=\"270\"  data-origwidth=\"480\" data-origheight=\"270\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4hcx4fm5LAU?enablejsapi=1&#038;origin=https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt&#038;autoplay=0&#038;cc_load_policy=0&#038;cc_lang_pref=&#038;iv_load_policy=1&#038;loop=0&#038;rel=1&#038;fs=1&#038;playsinline=0&#038;autohide=2&#038;hl=pt_PT&#038;theme=dark&#038;color=red&#038;controls=1&#038;disablekb=0&#038;\" class=\"__youtube_prefs__  epyt-is-override  no-lazyload\" title=\"YouTube player\"  allow=\"fullscreen; 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return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>O Museu Galileu<\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_1_12596' ><a  id=\"12596_1\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('A teoria aristot\u00e9lica do movimento'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>A teoria aristot\u00e9lica do movimento<\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_2_12596' ><a  id=\"12596_2\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('Galileu descreve o movimento'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>Galileu descreve o movimento<\/a><\/li>\n<li id='GTTabs_li_3_12596' ><a  id=\"12596_3\" onMouseOver=\"GTTabsShowLinks('Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios'); return true;\"  onMouseOut=\"GTTabsShowLinks();\"  class='GTTabsLinks'>Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n<div class='GTTabs_divs GTTabs_curr_div' id='GTTabs_0_12596'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>O Museu Galileu<\/b><\/span><\/p>\n<h4>Museu Galileu &#8211; Instituto e Museu da Hist\u00f3ria da Ci\u00eancia<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"12558\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12558\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000.jpg\" data-orig-size=\"1000,701\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;13&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;Sabina Bernacchini&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;Canon EOS 6D&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;1456851256&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;20&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;320&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0.0125&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;1&quot;}\" data-image-title=\"Fachada do Museu Galileu\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000.jpg\" class=\"alignright wp-image-12558\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000-300x210.jpg\" alt=\"Fachada do Museu Galileu\" width=\"600\" height=\"421\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000-300x210.jpg 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000-768x538.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/facciata_museo_1000.jpg 1000w\" sizes=\"auto, (max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/a>O pr\u00e9dio que abriga o museu \u00e9 o <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Palazzo_Castellani\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Palazzo Castellani<\/a>, que surgiu na regi\u00e3o do Castello d\u2019Altafronte \u2013 datado de finais do s\u00e9culo XI, era a fortaleza que protegia o porto fluvial no Arno e fazia parte da cerca antiga das muralhas de Floren\u00e7a. Est\u00e1 localizado entre a ponte Vecchio e a Piazza della Signoria.<\/p>\n<p>O Museu da Hist\u00f3ria da Ci\u00eancia foi inaugurado em 1930 e assim ficou conhecido at\u00e9 2010, quando passou a chamar-se <a href=\"https:\/\/www.museogalileo.it\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Museu Galileu<\/a>. Possui um grande acervo de equipamentos de laborat\u00f3rio, lunetas, mapas, globos e equipamentos did\u00e1ticos de ci\u00eancias (\u00f3tica, eletromagnetismo, microbiologia, medicina, etc.). Uma das atra\u00e7\u00f5es \u201ccuriosas\u201d \u00e9 composta de tr\u00eas dedos e um dente de Galileu Galilei.<\/p>\n<p>Foi o interesse das fam\u00edlias <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Casa_de_M%C3%A9dici\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">M\u00e9dici<\/a> e <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/House_of_Lorraine\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Lorena<\/a> nas ci\u00eancias naturais, f\u00edsica e matem\u00e1tica que as levaram a recolher valiosos instrumentos cient\u00edficos e b\u00e9licos juntamente com pinturas e outros objetos de arte e curiosidades da natureza, que constituem a ess\u00eancia do Museu. Sabe-se que <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Cosimo_I_de%27_Medici\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Cosme I<\/a> e <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Francisco_I_de_M%C3%A9dici\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Francisco I de M\u00e9dici<\/a> incentivavam a pesquisa art\u00edstica e cient\u00edfica, realizada nos laborat\u00f3rios do Gr\u00e3o-Duque, mas tamb\u00e9m os pr\u00f3prios membros da fam\u00edlia M\u00e9dici no s\u00e9culo XVII protegiam e acompanhavam pessoalmente as experi\u00eancias de f\u00edsica \u00e0 luz das descobertas de Galileu.<\/p>\n<\/p>\n<h5>Introdu\u00e7\u00e3o ao Museu Galileu<\/h5>\n<\/p>\n<div class=\"epyt-video-wrapper\"><iframe loading=\"lazy\"  id=\"_ytid_20579\"  width=\"480\" height=\"270\"  data-origwidth=\"480\" data-origheight=\"270\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/b5ezorIz1yE?enablejsapi=1&#038;origin=https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt&#038;list=PLF114CC92305DCCCF&#038;autoplay=0&#038;cc_load_policy=0&#038;cc_lang_pref=&#038;iv_load_policy=1&#038;loop=0&#038;rel=1&#038;fs=1&#038;playsinline=0&#038;autohide=2&#038;hl=pt_PT&#038;theme=dark&#038;color=red&#038;controls=1&#038;disablekb=0&#038;\" class=\"__youtube_prefs__  epyt-is-override  no-lazyload\" title=\"YouTube player\"  allow=\"fullscreen; accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen data-no-lazy=\"1\" data-skipgform_ajax_framebjll=\"\"><\/iframe><\/div>\n<div id=\"MuseuGalileu-link-12596\" class=\"sh-link MuseuGalileu-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('MuseuGalileu', 12596, 'Mostrar texto da Introdu\u00e7\u00e3o ao Museu Galileu (Ingl\u00eas)', 'Ocultar texto da Introdu\u00e7\u00e3o ao Museu Galileu'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"MuseuGalileu-toggle-12596\">Mostrar texto da Introdu\u00e7\u00e3o ao Museu Galileu (Ingl\u00eas)<\/span><\/a><\/div><div id=\"MuseuGalileu-content-12596\" class=\"sh-content MuseuGalileu-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><style>\nh3.hungryfeed_feed_title {}\r\np.hungryfeed_feed_description {}\r\ndiv.hungryfeed_items {}\r\ndiv.hungryfeed_item {margin-bottom: 10px;}\r\ndiv.hungryfeed_item_title {font-weight: bold;}\r\ndiv.hungryfeed_item_description {}\r\ndiv.hungryfeed_item_author {}\r\ndiv.hungryfeed_item_date {}\n<\/style>\n<script >\r\n<\/script>\n<div style=\"margin:5px 0px 5px 0px;padding:10px;border: solid 1px red; background-color: #ff6666; color: black;\">\r\nHungryFEED can't get feed.  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A esfera armilar representa o universo de acordo com a <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Teoria_aristot%C3%A9lica_da_gravita%C3%A7%C3%A3o\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">teoria aristot\u00e9lica<\/a>.<\/p>\n<p>A sala dedicada ao grande cientista pisano \u00e9 o cora\u00e7\u00e3o do Museu Galileu: <strong><em>Sala VII \u2013 O Novo Mundo de Galileu<\/em><\/strong>. Aqui, est\u00e3o expostos os \u00fanicos dois telesc\u00f3pios sobreviventes, entre os muitos constru\u00eddos por Galileu; a lente objetiva do telesc\u00f3pio atrav\u00e9s do qual, em janeiro de 1610, observou os sat\u00e9lites de J\u00fapiter pela primeira vez; os compassos militares e geom\u00e9tricos que desenvolveu durante os seus anos em P\u00e1dua; outros instrumentos de sua inven\u00e7\u00e3o e modelos educacionais que ilustram os resultados crucialmente importantes alcan\u00e7ados por Galileu nos seus estudos sobre a mec\u00e2nica. No centro da sala est\u00e1 o busto de m\u00e1rmore encomendado ao escultor <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Carlo_Marcellini\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Carlo Marcellini<\/a> por <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Cosme_III_de_M%C3%A9dici\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Cosimo III de M\u00e9dici<\/a>. Algumas rel\u00edquias de Galileu, o santo secular da ci\u00eancia, est\u00e3o tamb\u00e9m aqui expostas: o polegar, o dedo indicador e o dedo m\u00e9dio de sua m\u00e3o direita, e um dente, removido do cad\u00e1ver de Galileu quando ele foi transladado para o t\u00famulo monumental na <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Bas%C3%ADlica_de_Santa_Cruz\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Bas\u00edlica de Santa Cruz<\/a>.<\/p>\n<\/p>\n<div class=\"epyt-video-wrapper\"><iframe loading=\"lazy\"  id=\"_ytid_32202\"  width=\"480\" height=\"270\"  data-origwidth=\"480\" data-origheight=\"270\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/YAu0VF-lXB0?enablejsapi=1&#038;origin=https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt&#038;list=PL11E7DA5B2D60A34D&#038;autoplay=0&#038;cc_load_policy=0&#038;cc_lang_pref=&#038;iv_load_policy=1&#038;loop=0&#038;rel=1&#038;fs=1&#038;playsinline=0&#038;autohide=2&#038;hl=pt_PT&#038;theme=dark&#038;color=red&#038;controls=1&#038;disablekb=0&#038;\" class=\"__youtube_prefs__  epyt-is-override  no-lazyload\" title=\"YouTube player\"  allow=\"fullscreen; accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen data-no-lazy=\"1\" data-skipgform_ajax_framebjll=\"\"><\/iframe><\/div>\n<div id=\"Salas-link-12596\" class=\"sh-link Salas-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('Salas', 12596, 'Mostrar texto das s\u00famulas das Salas do Museu Galileu (Ingl\u00eas)', 'Ocultar texto das s\u00famulas das Salas do Museu Galileu'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"Salas-toggle-12596\">Mostrar texto das s\u00famulas das Salas do Museu Galileu (Ingl\u00eas)<\/span><\/a><\/div><div id=\"Salas-content-12596\" class=\"sh-content Salas-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><style>\nh3.hungryfeed_feed_title {}\r\np.hungryfeed_feed_description {}\r\ndiv.hungryfeed_items {}\r\ndiv.hungryfeed_item {margin-bottom: 10px;}\r\ndiv.hungryfeed_item_title {font-weight: bold;}\r\ndiv.hungryfeed_item_description {}\r\ndiv.hungryfeed_item_author {}\r\ndiv.hungryfeed_item_date {}\n<\/style>\n<script >\r\n<\/script>\n<div style=\"margin:5px 0px 5px 0px;padding:10px;border: solid 1px red; background-color: #ff6666; color: black;\">\r\nHungryFEED can't get feed.  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SimplePie reported: Retrieved unsupported status code \"404\"\r\n<\/div><\/div>\n<\/p>\n<h5 style=\"text-align: left;\">Alguns recursos Galileanos do Museu Galileu sobre a queda livre<\/h5>\n<ol style=\"list-style-type: lower-roman;\">\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/biography\/GalileoGalilei.html?_ga=1.188320488.1949932603.1464640419\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Biografia de Galileu Galilei<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/room\/RoomVII.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Sala VII \u2013 O Novo Mundo de Galileu<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/TribunaGalileo.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Tribuna de Galileu (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/GalileosPortraits.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Retratos de Galileu (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/GalileosDisciples.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Os disc\u00edpulos de Galileu (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/GalileoMechanics.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileu e a Mec\u00e2nica (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/GalileoScienceMotion.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileu e a ci\u00eancia do movimento (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/LawFreefallingBodies.html?_ga=1.146858871.1949932603.1464640419\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Lei dos corpos em queda livre (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/object\/InclinedPlane.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Plano inclinado<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/InclinedPlane.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Plano inclinado (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/EquilibriumOnInclinedPlanes.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Equil\u00edbrio em planos inclinados (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/IsochronismFallingBodiesAlongSpiralOnParaboloid.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Isocronismo da queda dos corpos ao longo de uma espiral em um paraboloide (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/object\/ApparatusToDemonstrateIsochronismFallsAlongSpiral.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Aparelho para demonstrar a isocronismo de quedas ao longo de uma espiral em um paraboloide<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/ApparatusForGalileanExperiments.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Aparelhos para experimentos de Galileu (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/catalogue.museogalileo.it\/multimedia\/HourglassesWaterClocksCombustionClocks.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Ampulhetas, rel\u00f3gios de \u00e1gua e rel\u00f3gios de combust\u00e3o (V\u00eddeo)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/193.206.220.110\/Teca\/Viewer?an=300951\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica &amp; i movimenti locali, del Signor Galileo Galilei. Con una appendice del centro di gravit\u00e0 d\u2019alcuni solidi<\/a><\/li>\n<\/ol>\n<ul style=\"list-style-type: circle;\">\n<li><a href=\"https:\/\/brunelleschi.imss.fi.it\/bibliotecagalileo\/indice.html?_ga=1.184257510.1949932603.1464640419\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo and the Universe of His Books<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/portalegalileo.museogalileo.it\/index.html?_ga=1.17954745.1295732646.1464723679\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">GALILEO PORTAL<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.museogalileo.it\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Museo Galileo<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: left;\"><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_12596' onClick='GTTabs_show(1,12596)'>A teoria aristot\u00e9lica do movimento &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_1_12596'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>A teoria aristot\u00e9lica do movimento<\/b><\/span><\/p>\n<h4 style=\"text-align: left;\">A teoria aristot\u00e9lica do movimento<\/h4>\n<div id=\"attachment_12564\" style=\"width: 410px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Apian-1545-00b1-9b.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12564\" data-attachment-id=\"12564\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12564\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Apian-1545-00b1-9b.jpg\" data-orig-size=\"559,777\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Apian &amp;#8211; Universo geoc\u00eantrico\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Apian-1545-00b1-9b.jpg\" class=\"wp-image-12564\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Apian-1545-00b1-9b-216x300.jpg\" alt=\"Apian - Universo geoc\u00eantrico\" width=\"400\" height=\"556\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Apian-1545-00b1-9b-216x300.jpg 216w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Apian-1545-00b1-9b.jpg 559w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12564\" class=\"wp-caption-text\">Diagrama do Universo, segundo Arist\u00f3teles e Ptolomeu, da edi\u00e7\u00e3o de 1524 da Cosmographia, de Peter Apian.<\/p><\/div>\n<p>O modelo de Universo de Ptolomeu era essencialmente o aristot\u00e9lico, ou seja, um cosmo finito, constitu\u00eddo de esferas conc\u00eantricas, com a Terra im\u00f3vel no centro. A atmosfera chegaria at\u00e9 a altura da Lua, definindo o espa\u00e7o do mundo \u201csublunar\u201d, constitu\u00eddo por quatro elementos, Terra, \u00c1gua, Fogo e Ar. A partir da esfera da Lua, no mundo \u201csupralunar\u201d, constitu\u00eddo de um \u201cquinto elemento\u201d, o \u00c9ter, haveria uma s\u00e9rie de esferas transparentes (que foram chamadas orbes) girando em torno da Terra e levando consigo os planetas Merc\u00fario, V\u00e9nus, Marte, J\u00fapiter e Saturno (os planetas conhecidos na \u00e9poca), al\u00e9m do Sol. A \u00faltima das esferas conteria as chamadas \u201cestrelas fixas\u201d, o primum mobile, \u201cprimeiro motor\u201d. Para al\u00e9m deste, n\u00e3o haveria movimento, nem tempo, nem lugar (espa\u00e7o), da\u00ed a no\u00e7\u00e3o de um cosmo finito ou \u201cmundo fechado\u201d.<\/p>\n<p>Para compreender a natureza do trabalho de Galileu e para apreciar o seu significado deveremos examinar primeiramente o esquema de pensamento l\u00f3gico anterior a Galileu, e que foi por este substitu\u00eddo. Na ci\u00eancia f\u00edsica medieval, tal como Galileu a aprendeu na Universidade de Pisa, supunha-se existir uma distin\u00e7\u00e3o perfeitamente vincada entre os objetos terrestres e os objetos celestes. Acreditava-se que toda a mat\u00e9ria terrestre, aquela que estava ao nosso alcance f\u00edsico, era composta por uma mistura de quatro \u201delementos\u201d \u2013 Terra, \u00c1gua, Ar e Fogo. Mas n\u00e3o se pensava que estes elementos fossem id\u00eanticos aos materiais naturais com o mesmo nome. Pensava-se, por exemplo, que a \u00e1gua vulgar fosse uma mistura dos quatro elementos, embora o elemento predominante fosse a \u00c1gua. Cada um dos quatro elementos era suposto ter um lugar natural na regi\u00e3o terrestre. O lugar mais alto seria preenchido pelo Fogo; por baixo do Fogo estaria o Ar, depois a \u00c1gua e, finalmente, na posi\u00e7\u00e3o mais baixa, a Terra. Supunha-se tamb\u00e9m que cada um deles deveria procurar o seu pr\u00f3prio lugar. Assim o Fogo, se fosse deslocado para baixo da sua posi\u00e7\u00e3o natural, tenderia a subir atrav\u00e9s do Ar. Da mesma maneira o Ar tenderia a subir atrav\u00e9s da \u00c1gua, enquanto a Terra deveria cair atrav\u00e9s quer do Ar quer da \u00c1gua. O movimento de qualquer corpo real dependeria da correspondente mistura destes quatro elementos e da sua posi\u00e7\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o aos respetivos lugares naturais. Quando a \u00e1gua fervia, por exemplo, o elemento \u00c1gua juntava-se ao elemento Fogo, cujo lugar natural mais elevado levava a mistura a subir, como vapor. Uma pedra, pelo contr\u00e1rio, sendo principalmente constitu\u00edda pelo elemento Terra, ca\u00eda quando solta, passando atrav\u00e9s do Fogo, do Ar e da \u00c1gua, at\u00e9 ficar em repouso na terra, seu lugar natural.<\/p>\n<p>Os pensadores medievais acreditavam tamb\u00e9m que as estrelas, os planetas e os outros corpos celestes diferiam na composi\u00e7\u00e3o e no comportamento dos objetos situados na superf\u00edcie terrestre ou na sua proximidade imediata. Supunham eles que os corpos celestes n\u00e3o continham nenhum dos quatro elementos ordin\u00e1rios, sendo unicamente formados por um quinto elemento, a quinta-ess\u00eancia. O movimento natural de objetos compostos deste elemento n\u00e3o era nem a queda nem a ascens\u00e3o, mas antes uma intermin\u00e1vel revolu\u00e7\u00e3o circular em torno do centro do universo. Este centro era suposto estar colocado no centro da Terra. Os corpos celestes, embora em movimento, estariam sempre nos seus lugares naturais. Consequentemente, eles seriam radicalmente distintos dos objetos terrestres, que se deslocavam animados de movimento natural apenas quando afastados da sua posi\u00e7\u00e3o natural e em dire\u00e7\u00e3o a esta.<\/p>\n<p>Esta teoria, largamente defendida na \u00e9poca de Galileu, tivera a sua origem quase 2000 anos antes, no s\u00e9culo IV A. C. Encontramo-la claramente exposta nos trabalhos do fil\u00f3sofo grego <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Arist%C3%B3teles\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Arist\u00f3teles<\/a>. Esta ci\u00eancia f\u00edsica, constru\u00edda sobre a ordem, a classe, o lugar e a finalidade, encontra-se em razo\u00e1vel acordo com muitos factos observados quotidianamente. E parecia particularmente plaus\u00edvel em sociedades como aquelas em que Arist\u00f3teles e Galileu viveram, onde a posi\u00e7\u00e3o hier\u00e1rquica e a ordem eram dominantes na experi\u00eancia humana. Al\u00e9m disso, estas conce\u00e7\u00f5es da mat\u00e9ria e do movimento eram apenas uma parte de um esquema universal ou \u201ccosmologia\u201d. Na sua cosmologia, Arist\u00f3teles procurou relacionar ideias atualmente agrupadas separadamente, sob os nomes de ci\u00eancia, poesia, pol\u00edtica, \u00e9tica e teologia.<\/p>\n<p>N\u00e3o se sabe muito sobre a apar\u00eancia f\u00edsica de Arist\u00f3teles ou sobre a sua vida. Pensa-se que tenha nascido em 384 A. C., na prov\u00edncia grega da Maced\u00f3nia. Seu pai era o m\u00e9dico do Rei da Maced\u00f3nia, de modo que a primeira inf\u00e2ncia de Arist\u00f3teles foi passada na corte. Completou a sua educa\u00e7\u00e3o em Atenas, regressando mais tarde \u00e0 Maced\u00f3nia para se tornar o tutor de <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Alexandre,_o_Grande\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Alexandre, o Grande<\/a>. Em 335 A. C. Arist\u00f3teles regressou a Atenas e fundou o <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Lyceum_(Classical)\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Liceu<\/a>, simultaneamente escola e centro de investiga\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>Depois do decl\u00ednio da antiga civiliza\u00e7\u00e3o grega, os trabalhos de Arist\u00f3teles permaneceram virtualmente ignorados durante 1500 anos na Europa Ocidental. Foram redescobertos no s\u00e9culo XIII D. C. e mais tarde incorporados nos trabalhos dos mestres e te\u00f3logos crist\u00e3os. Arist\u00f3teles passou ent\u00e3o a exercer uma influ\u00eancia dominante, para o fim da Idade M\u00e9dia, a ponto de ser referido simplesmente como \u201cO Fil\u00f3sofo\u201d.<\/p>\n<div id=\"attachment_12565\" style=\"width: 3830px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12565\" data-attachment-id=\"12565\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12565\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01.jpg\" data-orig-size=\"3820,2964\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Scuola di Atene, Stanza della Segnatura\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01-1024x795.jpg\" class=\"wp-image-12565 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01.jpg\" alt=\"Scuola di Atene, Stanza della Segnatura\" width=\"3820\" height=\"2964\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01.jpg 3820w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01-300x233.jpg 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01-768x596.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Sanzio_01-1024x795.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 3820px) 100vw, 3820px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12565\" class=\"wp-caption-text\">Fresco intitulado \u201cEscola de Atenas\u201d, de Rafael (princ\u00edpios do s\u00e9culo XVI). Reflete um aspeto primordial da Renascen\u00e7a, o recrudescer do interesse pela cultura cl\u00e1ssica Grega. As figuras centrais s\u00e3o Plat\u00e3o (\u00e0 esquerda, apontando para o c\u00e9u) e Arist\u00f3teles (apontando para o solo).<\/p><\/div>\n<div class=\"epyt-video-wrapper\"><iframe loading=\"lazy\"  id=\"_ytid_65080\"  width=\"480\" height=\"270\"  data-origwidth=\"480\" data-origheight=\"270\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uzTRkvHS02Q?enablejsapi=1&#038;origin=https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt&#038;autoplay=0&#038;cc_load_policy=0&#038;cc_lang_pref=&#038;iv_load_policy=1&#038;loop=0&#038;rel=1&#038;fs=1&#038;playsinline=0&#038;autohide=2&#038;hl=pt_PT&#038;theme=dark&#038;color=red&#038;controls=1&#038;disablekb=0&#038;\" class=\"__youtube_prefs__  epyt-is-override  no-lazyload\" title=\"YouTube player\"  allow=\"fullscreen; accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen data-no-lazy=\"1\" data-skipgform_ajax_framebjll=\"\"><\/iframe><\/div>\n<p style=\"text-align: center;\">Fonte do v\u00eddeo:\u00a0<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/user\/timecore\/about\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Musei Vaticani, Scuola di Atene \u2013 Raffaello Sanzio. 3D Reconstruction<\/a><\/p>\n<div id=\"Makingof-link-12596\" class=\"sh-link Makingof-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('Makingof', 12596, 'Mostrar \u00abMaking of Musei Vaticani, Scuola di Atene \u2013 Raffaello Sanzio\u00bb', 'Ocultar \u00abMaking of Musei Vaticani, Scuola di Atene \u2013 Raffaello Sanzio\u00bb'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"Makingof-toggle-12596\">Mostrar \u00abMaking of Musei Vaticani, Scuola di Atene \u2013 Raffaello Sanzio\u00bb<\/span><\/a><\/div><div id=\"Makingof-content-12596\" class=\"sh-content Makingof-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<div class=\"epyt-video-wrapper\"><iframe loading=\"lazy\"  id=\"_ytid_19216\"  width=\"480\" height=\"270\"  data-origwidth=\"480\" data-origheight=\"270\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/d8NJMXzzSr0?enablejsapi=1&#038;origin=https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt&#038;autoplay=0&#038;cc_load_policy=0&#038;cc_lang_pref=&#038;iv_load_policy=1&#038;loop=0&#038;rel=1&#038;fs=1&#038;playsinline=0&#038;autohide=2&#038;hl=pt_PT&#038;theme=dark&#038;color=red&#038;controls=1&#038;disablekb=0&#038;\" class=\"__youtube_prefs__  epyt-is-override  no-lazyload\" title=\"YouTube player\"  allow=\"fullscreen; accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen data-no-lazy=\"1\" data-skipgform_ajax_framebjll=\"\"><\/iframe><\/div>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p>Os trabalhos de Arist\u00f3teles constituem quase uma enciclop\u00e9dia do pensamento cl\u00e1ssico grego. Alguns deles parecem constituir um simples resumo do trabalho de outros, mas a maior parte deve ter sido criada pelo pr\u00f3prio Arist\u00f3teles. \u00c9 dif\u00edcil de acreditar, hoje em dia, que um \u00fanico homem pudesse estar t\u00e3o bem informado em assuntos t\u00e3o diversos como l\u00f3gica, filosofia, teologia, f\u00edsica, astronomia, biologia, psicologia, pol\u00edtica e literatura. H\u00e1 grandes especialistas que se mostram reticentes em acreditar que possa ser tudo obra de um \u00fanico homem.<\/p>\n<p>Infelizmente, as teorias f\u00edsicas aristot\u00e9licas tinham limita\u00e7\u00f5es graves (o que, evidentemente, n\u00e3o diminui em nada os seus grandes contributos noutros campos). Segundo Arist\u00f3teles, a queda de um objeto pesado em dire\u00e7\u00e3o ao centro da Terra \u00e9 um exemplo de movimento \u201cnatural\u201d. \u00c9 evidente que ele pensou que qualquer objeto, uma vez livre, atinge rapidamente um determinado valor, final, para a velocidade de queda, \u00e0 qual se continua a mover at\u00e9 ao fim da trajet\u00f3ria. Quais os fatores determinantes da velocidade final de um objeto em queda? \u00c9 f\u00e1cil de ver que uma pedra cai mais depressa que uma folha. Consequentemente, raciocinou ele, o peso \u00e9 o fator que rege a velocidade da queda. Esta conclus\u00e3o concordava com a sua ideia de que a <em>causa<\/em> do peso era a presen\u00e7a do elemento Terra, cuja tend\u00eancia natural era a de se dirigir para o centro da Terra. Portanto, quanto mais pesado fosse um objeto, isto \u00e9, quanto maior fosse o seu conte\u00fado de Terra, tanto maior seria a sua tend\u00eancia para cair para o lugar natural, desenvolvendo portanto uma maior velocidade de queda.<\/p>\n<p>Os mesmos objetos caem mais devagar atrav\u00e9s da \u00e1gua que atrav\u00e9s do ar, o que sugeriu a Arist\u00f3teles que a resist\u00eancia do meio tamb\u00e9m poderia ser um fator determinante. Outros fatores, tais como a cor ou a temperatura do objeto, tamb\u00e9m poderiam, possivelmente, influenciar o movimento de queda, mas Arist\u00f3teles decidiu que a influ\u00eancia n\u00e3o poderia ser significativa. A conclus\u00e3o foi que a velocidade de queda deveria crescer em propor\u00e7\u00e3o com o peso do objeto e decrescer em propor\u00e7\u00e3o com a for\u00e7a resistente do meio. A velocidade real de queda, em qualquer caso particular, seria obtida pelo quociente do peso pela resist\u00eancia do meio.<\/p>\n<p>Arist\u00f3teles discutiu tamb\u00e9m o movimento \u201cviolento\u201d&#8217;, isto \u00e9, qualquer movimento distinto do da desloca\u00e7\u00e3o do objeto para o seu \u201clugar natural\u201d. Tal movimento, argumentou ele, deveria ser sempre provocado por uma <em>for\u00e7a<\/em>, e a velocidade do movimento deveria crescer \u00e0 medida que a pr\u00f3pria for\u00e7a aumentasse. Quando a for\u00e7a fosse removida, o movimento deveria cessar. Esta teoria est\u00e1 de acordo com a experi\u00eancia vulgar, resultante do empurrar de uma cadeia ou de uma mesa sobre o ch\u00e3o. J\u00e1 n\u00e3o resulta t\u00e3o bem, todavia, tratando-se do movimento de objetos no ar, uma vez que tais proj\u00e9teis permanecem em movimento durante algum tempo, mesmo depois de deixar de se exercer for\u00e7a sobre eles. Para ter em conta este tipo de movimento, Arist\u00f3teles prop\u00f4s que o pr\u00f3prio ar exerceria de alguma maneira uma for\u00e7a. Que conservaria o objeto em movimento.<\/p>\n<p>Mais tarde foram propostas por cientistas algumas modifica\u00e7\u00f5es \u00e0 teoria aristot\u00e9lica do movimento. Por exemplo, no s\u00e9culo V D. C., <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Jo%C3%A3o_Filopono\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Jo\u00e3o de Alexandria<\/a> sugeriu que a velocidade de um objeto em movimento natural deveria ser obtida <em>subtraindo<\/em> a resist\u00eancia do meio do peso do objeto e n\u00e3o dividindo este pela resist\u00eancia. Jo\u00e3o de Alexandria afirmou que o trabalho experimental suportava a sua teoria. Embora n\u00e3o tivesse apresentado pormenores; disse apenas que deixara cair dois corpos, um dos quais era duas vezes mais pesado que o outro e que verificara que o corpo mais pesado n\u00e3o atingira o ch\u00e3o em metade do tempo do outro.<\/p>\n<p>Havia ainda outras dificuldades relacionadas com a teoria aristot\u00e9lica do movimento. Todavia, as limita\u00e7\u00f5es conhecidas na altura das suas li\u00e7\u00f5es, em nada diminu\u00edram a import\u00e2ncia que as universidades francesas e italianas lhes atribu\u00edram durante os s\u00e9culos XV e XVI. \u00c9 que, apesar de tudo, a teoria aristot\u00e9lica do movimento estava de acordo com a experi\u00eancia vulgar, quanto mais n\u00e3o fosse de uma maneira geral, qualitativa. Al\u00e9m disso, o estudo do movimento atrav\u00e9s do espa\u00e7o interessava primariamente apenas alguns, poucos, eruditos, tal como tinha constitu\u00eddo unicamente uma muito pequena parte do pr\u00f3prio trabalho de Arist\u00f3teles.<\/p>\n<p>Dois outros factos entravaram o caminho \u00e0s mudan\u00e7as dr\u00e1sticas, que acabaram por se verificar na teoria do movimento. Em primeiro lugar, Arist\u00f3teles acreditava que a matem\u00e1tica era uma ferramenta de pequeno valor na descri\u00e7\u00e3o dos fen\u00f3menos terrestres. Em segundo lugar ele tinha sustentado com grande \u00eanfase a import\u00e2ncia das observa\u00e7\u00f5es diretas e qualitativas como base da teoriza\u00e7\u00e3o (as observa\u00e7\u00f5es qualitativas simples tiveram grande \u00eaxito nos estudos biol\u00f3gicos levados a cabo por Arist\u00f3teles). Mas, na realidade, verificou-se que o aut\u00eantico progresso na f\u00edsica come\u00e7ou apenas quando foi reconhecido o valor da previs\u00e3o matem\u00e1tica e da medi\u00e7\u00e3o pormenorizada e rigorosa.<\/p>\n<p>Um certo n\u00famero de grandes mestres dos s\u00e9culos XV e XVI contribui para a mudan\u00e7a verificada na maneira de fazer ci\u00eancia. Mas, de todos eles, Galileu foi de longe o mais eminente e bem-sucedido. Galileu mostrou como descrever matematicamente o movimento de objetos simples e vulgares \u2013 pedras em queda e esferas rolando em planos inclinados. Este trabalho n\u00e3o abriu apenas o caminho a outros homens para que descrevessem e explicassem os movimentos de todos os corpos, desde calhaus a planetas: iniciou tamb\u00e9m uma aut\u00eantica revolu\u00e7\u00e3o intelectual que conduziu ao que hoje chamamos a ci\u00eancia moderna.<\/p>\n<\/p>\n<h6>Quest\u00e3o 1<\/h6>\n<p>Quais das afirma\u00e7\u00f5es seguintes poderiam ser aceites nos s\u00e9culos XV e XVI por aqueles que acreditavam no sistema aristot\u00e9lico de pensamento?<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: upper-alpha;\">\n<li>As ideias sobre o movimento dever\u00e3o estar de acordo com a poesia, a pol\u00edtica, a teologia e outros aspetos do pensamento e atividade humanos.<\/li>\n<li>Os corpos pesados caem mais depressa que os leves.<\/li>\n<li>Se excetuarmos o movimento em dire\u00e7\u00e3o ao \u201clugar natural\u201d, os corpos n\u00e3o dever\u00e3o mover-se exceto quando atuados \u201cviolentamente\u201d por uma for\u00e7a.<\/li>\n<li>A matem\u00e1tica e a medi\u00e7\u00e3o precisa s\u00e3o excecionalmente importantes no desenvolvimento de uma teoria do movimento.<\/li>\n<\/ol>\n<div id=\"S1-link-12596\" class=\"sh-link S1-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S1', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S1-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S1-content-12596\" class=\"sh-content S1-content sh-hide\" style=\"display: none;\">A, B e C.<\/div>\n<\/p>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_12596' onClick='GTTabs_show(0,12596)'>&lt;&lt; O Museu Galileu<\/a><\/span><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_12596' onClick='GTTabs_show(2,12596)'>Galileu descreve o movimento &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_2_12596'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>Galileu descreve o movimento<\/b><\/span><\/p>\n<h4>Galileu descreve o movimento<\/h4>\n<h5>Galileu e o seu tempo<\/h5>\n<div id=\"attachment_12566\" style=\"width: 259px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/GalileuGalilei_JustusSuttermans1636.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12566\" data-attachment-id=\"12566\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12566\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/GalileuGalilei_JustusSuttermans1636.jpg\" data-orig-size=\"663,800\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;1&quot;}\" data-image-title=\"Galileu Galilei, por Justus Suttermans 1636\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/GalileuGalilei_JustusSuttermans1636.jpg\" class=\"wp-image-12566 size-medium\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/GalileuGalilei_JustusSuttermans1636-249x300.jpg\" alt=\"Galileu Galilei, por Justus Suttermans 1636\" width=\"249\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/GalileuGalilei_JustusSuttermans1636-249x300.jpg 249w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/GalileuGalilei_JustusSuttermans1636.jpg 663w\" sizes=\"auto, (max-width: 249px) 100vw, 249px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12566\" class=\"wp-caption-text\">Retrato de Galileu Galilei.<\/p><\/div>\n<p>\u00d3leo sobre tela por Justus Sustermans. Pintado em 1636 e oferecido por Galileu a um amigo em Paris. Mais tarde fez parte da cole\u00e7\u00e3o de Ferdimnado II de Medici; na Galeria degli Uffizi, Firenze, desde 1678.<\/p>\n<p>Galileu Galilei nasceu em Pisa em 1564 \u2013 o ano da morte de <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Michelangelo\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Miguel \u00c2ngelo<\/a> e do nascimento de <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/William_Shakespeare\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Shakespeare<\/a>. Filho de um nobre florentino, herdou do pai um ativo interesse pela poesia, pela m\u00fasica e pelos cl\u00e1ssicos. O seu esp\u00edrito cient\u00edfico e inventivo come\u00e7ou cedo a manifestar-se. Por exemplo, ainda jovem estudante de medicina na Universidade de Pisa, construiu um maquinismo simples de medi\u00e7\u00e3o do tempo, do tipo do p\u00eandulo, para uma medida mais precisa da pulsa\u00e7\u00e3o dos pacientes.<\/p>\n<p>Desviado da medicina e atra\u00eddo para a f\u00edsica pela leitura dos trabalhos de <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Euclides\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Euclides<\/a> e <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Arquimedes\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Arquimedes<\/a>, Galileu tomou-se rapidamente conhecido pela sua invulgar capacidade para a ci\u00eancia. Com a idade de 26 anos foi designado Professor de Matem\u00e1tica em Pisa. A\u00ed mostrou uma not\u00e1vel independ\u00eancia de pensamento, n\u00e3o amadurecida pelo tato ou pela paci\u00eancia. Pouco depois de ser designado para o cargo, come\u00e7ou a desafiar e criticar as opini\u00f5es dos seus colegas mais velhos, muitos dos quais se tornaram seus inimigos. Abandonou Pisa antes de terminar as suas fun\u00e7\u00f5es, aparentemente for\u00e7ado por dificuldades financeiras e pelos seus encarni\u00e7ados opositores. Mais tarde, em P\u00e1dua, na Rep\u00fablica de Veneza, come\u00e7ou a trabalhar em astronomia. A sua defesa da teoria helioc\u00eantrica do universo trouxe-lhe eventualmente novos inimigos, mas deu-lhe tamb\u00e9m uma fama imortal.<\/p>\n<p>De regresso \u00e0 prov\u00edncia natal da Tosc\u00e2nia em 1610, por generosa oferta do Gr\u00e3o-Duque, Galileu tomou-se Fil\u00f3sofo e Matem\u00e1tico da Corte, t\u00edtulo escolhido por ele pr\u00f3prio. De ent\u00e3o at\u00e9 \u00e0 morte, com 78 anos, continuou a investigar, a ensinar e a escrever, a despeito de doen\u00e7as, de problemas familiares, de ocasionais dificuldades econ\u00f3micas e de discuss\u00f5es e lutas com os inimigos.<\/p>\n<\/p>\n<h5><em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>, de Galileu<\/h5>\n<div id=\"attachment_12559\" style=\"width: 310px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12559\" data-attachment-id=\"12559\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12559\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1.jpg\" data-orig-size=\"870,1191\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Discorsi-pag1\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1-748x1024.jpg\" class=\"wp-image-12559\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1-219x300.jpg\" alt=\"Discorsi-pag1\" width=\"300\" height=\"411\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1-219x300.jpg 219w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1-768x1051.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1-748x1024.jpg 748w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag1.jpg 870w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12559\" class=\"wp-caption-text\">Primeira p\u00e1gina de Discursos e Demonstra\u00e7\u00f5es Matem\u00e1ticas Relativas a Duas Novas Ci\u00eancias Pertencentes \u00e0 Mec\u00e2nica e ao Movimento Local (1638).<\/p><\/div>\n<p>Os primeiros escritos de Galileu sobre mec\u00e2nica (o estudo do comportamento da mat\u00e9ria sob a influ\u00eancia de for\u00e7as) integravam-se na tradi\u00e7\u00e3o das teorias f\u00edsicas medievais t\u00edpicas, embora ele estivesse consciente das limita\u00e7\u00f5es dessas teorias. Durante a sua maturidade, o seu principal interesse centrou-se na astronomia. Todavia, quando a <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Inquisi%C3%A7%C3%A3o_romana\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Inquisi\u00e7\u00e3o Cat\u00f3lica Romana<\/a> condenou o seu importante livro sobre astronomia, <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Dialogue_Concerning_the_Two_Chief_World_Systems\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Di\u00e1logo Sobre os Dois Grandes Sistemas Universais<\/em><\/a> (1632) e o proibiu de ensinar a \u201cnova\u201d astronomia, Galileu decidiu concentrar-se novamente na mec\u00e2nica. O seu trabalho conduziu ao livro <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Two_New_Sciences\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Discursos e Demonstra\u00e7\u00f5es Matem\u00e1ticas Relativas a Duas Novas Ci\u00eancias Pertencentes \u00e0 Mec\u00e2nica e ao Movimento Local<\/em><\/a> (1638), vulgarmente referido pelo nome de <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>. Este trabalho assinalou o come\u00e7o do fim n\u00e3o s\u00f3 da teoria medieval da mec\u00e2nica, mas tamb\u00e9m de toda a cosmologia aristot\u00e9lica que suportava.<\/p>\n<p>Galileu estava velho, doente e quase cego quando escreveu <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>. Todavia, como em todos os seus escritos, o seu estilo \u00e9 m\u00e1gico e maravilhoso. Utilizou o di\u00e1logo para conseguir apresentar uma conversa\u00e7\u00e3o \u201dviva\u201d entre tr\u00eas oradores: <em>Simpl\u00edcio<\/em>, o competente representante do ponto de vista aristot\u00e9lico: <em>Salviatti<\/em>, o apresentador das novas ideias de Galileu: e <em>Sagredo<\/em>, o personagem intelectualmente n\u00e3o comprometido, de boa vontade e esp\u00edrito aberto, ansioso por aprender. Naturalmente, como seria de esperar, Salviatti dirige os seus companheiros at\u00e9 \u00e0s ideias de Galileu.<\/p>\n<\/p>\n<h5>O problema da queda livre<\/h5>\n<p>Ou\u00e7amos os tr\u00eas oradores de Galileu a discutirem o problema da queda livre:<\/p>\n<blockquote>\n<p><em>Salviatti<\/em>: Tenho s\u00e9rias d\u00favidas que Arist\u00f3teles tenha alguma vez verificado experimentalmente se \u00e9 verdade que duas pedras, deixadas cair de uma mesma altura de, digamos, 100 c\u00fabitos, e uma delas pesando 10 vezes mais que a outra, adquirissem velocidades t\u00e3o diferentes que, quando a mais pesada tocasse o solo, a mais leve n\u00e3o tivesse sen\u00e3o ca\u00eddo de 10 c\u00fabitos. [1 \u201cc\u00fabito\u201d mede cerca de 50 cm].<\/p>\n<p><em>Simpl\u00edcio<\/em>: As suas palavras indicariam que ele teria tentado a experi\u00eancia, pois ele diz: \u201cN\u00f3s vemos a mais pesada\u201d; ora a palavra \u201cvemos\u201d mostra que ele realmente fez a experi\u00eancia.<\/p>\n<p><em>Sagredo<\/em>: Mas, Simpl\u00edcio, eu que fiz a experi\u00eancia posso garantir que uma bala de canh\u00e3o, pesando uma ou duas centenas de libras ou mesmo mais, n\u00e3o tocar\u00e1 o ch\u00e3o com mais do que uma m\u00e3o-travessa de avan\u00e7o de uma bala de mosquete, pesando apenas meia libra, desde que ambas tenham sido largadas de uma altura de 200 c\u00fabitos. [Uma libra equivale a 453,6 gramas].<\/p>\n<\/blockquote>\n<div id=\"attachment_12560\" style=\"width: 310px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12560\" data-attachment-id=\"12560\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12560\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63.jpg\" data-orig-size=\"812,1179\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Discorsi-pag63\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63-705x1024.jpg\" class=\"wp-image-12560\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63-207x300.jpg\" alt=\"Discorsi-pag63\" width=\"300\" height=\"436\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63-207x300.jpg 207w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63-768x1115.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63-705x1024.jpg 705w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Discorsi-pag63.jpg 812w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12560\" class=\"wp-caption-text\">Uma p\u00e1gina da edi\u00e7\u00e3o original italiana de Duas Novas Ci\u00eancias, mostrando as passagens que est\u00e3o traduzidas no texto.<\/p><\/div>\n<p>Poder-se-ia esperar que houvesse aqui uma refer\u00eancia pormenorizada a uma experi\u00eancia realizada por Galileu ou por algum dos seus colegas. Em vez disso, Galileu usa uma \u201cexperi\u00eancia pensada\u201d \u2013 uma an\u00e1lise do que deveria acontecer numa experi\u00eancia imagin\u00e1ria para lan\u00e7ar uma grave obje\u00e7\u00e3o sobre a teoria do movimento de Arist\u00f3teles:<\/p>\n<blockquote>\n<p><em>Salviatti<\/em>: Mas, mesmo sem qualquer outra experi\u00eancia, \u00e9 poss\u00edvel provar claramente, por meio de um argumento curto e concludente, que um corpo mais pesado que outro n\u00e3o se move mais rapidamente que este, desde que ambos sejam do mesmo material e, em resumo, tais como os mencionados por Arist\u00f3teles. Mas diz-me, Simpl\u00edcio, se admites que cada corpo em queda adquire um valor definitivo de velocidade, fixado pela natureza, uma velocidade que n\u00e3o pode ser aumentada ou diminu\u00edda exceto pelo uso de uma viol\u00eancia ou de uma resist\u00eancia?<\/p>\n<p><em>Simpl\u00edcio<\/em>: N\u00e3o poder\u00e1 existir qualquer d\u00favida de que um corpo, movendo-se num meio simples, tem uma velocidade fixa determinada pela natureza, que n\u00e3o pode ser aumentada sen\u00e3o pela adi\u00e7\u00e3o de \u00edmpeto ou diminu\u00edda sen\u00e3o por alguma resist\u00eancia que o trave.<\/p>\n<p><em>Salviatti<\/em>: Se tomarmos ent\u00e3o dois corpos de velocidades diferentes \u00e9 evidente que, ao uni-los, o mais r\u00e1pido ser\u00e1 parcialmente retardado pelo mais lento e que o mais lento ser\u00e1 de alguma maneira apressado pelo outro. N\u00e3o concordas comigo?<\/p>\n<p><em>Simpl\u00edcio<\/em>: Sem d\u00favida.<\/p>\n<p><em>Salviatti<\/em>: Mas se isto for verdade e se uma pedra bem grande se move com uma velocidade de, digamos, oito, enquanto que uma outra mais pequena se move com uma velocidade de quatro, ent\u00e3o quando as duas estiverem unidas o sistema mover-se-\u00e1 a uma velocidade menor que oito; mas as duas pedras juntas formam uma pedra maior que a que se movia antes com a velocidade de oito. Consequentemente, o corpo mais pesado move-se mais devagar que o mais leve, um efeito que \u00e9 contr\u00e1rio \u00e0quilo que sup\u00f5es. V\u00eas assim como, a partir da tua suposi\u00e7\u00e3o de que o corpo mais pesado se move mais rapidamente que o mais leve, posso concluir que o corpo mais pesado se move mais lentamente.<\/p>\n<p><em>Simpl\u00edcio<\/em>: N\u00e3o sei que dizer&#8230; Isso est\u00e1, na verdade, para l\u00e1 da minha compreens\u00e3o.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Simpl\u00edcio mostra-se confundido quando Salvatti lhe mostra que a teoria aristot\u00e9lica sobre a queda dos corpos \u00e9 autocontradit\u00f3ria. Mas embora Simpl\u00edcio n\u00e3o consiga refutar a l\u00f3gica de Galileu, os seus olhos mostram-lhe que um objeto pesado cai realmente mais depressa que um objeto leve:<\/p>\n<blockquote>\n<p><em>Simpl\u00edcio<\/em>: O teu argumento \u00e9 realmente admir\u00e1vel, mas mesmo assim n\u00e3o me parece f\u00e1cil de acreditar que um pequeno gr\u00e3o de chumbo caia t\u00e3o velozmente como uma bala de canh\u00e3o.<\/p>\n<p><em>Salviatti<\/em>: Por que n\u00e3o dizer o mesmo de um gr\u00e3o de areia e de uma m\u00f3? Mas, Simpl\u00edcio, acredito que n\u00e3o seguir\u00e1s o exemplo de muitos outros que desviam a discuss\u00e3o da sua principal finalidade, atirando-se a qualquer afirma\u00e7\u00e3o minha que se afaste da verdade apenas pela espessura de um cabelo e escondendo atr\u00e1s desse cabelo o erro de um outro, t\u00e3o grosso como o cabo de um navio. Arist\u00f3teles afirma que \u201cuma esfera de ferro de uma centena de libras de peso largada da altura de 100 c\u00fabitos atinge o ch\u00e3o antes que uma outra esfera de uma libra de peso tenha ca\u00eddo um simples c\u00fabito\u201d. Eu afirmo que elas chegam ao ch\u00e3o ao mesmo tempo. Ao fazeres a experi\u00eancia, verificas que a esfera mais pesada ganha sobre a outra apenas um avan\u00e7o igual \u00e0 espessura de dois dedos&#8230; N\u00e3o ir\u00e1s agora esconder por detr\u00e1s desses dois dedos os 99 c\u00fabitos de Arist\u00f3teles, nem mencionar\u00e1s o meu pequeno erro, passando em sil\u00eancio sobre o seu erro enorme.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Eis uma afirma\u00e7\u00e3o clara de um importante princ\u00edpio: mesmo numa cuidadosa observa\u00e7\u00e3o de um acontecimento natural vulgar, a aten\u00e7\u00e3o do observador poder\u00e1 ser atra\u00edda pelo que \u00e9 na realidade um pequeno efeito, trazendo como consequ\u00eancia a n\u00e3o observa\u00e7\u00e3o de uma regularidade muito mais importante. Diferentes corpos caindo atrav\u00e9s do ar de uma mesma altura, efetivamente, <em>n\u00e3o<\/em> atingem o ch\u00e3o exatamente no mesmo instante. Todavia, o ponto importante n\u00e3o \u00e9 o facto de que os instantes de chegada <em>s\u00e3o ligeiramente diferentes<\/em>, mas o de que eles <em>s\u00e3o muito aproximadamente os mesmos<\/em>! Galileu encara o facto de os corpos n\u00e3o chegarem exatamente ao mesmo tempo como um efeito menor, que poderia ser explicado por uma compreens\u00e3o mais profunda do movimento em queda livre. O pr\u00f3prio Galileu atribui, corretamente, os resultados observados a diferen\u00e7as no efeito da resist\u00eancia do ar ao movimento de corpos com diferentes dimens\u00f5es e pesos. Alguns anos ap\u00f3s a morte de Galileu, a inven\u00e7\u00e3o da bomba de v\u00e1cuo permitiu que outros mostrassem que Galileu tinha raz\u00e3o. Eliminado o feito da resist\u00eancia do ar \u2013 por exemplo, quando uma pena e uma pesada moeda de ouro s\u00e3o largadas da mesma altura e ao mesmo tempo no interior de um reservat\u00f3rio em que previamente se fez vazio \u2013 corpos diferentes caem \u00e0 mesma velocidade e atingem o fundo do reservat\u00f3rio ao mesmo tempo. S\u00f3 muito depois de Galileu foi poss\u00edvel formular as leis da resist\u00eancia do ar, que levaram \u00e0 compreens\u00e3o de quando e por quanto \u00e9 menor a velocidade de um corpo leve do que a de um outro mais pesado.<\/p>\n<div id=\"attachment_12581\" style=\"width: 220px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/DuasEsferas_b.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12581\" data-attachment-id=\"12581\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12581\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/DuasEsferas_b.jpg\" data-orig-size=\"210,610\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"DuasEsferas_b\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"&lt;p&gt;Uma fotografia estrobosc\u00f3pica de duas esferas de pesos diferentes em queda livre. As duas esferas foram largadas simultaneamente. O intervalo de tempo entre duas imagens sucessivas \u00e9 de 1\/30 segundo.&lt;\/p&gt;\n\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/DuasEsferas_b.jpg\" class=\"size-full wp-image-12581\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/DuasEsferas_b.jpg\" alt=\"Uma fotografia estrobosc\u00f3pica de duas esferas de pesos diferentes em queda livre. As duas esferas foram largadas simultaneamente. O intervalo de tempo entre duas imagens sucessivas \u00e9 de 1\/30 segundo.\" width=\"210\" height=\"610\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/DuasEsferas_b.jpg 210w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/DuasEsferas_b-103x300.jpg 103w\" sizes=\"auto, (max-width: 210px) 100vw, 210px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12581\" class=\"wp-caption-text\">Uma fotografia estrobosc\u00f3pica de duas esferas de pesos diferentes em queda livre. As duas esferas foram largadas simultaneamente. O intervalo de tempo entre duas imagens sucessivas \u00e9 de 1\/30 segundo.<\/p><\/div>\n<p>Aprender o que se deve ignorar foi quase t\u00e3o importante para o desenvolvimento da ci\u00eancia como aprender o que se deve considerar. No caso da queda dos corpos, a explica\u00e7\u00e3o de Galileu dependeu do facto de ele ser capaz de imaginar como cairia um objeto se n\u00e3o existisse resist\u00eancia do ar. Isto pode ser f\u00e1cil para n\u00f3s, conhecedores das bombas de v\u00e1cuo, mas tratava-se de uma explica\u00e7\u00e3o dif\u00edcil de aceitar no tempo de Galileu. Para a maior parte das pessoas, tal como para Arist\u00f3teles, o mero senso comum indicava que a resist\u00eancia do ar estava sempre presente na natureza. Consequentemente, uma pena e uma moeda nunca poderiam cair \u00e0 mesma velocidade. Para qu\u00ea falar de hipot\u00e9ticos movimentos no v\u00e1cuo, se nem se podia mostrar que tal v\u00e1cuo existia? A f\u00edsica, assim como o disseram Arist\u00f3teles e os seus seguidores, dever\u00e1 preocupar-se com o mundo \u00e0 nossa volta, com aquilo que podemos observar e n\u00e3o com uma esp\u00e9cie de mundo imagin\u00e1rio que poder\u00e1 nunca ser encontrado.<\/p>\n<p>A f\u00edsica aristot\u00e9lica tinha dominado a Europa a partir do s\u00e9culo XIII, em grande parte porque muitos cientistas inteligentes estavam convencidos de que ela oferecia o m\u00e9todo mais racional para a descri\u00e7\u00e3o dos fen\u00f3menos naturais. Vencer uma doutrina t\u00e3o firmemente estabelecida exigiu muito mais do que a escrita de argumentos razo\u00e1veis ou do que largar objetos leves e pesados do cimo de um alto edif\u00edcio, como se diz muitas vezes que foi feito por Galileu (e que provavelmente n\u00e3o corresponde \u00e0 verdade) do cimo da Torre inclinada de Pisa. Foi necess\u00e1ria a invulgar combina\u00e7\u00e3o de talento matem\u00e1tico, habilidade experimental, estilo liter\u00e1rio e pertin\u00e1cia infatig\u00e1vel de Galileu para desacreditar as teorias de Arist\u00f3teles e para iniciar a era da f\u00edsica moderna.<\/p>\n<p>Uma raz\u00e3o b\u00e1sica para o \u00eaxito de Galileu foi a de que este exp\u00f4s precisamente o ponto mais fraco da teoria aristot\u00e9lica, ao mostrar que a f\u00edsica poder\u00e1 tratar melhor os fen\u00f3menos se compreendermos que o mundo das observa\u00e7\u00f5es \u00e0 nossa volta n\u00e3o \u00e9 o ponto de partida simples que os aristot\u00e9licos pensavam ser. Pelo contr\u00e1rio, o mundo que observamos vulgarmente \u00e9 quase sempre muito complexo. Por exemplo, ao observar-se a queda dos corpos podem-se ver os efeitos quer da lei da queda quer da lei da resist\u00eancia sobre os objetos que se movem atrav\u00e9s do ar. Para se compreender o que se observa dever\u00e1 come\u00e7ar-se por um caso simples (tal como o da queda sem resist\u00eancia), mesmo que isto tenha de ser \u201cvisto\u201d apenas na mente do observador ou atrav\u00e9s de um modelo matem\u00e1tico. Ou poder\u00e1 recorrer-se a uma experi\u00eancia no laborat\u00f3rio, onde as condi\u00e7\u00f5es vulgares de observa\u00e7\u00e3o podem ser alteradas. S\u00f3 depois de se compreender cada um dos diferentes efeitos por si s\u00f3 se dever\u00e3o encarar as complexidades de conjunto constitu\u00eddo pelo caso ordin\u00e1rio.<\/p>\n<\/p>\n<div class=\"video-container\"><span class=\"embed-youtube\" style=\"text-align:center; display: block;\"><iframe loading=\"lazy\" class=\"youtube-player\" width=\"640\" height=\"360\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/E43-CfukEgs?version=3&#038;rel=1&#038;showsearch=0&#038;showinfo=1&#038;iv_load_policy=1&#038;fs=1&#038;hl=pt-PT&#038;autohide=2&#038;wmode=transparent\" allowfullscreen=\"true\" style=\"border:0;\" sandbox=\"allow-scripts allow-same-origin allow-popups allow-presentation allow-popups-to-escape-sandbox\"><\/iframe><\/span><\/div>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Brian_Cox_(physicist)\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Brian Cox<\/a> visita NASA\u2019s <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Space_Power_Facility\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Space Power Facility<\/a>,\u00a0em Ohio, para ver o que\u00a0acontece<br \/>\nquando uma bola de b\u00f3lingue e uma pena s\u00e3o deixadas cair\u00a0juntas numa c\u00e2mara de v\u00e1cuo.<br \/>\n<span style=\"color: #808080;\">(N\u00e3o esquecer de apreciar o belo sorriso de uma crian\u00e7a!)<\/span><\/p>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 2<\/strong><\/h6>\n<p>Se um prego e um palito forem simultaneamente deixados cair da mesma altura, n\u00e3o tocam o ch\u00e3o exatamente no mesmo instante (Experimente-se com estes objetos ou outros semelhantes). Como explicaria este facto a teoria aristot\u00e9lica? Qual seria a explica\u00e7\u00e3o de Galileu?<\/p>\n<div id=\"S2-link-12596\" class=\"sh-link S2-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S2', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S2-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S2-content-12596\" class=\"sh-content S2-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<p><em>Arist\u00f3teles<\/em>: o prego \u00e9 mais pesado que o palito; por isso cai mais depressa.<br \/>\n<em>Galileu<\/em>: a resist\u00eancia do ar afeta mais o movimento do palito que o do prego.<\/p>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<h5>Por que se estuda o movimento de queda livre dos corpos?<\/h5>\n<p>Poucos pormenores eram realmente novos no ataque de Galileu \u00e0 cosmologia aristot\u00e9lica. Todavia, os seus estudos e as suas descobertas constitu\u00edram o primeiro desenvolvimento coerente da ci\u00eancia do movimento. Galileu apercebeu-se de que, de todos os movimentos observ\u00e1veis na natureza, o de queda livre era a chave da compreens\u00e3o de todos os movimentos dos corpos. O golpe de g\u00e9nio manifestou-se na decis\u00e3o de <em>qual<\/em> o fen\u00f3meno-chave a estudar. Mas Galileu \u00e9 tamb\u00e9m, em muitos aspetos, um exemplo t\u00edpico dos cientistas em geral. Os seus estudos sobre o problema do movimento s\u00e3o um bom exemplo a ser usado na discuss\u00e3o da estrat\u00e9gia a seguir na investiga\u00e7\u00e3o, que ainda hoje \u00e9 usada em ci\u00eancia.<\/p>\n<p>Estas s\u00e3o algumas das raz\u00f5es que justificam o estudo pormenorizado do trabalho de Galileu sobre o problema da queda livre. O pr\u00f3prio Galileu viu ainda uma outra raz\u00e3o \u2013 que o estudo que ele se propunha fazer sobre o movimento era apenas o primeiro passo num campo cient\u00edfico desconhecido e tremendamente rico:<\/p>\n<blockquote>\n<p>O meu objetivo \u00e9 expor uma ci\u00eancia completamente nova, tratando de um assunto muito antigo. N\u00e3o haver\u00e1 talvez na natureza nada de mais antigo que o movimento, a respeito do qual os livros escritos pelos fil\u00f3sofos n\u00e3o s\u00e3o nem escassos nem pequenos; todavia, descobri algumas propriedades importantes que n\u00e3o foram at\u00e9 agora nem observadas nem demonstradas. Foram j\u00e1 feitas algumas observa\u00e7\u00f5es superficiais como, por exemplo, que o movimento natural de um corpo pesado em queda \u00e9 continuamente acelerado, mas ainda n\u00e3o foi indicado at\u00e9 que ponto ocorre esta acelera\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<p>Consegui tamb\u00e9m provar outros factos, n\u00e3o escassos em n\u00famero nem em import\u00e2ncia; e, o que considero mais importante, abrirem-se para esta vasta e excelente ci\u00eancia, da qual o meu trabalho n\u00e3o passa de um pr\u00f3logo, caminhos e dire\u00e7\u00f5es, que outras mentes mais valiosas que a minha explorar\u00e3o at\u00e9 \u00e0s mais rec\u00f4nditas fronteiras.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Na verdade, j\u00e1 muito antes de Galileu se tinha passado da fase de mera \u00abobserva\u00e7\u00e3o superficial\u00bb. Por exemplo, Nicolas Oresme e outros, da Universidade de Paris, descobriram em 1330 a mesma rela\u00e7\u00e3o dist\u00e2ncia-tempo para os corpos em queda que Galileu anunciava em <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>.<\/p>\n<div id=\"D1-link-12596\" class=\"sh-link D1-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('D1', 12596, 'Mostrar Desafio 1', 'Ocultar Desafio 1'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"D1-toggle-12596\">Mostrar Desafio 1<\/span><\/a><\/div><div id=\"D1-content-12596\" class=\"sh-content D1-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h6>Desafio 1<\/h6>\n<p>Houve muitos trabalhos que antecederam o de Galileu, no que diz respeito ao movimento. No per\u00edodo de 1280 a 1340, matem\u00e1ticos de Merton College, em Oxford, meditaram cuidadosamente sobre diversas grandezas que variavam com o tempo. Um teorema geral, conhecido por \u201cTeorema de Merton\u201d ou \u201cRegra da Velocidade M\u00e9dia\u201d, resume um resultado que se mostrou de grande import\u00e2ncia.<\/p>\n<p>Este teorema, que pode ser aplicado ao movimento com acelera\u00e7\u00e3o uniforme, \u00e9 expresso em termos simples da seguinte maneira: <em>a\u00a0dist\u00e2ncia percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, \u00e9 igual \u00e0 dist\u00e2ncia que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia durante esse tempo<\/em>.<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-alpha;\">\n<li>Mostre que a dist\u00e2ncia total percorrida a velocidade constante pode ser expressa pela \u00e1rea abaixo da linha desenhada num gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo (A \u201c\u00e1rea\u201d deve ser calculada em unidades de velocidade x unidades de tempo).<\/li>\n<li>Suponha que esta \u00e1rea representa a dist\u00e2ncia total percorrida, mesmo quando a velocidade n\u00e3o \u00e9 constante.<br \/>\nDesenhe um gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo, para uma velocidade que cres\u00e7a uniformemente, e trace a \u00e1rea abaixo da linha desenhada.<\/li>\n<li>Prove o \u201cTeorema de Merton\u201d, mostrando que a \u00e1rea obtida \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea abaixo de uma linha de velocidade constante, em que esta seja igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia.<\/li>\n<\/ol>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<h5>Galileu escolhe uma defini\u00e7\u00e3o de acelera\u00e7\u00e3o uniforme<\/h5>\n<p>A obra<em>\u00a0Duas Novas Ci\u00eancias<\/em> trata diretamente do movimento dos corpos em queda livre. Ao estudar os pr\u00f3ximos par\u00e1grafos, deveremos ter sempre em aten\u00e7\u00e3o a finalidade proposta por Galileu. Em primeiro lugar, ele discute a matem\u00e1tica de um tipo de movimento simples e poss\u00edvel (a que chamamos hoje de acelera\u00e7\u00e3o uniforme ou constante). Depois ele prop\u00f5e (ou admite) que os corpos pesados caem na realidade exatamente dessa maneira. Em seguida, tomando como base essa hip\u00f3tese, obt\u00e9m um certo n\u00famero de previs\u00f5es em rela\u00e7\u00e3o ao movimento de esferas rolando sobre um plano inclinado. Finalmente, mostra que a experi\u00eancia est\u00e1 de acordo com aquelas previs\u00f5es.<\/p>\n<p>A primeira parte do trabalho de Galileu \u00e9 uma completa discuss\u00e3o do movimento com velocidade constante. Essa discuss\u00e3o conduz \u00e0 segunda parte, onde se pode encontrar Salviatti a dizer:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Passamos agora ao&#8230; movimento naturalmente acelerado. Tal como \u00e9 o efetuado pelos corpos pesados em queda.<\/p>\n<p>&#8230; no estudo do movimento naturalmente acelerado somos levados a usar apenas os m\u00e9todos mais comuns, mais simples e f\u00e1ceis, seguindo o m\u00e9todo da pr\u00f3pria natureza, em todos os seus v\u00e1rios processos.<\/p>\n<p>Quando, portanto, observo uma pedra, inicialmente em repouso, cair de uma posi\u00e7\u00e3o elevada e adquirir constantemente novos incrementos na sua velocidade, por que n\u00e3o deverei acreditar que tais acr\u00e9scimos t\u00eam lugar de uma maneira extremamente simples e \u00f3bvia para toda a gente? Se examinarmos o problema cuidadosamente descobriremos que o processo de incrementa\u00e7\u00e3o mais simples \u00e9 o que se obt\u00e9m pela adi\u00e7\u00e3o repetida de uma mesma parcela, sempre da mesma maneira. Compreenderemos isto imediatamente ao considerar a rela\u00e7\u00e3o \u00edntima que existe entre o tempo e o movimento; assim como a uniformidade do movimento \u00e9 definida e concebida na base de tempos iguais e de espa\u00e7os iguais (chamamos uniforme ao movimento em que em intervalos de tempo iguais se percorrem dist\u00e2ncias iguais), de uma maneira semelhante podemos conceber que os acr\u00e9scimos de velocidade t\u00eam lugar a intervalos de tempo iguais, sem mais complica\u00e7\u00e3o&#8230;<\/p>\n<p>Consequentemente, a defini\u00e7\u00e3o do movimento que estamos a estudar pode ser feita do seguinte modo:<\/p>\n<p><strong><em>Um movimento \u00e9 dito uniformemente acelerado quando, partindo do repouso, o corpo adquire iguais incrementos na velocidade em intervalos de tempo iguais.<\/em><\/strong><\/p>\n<p>Sagredo: Embora n\u00e3o possa opor uma obje\u00e7\u00e3o racional a esta ou a qualquer outra defini\u00e7\u00e3o, apresentada seja por quem for, j\u00e1 que todas as defini\u00e7\u00f5es s\u00e3o arbitr\u00e1rias, sinto-me todavia autorizado a duvidar se uma defini\u00e7\u00e3o como essa, estabelecida de uma maneira abstrata, corresponde e descreve o tipo do movimento acelerado que encontramos na natureza no caso de corpos em queda livre&#8230;<\/p>\n<\/blockquote>\n<div id=\"D2-link-12596\" class=\"sh-link D2-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('D2', 12596, 'Mostrar Desafio 2', 'Ocultar Desafio 2'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"D2-toggle-12596\">Mostrar Desafio 2<\/span><\/a><\/div><div id=\"D2-content-12596\" class=\"sh-content D2-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h6>Desafio 2<\/h6>\n<p>Em <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>, afirma Galileu: \u201c\u2026tanto quanto se saiba ainda ningu\u00e9m tinha verificado que as dist\u00e2ncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os n\u00fameros \u00edmpares come\u00e7ando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7\u2026) \u2026\u201d.<\/p>\n<p>A \u00e1rea abaixo do gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo representa a dist\u00e2ncia percorrida durante um dado intervalo de tempo. Utilizando esse facto, prove que as dist\u00e2ncias de queda de um objeto, em sucessivos intervalos de tempo, est\u00e3o entre si como os quocientes dos n\u00fameros \u00edmpares.<\/p>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p>Eis que Sagredo se interroga sobre se a defini\u00e7\u00e3o arbitr\u00e1ria que Galileu d\u00e1 de acelera\u00e7\u00e3o corresponder\u00e1 \u00e0 maneira como caem os objetos reais. Ser\u00e1 a acelera\u00e7\u00e3o, tal como a definida, realmente \u00fatil na descri\u00e7\u00e3o do fen\u00f3meno natural? Sagredo levanta tamb\u00e9m uma outra quest\u00e3o, ainda n\u00e3o discutida por Galileu:<\/p>\n<blockquote>\n<p>A partir dessas considera\u00e7\u00f5es talvez se possa obter uma resposta a uma pergunta j\u00e1 abordada pelos fil\u00f3sofos, a de qual ser\u00e1 a <em>causa<\/em> da acelera\u00e7\u00e3o do movimento natural dos corpos pesados&#8230;<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Mas Salviatti, o porta-voz de Galileu, rejeita a tend\u00eancia cl\u00e1ssica de investigar os fen\u00f3menos olhando para as suas causas. Ser\u00e1 prematuro, diz ele, investigar a causa de um movimento antes de se obter uma descri\u00e7\u00e3o precisa do fen\u00f3meno:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Salviatti: N\u00e3o parece ser esta a altura mais apropriada para se investigar a causa da acelera\u00e7\u00e3o do movimento natural, em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 qual os fil\u00f3sofos emitiram j\u00e1 diversas opini\u00f5es, alguns explicando-a pela atra\u00e7\u00e3o para o centro, outros pela repuls\u00e3o entre partes muito pequenas do corpo e outros ainda atribuindo-a a uma certa press\u00e3o do meio que, fechando-se por cima do corpo em queda, o empurraria de uma posi\u00e7\u00e3o para a seguinte. \u00c9 evidente que todas estas fantasias e outras mais dever\u00e3o ser examinadas, mas n\u00e3o vale realmente a pena. O \u00fanico prop\u00f3sito do nosso Autor, neste momento, \u00e9 o de investigar e demonstrar algumas das propriedades do movimento acelerado, qualquer que seja a causa dessa acelera\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Galileu introduziu duas proposi\u00e7\u00f5es distintas:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-roman;\">\n<li>acelera\u00e7\u00e3o \u201cuniforme\u201d significa iguais incrementos de velocidade, \\(\\Delta v\\), em iguais intervalos de tempo, \\(\\Delta t\\);<\/li>\n<li>a queda dos corpos obedece realmente a essa hip\u00f3tese.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Olhemos com mais aten\u00e7\u00e3o a defini\u00e7\u00e3o proposta por Galileu.<\/p>\n<p>Ser\u00e1 a \u00fanica maneira de definir a acelera\u00e7\u00e3o uniforme? De modo algum! O pr\u00f3prio Galileu afirma ter pensado que poderia ser mais \u00fatil definir o termo acelera\u00e7\u00e3o uniforme em rela\u00e7\u00e3o a um movimento no qual a velocidade aumentasse proporcionalmente \u00e0 dist\u00e2ncia percorrida, \\(\\Delta d\\), em vez de ser proporcionalmente ao tempo, \\(\\Delta t\\). Note-se que ambas as defini\u00e7\u00f5es satisfazem ao requisito de simplicidade exigido por Galileu. (Na verdade ambas as defini\u00e7\u00f5es tinham sido discutidas desde o in\u00edcio do s\u00e9culo XIV.) Al\u00e9m disso, ambas as defini\u00e7\u00f5es parecem enquadrar-se igualmente bem dentro da no\u00e7\u00e3o comum de acelera\u00e7\u00e3o. Quando dizemos que um corpo est\u00e1 \u201ca acelerar\u201d, tanto podemos querer dizer que \u201cquanto mais longe est\u00e1, mais depressa anda\u201d como \u201cquanto mais tempo passa mais depressa anda\u201d. Como escolher entre estas duas possibilidades? Qual ser\u00e1 a defini\u00e7\u00e3o mais \u00fatil para a descri\u00e7\u00e3o da natureza?<\/p>\n<p>\u00c9 aqui que a experi\u00eancia se torna importante. Galileu prefere definir a acelera\u00e7\u00e3o uniforme como a do movimento no qual a varia\u00e7\u00e3o de velocidade, \\(\\Delta v\\), \u00e9 proporcional ao tempo decorrido, \\(\\Delta t\\), e demonstra em seguida que esta defini\u00e7\u00e3o est\u00e1 de acordo com o comportamento de corpos reais em movimento, tanto no laborat\u00f3rio como na experi\u00eancia vulgar e direta, digamos \u201cn\u00e3o preparada\u201d. Como se ver\u00e1 mais adiante, a escolha foi correta. Mas ver-se-\u00e1 tamb\u00e9m que Galileu n\u00e3o conseguiu provar a sua hip\u00f3tese por meios \u00f3bvios ou diretos.<\/p>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 3<\/strong><\/h6>\n<p>Descreva velocidade uniforme, sem se referir a fotografias estrobosc\u00f3picas, ou a qualquer objeto ou t\u00e9cnica de medida em particular.<\/p>\n<div id=\"S3-link-12596\" class=\"sh-link S3-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S3', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S3-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S3-content-12596\" class=\"sh-content S3-content sh-hide\" style=\"display: none;\">Diz-se que um objeto tem velocidade uniforme se viajar dist\u00e2ncias iguais em iguais intervalos de tempo; ou ent\u00e3o, se a <em>dist\u00e2ncia percorrida dividida pelo tempo gasto \u00e9 constante<\/em>, independentemente dos valores particulares escolhidos para as dist\u00e2ncias e para os tempos.<\/div>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 4<\/strong><\/h6>\n<p>Exprima por palavras a defini\u00e7\u00e3o dada por Galileu de movimento uniforme acelerado. Escreva-a tamb\u00e9m na forma de uma equa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<div id=\"S4-link-12596\" class=\"sh-link S4-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S4', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S4-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S4-content-12596\" class=\"sh-content S4-content sh-hide\" style=\"display: none;\">Um objeto diz-se uniformemente acelerado se a sua velocidade aumentar de iguais quantidades em iguais intervalos de tempo, isto \u00e9: \\(\\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}} = constante\\).<\/div>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 5<\/strong><\/h6>\n<p>Quais as duas condi\u00e7\u00f5es exigidas por Galileu para a sua defini\u00e7\u00e3o uniforme?<\/p>\n<div id=\"S5-link-12596\" class=\"sh-link S5-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S5', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S5-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S5-content-12596\" class=\"sh-content S5-content sh-hide\" style=\"display: none;\">A defini\u00e7\u00e3o deveria (1) ser matematicamente simples e (2) corresponder ao movimento de queda livre real.<\/div>\n<\/p>\n<h5>Galileu n\u00e3o consegue verificar diretamente a sua hip\u00f3tese<\/h5>\n<p>Depois de ter definido acelera\u00e7\u00e3o uniforme de acordo com a maneira como <em>acreditava<\/em> que se comportavam os corpos em queda livre, o passo seguinte de Galileu foi o de procurar uma maneira de mostrar que a defini\u00e7\u00e3o escolhida para a acelera\u00e7\u00e3o uniforme era \u00fatil para a descri\u00e7\u00e3o dos movimentos observados.<\/p>\n<p>Suponhamos que deixamos cair um objeto pesado de v\u00e1rias alturas diferentes \u2013 digamos das janelas de diversos andares de um pr\u00e9dio. Queremos verificar se a velocidade final aumenta em propor\u00e7\u00e3o com o tempo que ele leva a cair \u2013 isto \u00e9, se \\(\\Delta v \\propto \\Delta t\\) ou, o que \u00e9 o mesmo, se \\(\\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\) \u00e9 constante. Em cada ensaio deveremos observar o tempo de queda e a velocidade do objeto, imediatamente antes de chocar com o ch\u00e3o. Mas a\u00ed \u00e9 que est\u00e1 o problema! Mesmo hoje seria muito dif\u00edcil efetuar na pr\u00e1tica uma <em>medida direta<\/em> da velocidade alcan\u00e7ada pelo objeto imediatamente antes de atingir o ch\u00e3o. Al\u00e9m disso, os tempos de queda totais (menos de 3 segundos, mesmo para uma queda do cimo de um pr\u00e9dio de 10 andares) s\u00e3o mais curtos do que os que Galileu poderia ter medido com a precis\u00e3o dos rel\u00f3gios de que dispunha. Por tudo isso n\u00e3o lhe era poss\u00edvel efetuar um teste direto sobre a const\u00e2ncia de \\(\\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\).<\/p>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 6<\/strong><\/h6>\n<p>De entre as apresentadas a seguir, quais s\u00e3o as raz\u00f5es v\u00e1lidas pelas quais Galileu n\u00e3o poderia ter verificado diretamente se a velocidade final alcan\u00e7ada por um corpo em queda livre \u00e9 proporcional ao tempo de queda?<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: upper-alpha;\">\n<li>A sua defini\u00e7\u00e3o estava errada.<\/li>\n<li>Ele n\u00e3o poderia medir a velocidade do objeto imediatamente antes de alcan\u00e7ar o solo.<\/li>\n<li>N\u00e3o existiam instrumentos para medir o tempo.<\/li>\n<li>Ele n\u00e3o poderia ter medido as dist\u00e2ncias com precis\u00e3o suficiente.<\/li>\n<li>A experimenta\u00e7\u00e3o n\u00e3o era autorizada em It\u00e1lia.<\/li>\n<\/ol>\n<div id=\"S6-link-12596\" class=\"sh-link S6-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S6', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S6-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S6-content-12596\" class=\"sh-content S6-content sh-hide\" style=\"display: none;\">B.<\/div>\n<\/p>\n<h5>Procurando as consequ\u00eancias l\u00f3gicas da hip\u00f3tese de Galileu<\/h5>\n<p>A impossibilidade de efetuar medidas <em>diretas<\/em> para verificar a sua hip\u00f3tese \u2013 de que \\(\\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\) \u00e9 constante na queda livre \u2013 n\u00e3o fez parar Galileu. Voltando-se para a matem\u00e1tica, procurou derivar da sua hip\u00f3tese alguma outra rela\u00e7\u00e3o que <em>pudesse<\/em> ser comprovada com o equipamento de que dispunha. Veremos que, em alguns passos, se aproximou muito de uma express\u00e3o capaz de demonstrar a sua hip\u00f3tese inicial.<\/p>\n<p>Grandes dist\u00e2ncias de queda e grandes intervalos de tempo s\u00e3o, naturalmente, mais f\u00e1ceis de medir que os pequenos valores de \\(\\Delta d\\) e \\(\\Delta t\\) necess\u00e1rios para determinar a velocidade final do objeto em queda, imediatamente antes de atingir o solo. Por isso, Galileu tentou descobrir, pelo racioc\u00ednio, como deveria variar a dist\u00e2ncia total de queda em rela\u00e7\u00e3o ao tempo total de queda se os corpos ca\u00edssem com acelera\u00e7\u00e3o uniforme. J\u00e1 sabemos como determinar a dist\u00e2ncia total percorrida num determinado tempo total, para um movimento com velocidade constante. Vamos agora deduzir uma nova equa\u00e7\u00e3o que relaciona a dist\u00e2ncia total de queda com o tempo total para um movimento com <em>acelera\u00e7\u00e3o<\/em> constante. N\u00e3o seguiremos a par e passo a dedu\u00e7\u00e3o de Galileu, mas o resultado ser\u00e1 o mesmo. Em primeiro lugar rememoraremos a defini\u00e7\u00e3o de velocidade m\u00e9dia, como sendo a dist\u00e2ncia percorrida, \\(\\Delta d\\), dividida pelo tempo decorrido, \\(\\Delta t\\):<\/p>\n<p>\\[{v_{m\u00e9d}} = \\frac{{\\Delta d}}{{\\Delta t}}\\]<\/p>\n<p>Esta \u00e9 uma defini\u00e7\u00e3o geral e pode ser usada para calcular a velocidade m\u00e9dia a partir das medidas de \\(\\Delta d\\) e \\(\\Delta t\\), independentemente de \\(\\Delta d\\) e \\(\\Delta t\\) serem grandes ou pequenos. A equa\u00e7\u00e3o pode ser escrita da seguinte maneira:<\/p>\n<p>\\[\\Delta d = {v_{m\u00e9d}} \\times \\Delta t\\]<\/p>\n<p>Esta equa\u00e7\u00e3o \u00e9 sempre verdadeira, embora seja na realidade uma defini\u00e7\u00e3o de \\({v_{m\u00e9d}}\\). Para o caso particular do movimento a velocidade constante, \\(v\\), vem \\({v_{m\u00e9d}} = v\\) e, consequentemente, \\(\\Delta d = v \\times \\Delta t\\). Quando o valor de \\(v\\) \u00e9 conhecido (quando, por exemplo, um carro \u00e9 conduzido \u00e0 velocidade constante de 60 km\/h, medida no veloc\u00edmetro), esta equa\u00e7\u00e3o pode ser usada para o c\u00e1lculo da dist\u00e2ncia percorrida (\\(\\Delta d\\)) num dado intervalo de tempo (\\(\\Delta t\\)) qualquer. Mas no movimento uniformemente acelerado a velocidade <em>varia<\/em> continuamente \u2013 portanto, que valor usar para \\({v_{m\u00e9d}}\\)?<\/p>\n<p>A resposta envolve apenas um pouco de \u00e1lgebra e algumas considera\u00e7\u00f5es plaus\u00edveis. Galileu pensou (tal como outros tinham j\u00e1 feito antes dele) que para qualquer quantidade <span style=\"text-decoration: underline;\">variando uniformemente<\/span>, <em>o valor m\u00e9dio est\u00e1 exatamente a meio caminho entre valor inicial e o valor final<\/em>. Para o movimento uniformemente acelerado iniciando-se a partir do repouso (para o qual \u00e9 \\({v_{inicial}} = 0\\)) e terminando \u00e0 velocidade \\({v_{final}}\\), esta regra diz-nos que a velocidade m\u00e9dia \u00e9 a m\u00e9dia das velocidades inicial e final, \\({v_{inicial}}\\) e \\({v_{final}}\\)\u00a0\u2013 isto \u00e9, \\({v_{m\u00e9d}} = \\frac{1}{2}{v_{final}}\\). Se este racioc\u00ednio for correto, segue-se que:<\/p>\n<p>\\[\\Delta d = \\frac{1}{2}{v_{final}} \\times \\Delta t\\]<\/p>\n<p><em>para o movimento uniformemente acelerado iniciando-se a partir do repouso<\/em>.<\/p>\n<div id=\"D3-link-12596\" class=\"sh-link D3-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('D3', 12596, 'Mostrar Desafio 3', 'Ocultar Desafio 3'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"D3-toggle-12596\">Mostrar Desafio 3<\/span><\/a><\/div><div id=\"D3-content-12596\" class=\"sh-content D3-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h6>Desafio 3<\/h6>\n<p>Mostre que a express\u00e3o\u00a0\\({v_{m\u00e9d}} = \\frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2}\\) \u00e9 equivalente \u00e0 &#8220;Regra de Merton&#8221;.<\/p>\n<p><\/div>\n<div id=\"D4-link-12596\" class=\"sh-link D4-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('D4', 12596, 'Mostrar Desafio 4', 'Ocultar Desafio 4'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"D4-toggle-12596\">Mostrar Desafio 4<\/span><\/a><\/div><div id=\"D4-content-12596\" class=\"sh-content D4-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h6>Desafio 4<\/h6>\n<p>Para qualquer quantidade que varie uniformemente, o valor m\u00e9dio \u00e9 igual a metade da soma do seu valor inicial com o seu valor final. Verifique esta express\u00e3o relativamente a qualquer grandeza \u2013 por exemplo:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-roman;\">\n<li>Qual \u00e9 a idade m\u00e9dia de um grupo de pessoas que t\u00eam, cada uma, as idades de 15, 16, 17, 18 e 19 anos?<\/li>\n<li>Qual \u00e9 o sal\u00e1rio m\u00e9dio de uma pessoa, ao longo de cinco anos, se aquele crescer constantemente desde 50000 \u20ac por ano, no in\u00edcio, at\u00e9 90000 \u20ac por ano, no fim?<\/li>\n<\/ol>\n<p>Demonstre esta propriedade usando o conceito de progress\u00e3o aritm\u00e9tica.<br \/>\nTenha em considera\u00e7\u00e3o que a soma dos primeiros \\(n\\) termos de uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica \\(\\left( {{u_n}} \\right)\\) \u00e9 dada por \\({S_n} = \\frac{{{u_1} + {u_n}}}{2} \\times n\\).<\/p>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p>Esta rela\u00e7\u00e3o ainda n\u00e3o poderia ter sido verificada diretamente, j\u00e1 que nela est\u00e1 envolvida uma velocidade. O que nos propomos fazer \u00e9 obter uma equa\u00e7\u00e3o que relacione a dist\u00e2ncia e o tempo totais, sem qualquer necessidade de medi\u00e7\u00e3o de velocidades. Olhemos ent\u00e3o para a defini\u00e7\u00e3o de acelera\u00e7\u00e3o uniforme, dada por Galileu: \\(a = \\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\). Poderemos reescrever esta equa\u00e7\u00e3o na forma \\(\\Delta v = a \\times \\Delta t\\). O valor de \\(\\Delta v\\) \u00e9 exatamente \\({v_{final}} &#8211; {v_{inicial}}\\); e \\({v_{inicial}} = 0\\) para um movimento que se inicia a partir do repouso. Portanto, podemos escrever:<\/p>\n<p>\\[\\begin{array}{*{20}{r}}{\\Delta v = a \\times \\Delta t}\\\\{{v_{final}} &#8211; {v_{inicial}} = a \\times \\Delta t}\\\\{{v_{final}} = a \\times \\Delta t}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Podemos agora substituir esta express\u00e3o para \\({v_{final}}\\) na equa\u00e7\u00e3o obtida acima para \\(\\Delta d\\). Consequentemente, <em>se<\/em> o movimento se inicia a partir do repouso e <em>se<\/em> ele for uniformemente acelerado (e <em>se<\/em> a regra da m\u00e9dia estiver correta, tal como supusemos), poderemos escrever:<\/p>\n<p>\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{\\Delta d = \\frac{1}{2}{v_{final}} \\times \\Delta t}\\\\{\\Delta d = \\frac{1}{2}\\left( {a \\times \\Delta t} \\right) \\times \\Delta t}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Ou, reagrupando os termos:<\/p>\n<p>\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{\\Delta d = \\frac{1}{2}a{{\\left( {\\Delta t} \\right)}^2}}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Este \u00e9 o tipo de rela\u00e7\u00e3o procurada por Galileu \u2013 relaciona a dist\u00e2ncia total \\(\\Delta d\\) com o tempo total \\(\\Delta t\\), sem envolver qualquer termo dependente da velocidade.<\/p>\n<p>Antes de acabar, contudo, vamos simplificar os s\u00edmbolos que aparecem na equa\u00e7\u00e3o, de modo a tornar mais f\u00e1cil a sua utiliza\u00e7\u00e3o. Medindo a dist\u00e2ncia e o tempo a partir da posi\u00e7\u00e3o e do instante em que o movimento se inicia (\\({d_{inicial}} = 0\\) e \\({t_{inicial}} = 0\\)), os intervalos \\(\\Delta d\\) e \\(\\Delta t\\) t\u00eam os valores dados por \\({d_{final}}\\) e \\({t_{final}}\\). A equa\u00e7\u00e3o escrita acima pode, portanto, ser escrita mais simplesmente na forma:<\/p>\n<p>\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{d_{final}} = \\frac{1}{2}a{{\\left( {{t_{final}}} \\right)}^2}}\\end{array}\\]<\/p>\n<div id=\"D5-link-12596\" class=\"sh-link D5-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('D5', 12596, 'Mostrar Desafio 5', 'Ocultar Desafio 5'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"D5-toggle-12596\">Mostrar Desafio 5<\/span><\/a><\/div><div id=\"D5-content-12596\" class=\"sh-content D5-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h6>Desafio 5<\/h6>\n<p>Numa experi\u00eancia realizada no Centro de Desenvolvimento da Base A\u00e9rea de Holloman, em Alamogordo, Novo M\u00e9xico, em 19 de mar\u00e7o de 1954, o Tenente-coronel John Paul Stapp, instalado a bordo de um tren\u00f3 munido de um motor a jacto, alcan\u00e7ou a velocidade de 632 milhas\/hora (283 m\/s). Correndo sobre carris e impulsionado por nove foguetes, o tren\u00f3 atingiu a sua velocidade m\u00e1xima em 5 segundos. Stapp resistiu em seguida a uma acelera\u00e7\u00e3o m\u00e1xima de 22 <em>g<\/em>, ao abrandar o seu movimento at\u00e9 ao repouso num intervalo de tempo de 1,5 segundos (1 <em>g<\/em> \u00e9 uma acelera\u00e7\u00e3o igual em intensidade \u00e0 que \u00e9 devida \u00e0 gravidade; 22 <em>g<\/em> significa, portanto, uma acelera\u00e7\u00e3o de \\(22 \\times {a_g}\\)).<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-alpha;\">\n<li>Calcule a acelera\u00e7\u00e3o m\u00e9dia durante a primeira parte do percurso, isto \u00e9, aquela que se estende desde o repouso at\u00e9 ao atingir da velocidade m\u00e1xima.<\/li>\n<li>Qual a dist\u00e2ncia percorrida pelo tren\u00f3, antes de atingir a sua velocidade m\u00e1xima?<\/li>\n<li>Determine a acelera\u00e7\u00e3o <em>m\u00e9dia<\/em> durante a travagem.<\/li>\n<\/ol>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p>Note-se que esta \u00e9 uma rela\u00e7\u00e3o muito particular \u2013 d\u00e1 a dist\u00e2ncia total de queda como fun\u00e7\u00e3o do tempo total de queda, mas apenas se o movimento come\u00e7ar do repouso (\\({v_{inicial}} = 0\\)), se a acelera\u00e7\u00e3o for uniforme (\\(a = constante\\)) e se o tempo e a dist\u00e2ncia forem medidas a partir do in\u00edcio do movimento (\\({t_{inicial}} = 0\\) e \\({d_{inicial}} = 0\\)).<\/p>\n<p>Galileu chegou \u00e0 mesma conclus\u00e3o, embora n\u00e3o tivesse usado formas alg\u00e9bricas para o exprimir. Uma vez que estamos interessados unicamente na situa\u00e7\u00e3o particular de a acelera\u00e7\u00e3o, \\(a\\), ser constante, a quantidade \\(\\frac{1}{2}a\\) \u00e9 tamb\u00e9m constante e poderemos apresentar a conclus\u00e3o a que cheg\u00e1mos na forma de uma propor\u00e7\u00e3o: <em>no movimento uniformemente acelerado iniciado a partir do repouso, a dist\u00e2ncia percorrida \u00e9 proporcional ao quadrado do tempo decorrido<\/em>, ou seja:<\/p>\n<p>\\[{d_{final}} \\propto {\\left( {{t_{final}}} \\right)^2}\\]<\/p>\n<p>Por exemplo, se um autom\u00f3vel em movimento uniformemente acelerado a partir do repouso percorrer 10 metros no primeiro segundo, no <em>dobro<\/em> do tempo ter\u00e1 percorrido uma dist\u00e2ncia <em>quatro<\/em> vezes maior, ou seja, 40 metros nos primeiros dois segundos. Nos primeiros tr\u00eas segundos deslocar-se-\u00e1 para um ponto nove vezes mais distante, ou seja 90 metros.<\/p>\n<p>Outra maneira de exprimir esta rela\u00e7\u00e3o \u00e9 dizer que o quociente de \\({d_{final}}\\) por \\({\\left( {{t_{final}}} \\right)^2}\\) tem um valor constante, isto \u00e9:<\/p>\n<p>\\[\\frac{{{d_{final}}}}{{{{\\left( {{t_{final}}} \\right)}^2}}} = constante\\]<\/p>\n<p>Portanto, um resultado l\u00f3gico da proposi\u00e7\u00e3o original de Galileu para defini\u00e7\u00e3o de acelera\u00e7\u00e3o uniforme poder\u00e1 ser expresso da seguinte maneira: se um corpo acelerar uniformemente a partir do repouso, o quociente \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) dever\u00e1 ser constante. Inversamente, qualquer movimento para o qual o quociente de \\(d\\) por \\({t^2}\\) seja constante, para v\u00e1rias dist\u00e2ncias e correspondentes intervalos de tempo, ser\u00e1 um caso de movimento com <em>acelera\u00e7\u00e3o uniforme<\/em>, tal como esta \u00e9 definida por Galileu.<\/p>\n<p>\u00c9 evidente que haver\u00e1 que verificar se o movimento de queda livre dos corpos exibe <em>realmente<\/em> estas caracter\u00edsticas. Recorde-se a impossibilidade encontrada de verificar diretamente se \\(\\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\) tem valor constante. Galileu mostrou que uma consequ\u00eancia l\u00f3gica da const\u00e2ncia de \\(\\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\) \u00e9 a const\u00e2ncia do quociente de \\({d_{final}}\\) por \\({\\left( {{t_{final}}} \\right)^2}\\). Os valores do tempo total e da dist\u00e2ncia de queda seriam mais f\u00e1ceis de medir do que os pequenos valores \\(\\Delta d\\) e \\(\\Delta t\\) necess\u00e1rios para calcular \\(\\Delta v\\). Todavia, a medi\u00e7\u00e3o do tempo de queda era ainda uma tarefa dif\u00edcil, com os recursos dispon\u00edveis na altura. Por isso, em vez de uma verifica\u00e7\u00e3o direta da sua hip\u00f3tese, Galileu concebeu de uma maneira engenhosa uma verifica\u00e7\u00e3o indireta.<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\"><strong>Nota<\/strong>: Por uma quest\u00e3o de comodidade e porque a usaremos muitas vezes, representaremos a express\u00e3o \\(\\frac{{{d_{inicial}}}}{{{{\\left( {{t_{final}}} \\right)}^2}}}\\) simplesmente por \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) \u2013 subentendendo-se, no entanto, que \\(d\\) e \\(t\\) significam a dist\u00e2ncia total e o tempo total do movimento, e que este se iniciou a partir do repouso.<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 7<\/strong><\/h6>\n<p>Por que raz\u00e3o era mais promissora para Galileu a equa\u00e7\u00e3o \\(d = \\frac{1}{2}a{t^2}\\) do que \\(a = \\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}}\\), na verifica\u00e7\u00e3o da sua hip\u00f3tese?<\/p>\n<div id=\"S7-link-12596\" class=\"sh-link S7-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S7', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S7-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S7-content-12596\" class=\"sh-content S7-content sh-hide\" style=\"display: none;\">\u00c9 mais f\u00e1cil medir dist\u00e2ncias do que velocidades; permaneceu, no entanto, o problema da medi\u00e7\u00e3o de pequenos intervalos de tempo.<\/div>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 8<\/strong><\/h6>\n<p>O resultado \\(\\Delta d = a{\\left( {\\Delta t} \\right)^2}\\) parece poder ser obtido pela combina\u00e7\u00e3o direta das duas equa\u00e7\u00f5es \\(\\Delta d = v\\Delta t\\) e \\(\\Delta v = a\\Delta t\\). Qual o erro que se est\u00e1 a cometer com este procedimento?<\/p>\n<div id=\"S8-link-12596\" class=\"sh-link S8-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S8', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S8-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S8-content-12596\" class=\"sh-content S8-content sh-hide\" style=\"display: none;\">A express\u00e3o \\(d = vt\\) s\u00f3 pode ser usada se \\(v\\) for constante. A segunda equa\u00e7\u00e3o refere-se ao movimento acelerado, no qual \\(v\\)\u00a0<em>n\u00e3o<\/em> \u00e9 constante. Consequentemente, as duas equa\u00e7\u00f5es n\u00e3o podem ser aplicadas ao mesmo fen\u00f3meno.<\/div>\n<\/p>\n<h5>Galileu escolhe uma verifica\u00e7\u00e3o indireta<\/h5>\n<p>Ao compreender que uma verifica\u00e7\u00e3o quantitativa direta recorrendo a um corpo em queda livre, r\u00e1pida, n\u00e3o seria suficientemente precisa, Galileu prop\u00f4s-se fazer a experi\u00eancia sobre um objeto cujo movimento n\u00e3o fosse t\u00e3o r\u00e1pido. Prop\u00f4s uma nova hip\u00f3tese: <em>se um corpo em queda livre tem uma acelera\u00e7\u00e3o constante, uma bola perfeitamente esf\u00e9rica rolando ao longo de um plano inclinado perfeitamente liso tamb\u00e9m ter\u00e1 uma acelera\u00e7\u00e3o constante, embora menor<\/em>. Portanto, Galileu afirmou que se a rela\u00e7\u00e3o \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) for constante para um corpo em queda livre a partir do repouso, tamb\u00e9m ser\u00e1 constante, embora menor, para uma esfera deixada inicialmente em repouso e rolando ao longo de um plano inclinado retil\u00edneo.<\/p>\n<div id=\"attachment_12563\" style=\"width: 1874px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12563\" data-attachment-id=\"12563\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12563\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli.jpg\" data-orig-size=\"1864,774\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;2.7&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;COOLPIX P5000&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;1244022531&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;7.5&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;565&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0.125&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;1&quot;}\" data-image-title=\"Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_(Giuseppe_Bezzuoli)\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli-1024x425.jpg\" class=\"wp-image-12563 size-full\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli.jpg\" alt=\"Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_(Giuseppe_Bezzuoli)\" width=\"1864\" height=\"774\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli.jpg 1864w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli-300x125.jpg 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli-768x319.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/1864_Galileo_mentre_dimostra_la_legge_di_caduta_dei_gravi_Giuseppe_Bezzuoli-1024x425.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 1864px) 100vw, 1864px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12563\" class=\"wp-caption-text\">Este fresco, pintado em 1841 por Giuseppe Bezzuoli, tenta reconstituir uma experi\u00eancia atribu\u00edda a Galileu, que a teria realizado enquanto professor em Pisa. \u00c0 esquerda e \u00e0 direita est\u00e3o homens rancorosos: o col\u00e9rico Pr\u00edncipe Giovanni de Medici (Galileu demonstrou a inutilidade de uma draga inventada pelo Pr\u00edncipe) e os advers\u00e1rios cient\u00edficos de Galileu. Estes, lentes de v\u00e1rias universidades, s\u00e3o aqui mostrados debru\u00e7ados sobre um livro de Arist\u00f3teles, no qual estaria escrito \u2013 preto sobre o branco \u2013 que corpos de pesos diferentes deveriam cair com velocidades diferentes. Galileu, a figura mais alta do quadro, logo \u00e0 esquerda do centro, est\u00e1 rodeado de v\u00e1rios alunos e disc\u00edpulos.<\/p><\/div>\n<p style=\"text-align: center;\"><video controls=\"controls\" width=\"640\" height=\"360\"><source src=\"https:\/\/video.museogalileo.it\/cat\/i500065.mp4\" type=\"video\/mp4\" \/><\/video><\/p>\n<\/p>\n<p>Eis como Salviatti descreveu a verifica\u00e7\u00e3o experimental de Galileu, em <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Tomou-se uma t\u00e1bua de madeira, com cerca de 12 c\u00fabitos de comprimento, meio c\u00fabito de largura e tr\u00eas dedos de espessura; na sua face cortou-se um canal com pouco mais de um dedo de altura; feito o entalhe t\u00e3o retil\u00edneo quanto \u00e9 poss\u00edvel, liso e polido, e tendo-se revestido o mesmo com pergaminho, tamb\u00e9m t\u00e3o suave e polido quanto poss\u00edvel, fez-se rolar ao longo dele uma esfera pesada de bronze, perfeitamente redonda e de superf\u00edcie suave. Colocado o conjunto numa posi\u00e7\u00e3o inclinada, elevando-se uma das extremidades cerca de um ou dois c\u00fabitos em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 outra, fizemos rolar a bola, como dizia, ao longo do canal, anotando, da maneira que vamos descrever, o tempo necess\u00e1rio para a descida. A experi\u00eancia foi repetida v\u00e1rias vezes, de modo a medir o tempo com uma precis\u00e3o tal que a diferen\u00e7a entre os valores correspondentes a duas experi\u00eancias nunca excedesse um d\u00e9cimo do batimento do pulso. Tendo realizado esta opera\u00e7\u00e3o e tendo-nos assegurado da sua fiabilidade, fizemos rolar a esfera apenas um quarto do comprimento do canal; e tendo medido o tempo de descida, verific\u00e1mos que era exatamente metade do primeiro. A experi\u00eancia foi ent\u00e3o repetida para outras dist\u00e2ncias, comparando o tempo de descida total com o de metade da descida, ou com o de dois ter\u00e7os, ou com o de tr\u00eas quartos ou, na verdade, com o de qualquer outra fra\u00e7\u00e3o; em tais experi\u00eancias, repetidas uma centena de vezes, verific\u00e1mos sempre que os espa\u00e7os percorridos estavam em rela\u00e7\u00e3o uns com os outros tal como os quadrados dos tempos, e isto foi verdade para todas as inclina\u00e7\u00f5es do&#8230; canal ao longo do qual fizemos rolar a esfera&#8230;<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>Galileu junta uma grande quantidade de informa\u00e7\u00e3o nestas linhas. Descreve o seu procedimento e o aparelho de modo suficientemente claro, para permitir a repeti\u00e7\u00e3o da experi\u00eancia por outros investigadores, se o quiserem. Indica que podem ser feitas medidas consistentes e, al\u00e9m disso, reafirma os dois resultados experimentais principais, que segundo ele suportam a sua hip\u00f3tese sobre a queda livre. Examinemos cuidadosamente os resultados:<\/p>\n<p>(a) Em primeiro lugar, descobriu que quando uma esfera rolava ao longo do plano inclinado fazendo um \u00e2ngulo fixo com a horizontal, o quociente da dist\u00e2ncia percorrida pelo quadrado do tempo correspondente era sempre o mesmo. Por exemplo, se \\({d_1}\\), \\({d_2}\\) e \\({d_3}\\) representarem dist\u00e2ncias medidas a partir do mesmo ponto de partida no plano inclinado e se \\({t_1}\\), \\({t_2}\\) e \\({t_3}\\) forem os tempos correspondentes consumidos a rolar essas dist\u00e2ncias, ent\u00e3o:<\/p>\n<p>\\[\\frac{{{d_1}}}{{{t_1}^2}} = \\frac{{{d_2}}}{{{t_2}^2}} = \\frac{{{d_3}}}{{{t_3}^2}}\\]<\/p>\n<p>De uma maneira geral, para cada \u00e2ngulo do plano inclinado, o valor de \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\)\u00a0era constante. Galileu n\u00e3o apresentou os seus resultados experimentais em pormenor, como se tomou h\u00e1bito desde ent\u00e3o. Todavia, a sua experi\u00eancia foi repetida por outros, que obtiveram resultados em tudo semelhantes.<\/p>\n<div id=\"D6-link-12596\" class=\"sh-link D6-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('D6', 12596, 'Mostrar Desafio 6', 'Ocultar Desafio 6'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"D6-toggle-12596\">Mostrar Desafio 6<\/span><\/a><\/div><div id=\"D6-content-12596\" class=\"sh-content D6-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<h6>Desafio 6<\/h6>\n<p><div id=\"attachment_12580\" style=\"width: 730px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12580\" data-attachment-id=\"12580\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12580\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho.png\" data-orig-size=\"1491,639\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Settle_aparelho\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"&lt;p&gt;(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.&lt;\/p&gt;\n\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-1024x439.png\" class=\"size-large wp-image-12580\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-1024x439.png\" alt=\"(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. 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(Direita) Aparelho de medida do tempo.<\/p><\/div><\/p>\n<table class=\" alignright\" style=\"width: 360px;\">\n<thead>\n<tr>\n<td><strong>Dist\u00e2ncia (p\u00e9s)<\/strong><br \/>\n(1 p\u00e9 = 30,5 cm)<\/td>\n<td><strong>Tempo<\/strong><br \/>\n(medido em mililitros de \u00e1gua)<\/td>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>15<\/td>\n<td>90<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>13<\/td>\n<td>84<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>10<\/td>\n<td>72<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>7<\/td>\n<td>62<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>52<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>40<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>23,5<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>A tabela regista os resultados de uma repeti\u00e7\u00e3o da experi\u00eancia de Galileu, na qual o \u00e2ngulo de inclina\u00e7\u00e3o era de \\(3,73^\\circ \\) (Thomas B. Settle, volume 133 da revista <em>Science<\/em>, p\u00e1gs. 19-23, 6 de janeiro de 1961). Nessa experi\u00eancia foi utilizado um \u201crel\u00f3gio de \u00e1gua\u201d, com reservat\u00f3rio mantido a n\u00edvel constante.<\/p>\n<p>Ser\u00e1 que estes resultados comprovam realmente a conclus\u00e3o de Galileu, de que \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\)\u00a0\u00e9 constante?<\/p>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p>(b) A segunda descoberta experimental de Galileu diz respeito ao que acontece quando o \u00e2ngulo do plano inclinado \u00e9 feito variar. Ele descobriu que, sempre que o \u00e2ngulo era variado, o quociente \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) tomava um novo valor, embora para cada \u00e2ngulo, qualquer que este fosse, permanecesse constante e independente da dist\u00e2ncia percorrida. Galileu confirmou este facto, repetindo a experi\u00eancia \u201cuma centena de vezes\u201d para cada um dos v\u00e1rios \u00e2ngulos. Depois de confirmar que o quociente \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) era constante para cada um dos \u00e2ngulos para os quais as medidas de \\(t\\) podiam ser feitas convenientemente, Galileu estava pronto a efetuar uma extrapola\u00e7\u00e3o. Concluiu que a raz\u00e3o \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) permanece constante mesmo para grandes \u00e2ngulos, para os quais o movimento esfera \u00e9 demasiado r\u00e1pido para que possam ser efetuadas medidas precisas de \\(t\\). Por fim, Galileu raciocinou que, no caso particular de o \u00e2ngulo ser de \\(90^\\circ \\), a esfera mover-se-ia diretamente para baixo \u2013 tal como no caso de um <em>objeto em queda<\/em>. Pelo seu racioc\u00ednio, \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) seria ainda constante neste caso extremo (embora ele n\u00e3o pudesse determinar o valor do quociente).<\/p>\n<p>Confirmado que a const\u00e2ncia de \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) era caracter\u00edstica da acelera\u00e7\u00e3o uniforme, Galileu p\u00f4de finalmente concluir que o movimento de queda livre era um movimento uniformemente acelerado.<\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><video controls=\"controls\" width=\"640\" height=\"360\"><source src=\"https:\/\/video.museogalileo.it\/cat\/i500045.mp4\" type=\"video\/mp4\" \/><\/video><\/p>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 9<\/strong><\/h6>\n<p>Ao verificar a sua hip\u00f3tese de que o movimento de queda livre \u00e9 uniformemente acelerado, Galileu admitiu a suposi\u00e7\u00e3o n\u00e3o provada de que (indique uma ou mais):<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: upper-alpha;\">\n<li>\\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) \u00e9 constante.<\/li>\n<li>a acelera\u00e7\u00e3o tem o mesmo valor para todos os \u00e2ngulos de inclina\u00e7\u00e3o do plano.<\/li>\n<li>os resultados para pequenos \u00e2ngulos podem ser extrapolados para os grandes \u00e2ngulos.<\/li>\n<li>a velocidade da esfera \u00e9 constante enquanto ela rola.<\/li>\n<li>a acelera\u00e7\u00e3o da esfera \u00e9 constante se a acelera\u00e7\u00e3o na queda livre o for, embora o valor das duas constantes n\u00e3o seja o mesmo.<\/li>\n<\/ol>\n<div id=\"S9-link-12596\" class=\"sh-link S9-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S9', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S9-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S9-content-12596\" class=\"sh-content S9-content sh-hide\" style=\"display: none;\">C e E.<\/div>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 10<\/strong><\/h6>\n<p>Qual das afirma\u00e7\u00f5es seguintes resume o trabalho de Galileu sobre a queda livre, quando o atrito do ar \u00e9 desprez\u00e1vel?<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: upper-alpha;\">\n<li>Galileu provou que todos os objetos caem exatamente \u00e0 mesma velocidade, independentemente do seu peso.<\/li>\n<li>Galileu provou que para qualquer objeto em queda livre o quociente \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) \u00e9 constante, para qualquer altura de queda.<\/li>\n<li>Galileu provou que um objeto rolando ao longo de um plano inclinado acelera da mesma maneira (embora mais lentamente), que o mesmo objeto em queda livre.<\/li>\n<li>Galileu provou indiretamente a sua suposi\u00e7\u00e3o de que a velocidade de um objeto, caindo livremente a partir do repouso, \u00e9 proporcional ao tempo decorrido.<\/li>\n<li>Galileu tornou claro que n\u00e3o seria poss\u00edvel resolver definitivamente o problema da queda livre sem se conseguir produzir v\u00e1cuo.<\/li>\n<\/ol>\n<div id=\"S10-link-12596\" class=\"sh-link S10-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S10', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S10-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S10-content-12596\" class=\"sh-content S10-content sh-hide\" style=\"display: none;\">D.<\/div>\n<\/p>\n<h5>D\u00favidas sobre o procedimento de Galileu<\/h5>\n<p>Todo este processo de racioc\u00ednio e experimenta\u00e7\u00e3o parece longo e complexo, numa primeira leitura, e ser\u00e1 l\u00f3gico que surjam algumas d\u00favidas. Por exemplo, a medi\u00e7\u00e3o de tempo efetuada por Galileu seria suficientemente precisa para verificar a const\u00e2ncia de \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\), mesmo para o caso de um objeto a mover-se lentamente? Galileu tenta, no seu livro, responder a poss\u00edveis cr\u00edticas, fornecendo uma descri\u00e7\u00e3o pormenorizada da sua montagem experimental (convidando assim qualquer c\u00e9tico a realizar a experi\u00eancia por si mesmo):<\/p>\n<blockquote>\n<p>Para a medi\u00e7\u00e3o do tempo, utiliz\u00e1mos um grande reservat\u00f3rio de \u00e1gua, colocado numa posi\u00e7\u00e3o elevada; no fundo deste reservat\u00f3rio estava soldado um tubo de pequeno di\u00e2metro que fornecia um fino jacto de \u00e1gua, que recolhemos numa pequena ta\u00e7a durante o tempo de cada descida, fosse para todo o comprimento do canal, fosse para qualquer fra\u00e7\u00e3o dele; a \u00e1gua assim recolhida era pesada numa balan\u00e7a muito precisa; as diferen\u00e7as e os quocientes destes pesos davam-nos as diferen\u00e7as e os quocientes dos intervalos de tempo, e isto com uma precis\u00e3o tal que, embora a opera\u00e7\u00e3o fosse repetida muitas e muitas vezes, n\u00e3o houve qualquer discrep\u00e2ncia apreci\u00e1vel nos resultados.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>O rel\u00f3gio de \u00e1gua descrito por Galileu n\u00e3o foi inventado por ele. Na verdade, h\u00e1 refer\u00eancias a rel\u00f3gios de \u00e1gua na China, desde o s\u00e9culo VI A. C. e, provavelmente, j\u00e1 tinham sido usados mesmo antes disso, na Babil\u00f3nia e na \u00cdndia. No princ\u00edpio do s\u00e9culo XVI, um bom rel\u00f3gio de \u00e1gua era o mais preciso dos instrumentos conhecidos para a medi\u00e7\u00e3o de pequenos intervalos de tempo. Assim foi at\u00e9 pouco depois da morte de Galileu, quando o trabalho de <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Christiaan_Huygens\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Christian Huygens<\/a> e de outros levaram a rel\u00f3gios de p\u00eandulo pr\u00e1ticos de usar. Os resultados de Galileu sobre o movimento no plano inclinado foram plenamente confirmados mais tarde, com o aparecimento de melhores rel\u00f3gios.<\/p>\n<p>Outro ponto de argumenta\u00e7\u00e3o sobre os resultados de Galileu est\u00e1 relacionado com a grande diferen\u00e7a existente entre a queda livre e o rolar que se verifica num plano pouco inclinado. Galileu n\u00e3o referiu a que \u00e2ngulos efetuou a experi\u00eancia. Todavia, como se poder\u00e1 ver facilmente repetindo uma experi\u00eancia semelhante, esses \u00e2ngulos dever\u00e3o ser bastante pequenos. \u00c0 medida que o \u00e2ngulo cresce tamb\u00e9m aumenta a velocidade da esfera, de tal modo que os tempos envolvidos se tornam rapidamente dif\u00edceis de medir. O maior \u00e2ngulo utiliz\u00e1vel, referido numa recente repeti\u00e7\u00e3o da experi\u00eancia de Galileu, foi apenas de \\(6^\\circ \\). N\u00e3o \u00e9 prov\u00e1vel que Galileu tivesse trabalhado com \u00e2ngulos muito maiores. Isto significa que a extrapola\u00e7\u00e3o que \u00e9 preciso fazer para se considerar a queda livre (\u00e2ngulo de \\(90^\\circ \\)) \u00e9 muito grande, talvez demasiado grande para uma pessoa cautelosa \u2013 ou para algu\u00e9m que n\u00e3o esteja j\u00e1 convencido pelo argumento de Galileu.<\/p>\n<p>H\u00e1 ainda uma outra raz\u00e3o para criticar os resultados de Galileu: \u00e9 que, quando o \u00e2ngulo do plano inclinado \u00e9 aumentado, atinge-se um ponto em que a esfera come\u00e7a a deslizar e a rolar, simultaneamente. Esta diferen\u00e7a de comportamento poderia significar que o movimento \u00e9 muito diferente a grandes \u00e2ngulos de inclina\u00e7\u00e3o. Galileu n\u00e3o discute estes casos. \u00c9 surpreendente que ele, aparentemente, n\u00e3o tenha repetido a experi\u00eancia com blocos que apenas deslizassem e n\u00e3o rolassem ao longo do plano inclinado. Se o tivesse feito teria verificado que a raz\u00e3o \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) \u00e9 tamb\u00e9m constante para o movimento deslizante acelerado, embora tenha um valor distinto do valor correspondente a uma esfera rolando num plano com a mesma inclina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 11<\/strong><\/h6>\n<p>Quais das afirma\u00e7\u00f5es seguintes podem ser encaradas como raz\u00f5es b\u00e1sicas para duvidar da validade do procedimento de Galileu?<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: upper-alpha;\">\n<li>A sua medida de tempo n\u00e3o era suficientemente precisa.<\/li>\n<li>Galileu utilizou \u00e2ngulos de inclina\u00e7\u00e3o demasiado grandes.<\/li>\n<li>N\u00e3o \u00e9 claro que os seus resultados sejam aplic\u00e1veis quando a esfera rola e desliza, simultaneamente.<\/li>\n<li>Na experi\u00eancia descrita por Galileu a esfera rolava e, consequentemente, n\u00e3o poderia extrapolar os seus resultados para o caso da queda livre, em que a esfera n\u00e3o rolaria.<\/li>\n<li>\\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\) n\u00e3o era constante para um objeto que deslizasse.<\/li>\n<\/ol>\n<div id=\"S11-link-12596\" class=\"sh-link S11-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S11', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S11-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S11-content-12596\" class=\"sh-content S11-content sh-hide\" style=\"display: none;\">A, C e D.<\/div>\n<\/p>\n<h5>Consequ\u00eancias do trabalho de Galileu sobre o movimento<\/h5>\n<p>Tudo indica que Galileu se apercebeu de que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel obter o valor num\u00e9rico correto da acelera\u00e7\u00e3o de um corpo em queda livre apenas pela extrapola\u00e7\u00e3o dos resultados obtidos para \u00e2ngulos de inclina\u00e7\u00e3o crescentes. Na verdade ele n\u00e3o tentou calcular o valor num\u00e9rico da acelera\u00e7\u00e3o dos corpos em queda livre. Mas, para os seus prop\u00f3sitos, era suficiente provar a hip\u00f3tese de que a acelera\u00e7\u00e3o \u00e9 <em>constante<\/em> para qualquer corpo, rolando ou caindo. Esta \u00e9 a primeira consequ\u00eancia do trabalho de Galileu, que foi completamente verificada em todas as experi\u00eancias que posteriormente foram efetuadas.<\/p>\n<p>Em segundo lugar, se esferas de diferentes pesos fossem postas a rolar ao longo de um plano inclinado, fixo num determinado \u00e2ngulo, verificar-se-ia que todas elas tinham a mesma acelera\u00e7\u00e3o. N\u00e3o se conhece toda a evid\u00eancia experimental que Galileu possu\u00eda para extrair esta conclus\u00e3o, mas ela \u00e9 consistente com as observa\u00e7\u00f5es relativas aos corpos em queda livre. E \u00e9 tamb\u00e9m consistente com a sua \u201cexperi\u00eancia pensada\u201d, pela qual Galileu argumentou que corpos de pesos diferentes cairiam da mesma maneira (\u00e0 parte os efeitos comparativamente pequenos da resist\u00eancia do ar). Os seus resultados forneceram uma refuta\u00e7\u00e3o decisiva da teoria do movimento de Arist\u00f3teles.<\/p>\n<p>Em terceiro lugar, Galileu desenvolveu uma teoria matem\u00e1tica do movimento acelerado, a partir da qual podiam ser obtidas outras previs\u00f5es sobre o movimento. Mencionar-se-\u00e1 apenas um exemplo. Recorde-se que Galileu preferiu definir acelera\u00e7\u00e3o como a taxa de varia\u00e7\u00e3o da velocidade com o tempo. Verificou ent\u00e3o experimentalmente que os corpos em queda livre sofrem iguais varia\u00e7\u00f5es de velocidade em iguais intervalos de tempo e n\u00e3o em iguais intervalos de espa\u00e7o, como alguns tinham suposto. Note-se que a ideia de alguma coisa que variasse de iguais quantidades em iguais dist\u00e2ncias tamb\u00e9m teria uma not\u00e1vel simplicidade. Poder-se-\u00e1 perguntar se n\u00e3o haver\u00e1 alguma coisa que varie <em>desta maneira<\/em> durante a acelera\u00e7\u00e3o uniforme. De facto assim \u00e9. Das conclus\u00f5es j\u00e1 tiradas segue-se, sem necessidade de quaisquer outras hip\u00f3teses que durante a acelera\u00e7\u00e3o uniforme a partir do repouso, o <em>quadrado da velocidade<\/em> varia de iguais acr\u00e9scimos em iguais intervalos de espa\u00e7o. Existe uma equa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica que exprime este resultado: se \\({v_{inicial}} = 0\\) e \\(a = constante\\), ent\u00e3o:<\/p>\n<p>\\[{v^2}_{final} = 2a{d_{final}}\\]<\/p>\n<p>Por palavras: se um objeto parte do repouso e se move com acelera\u00e7\u00e3o uniforme, ent\u00e3o o quadrado da sua velocidade em qualquer ponto \u00e9 igual ao dobro do produto da sua acelera\u00e7\u00e3o pela dist\u00e2ncia percorrida. Estas consequ\u00eancias do trabalho de Galileu, embora importantes para o desenvolvimento da f\u00edsica, dificilmente provocariam por si s\u00f3 uma revolu\u00e7\u00e3o na ci\u00eancia. Nenhum escol\u00e1stico do s\u00e9culo XVII abandonaria a sua f\u00e9 na cosmologia aristot\u00e9lica apenas porque algumas das suas previs\u00f5es tivessem sido refutadas, no caso de corpos a rolarem ou a ca\u00edrem. Mas o trabalho de Galileu sobre o movimento em queda livre ajudou a preparar o caminho para o desenvolvimento de uma nova f\u00edsica e, na verdade, para uma nova cosmologia, lan\u00e7ando as sementes da d\u00favida sobre as suposi\u00e7\u00f5es fundamentais da ci\u00eancia aristot\u00e9lica. Por exemplo, quando se reconheceu que todos os corpos caem com igual acelera\u00e7\u00e3o se o atrito do ar for desprez\u00e1vel, toda a explica\u00e7\u00e3o aristot\u00e9lica do movimento de queda se desmoronou.<\/p>\n<p>O problema cient\u00edfico mais crucial durante a vida de Galileu n\u00e3o dizia respeito \u00e0 mec\u00e2nica mas sim \u00e0 astronomia. A quest\u00e3o central da cosmologia residia na interroga\u00e7\u00e3o sobre se seria a Terra ou o Sol que estaria no centro do universo. Galileu sustentava o ponto de vista de que a Terra e outros planetas se moviam em torno do Sol, o que era algo diametralmente oposto ao afirmado pela cosmologia aristot\u00e9lica. Mas suportar um tal ponto de vista exigia uma teoria f\u00edsica que explicasse como e porqu\u00ea se movia a pr\u00f3pria Terra. O trabalho de Galileu sobre a queda livre e sobre outros movimentos foi exatamente o que era necess\u00e1rio para come\u00e7ar a construir uma tal teoria. O efeito total do seu trabalho, todavia, n\u00e3o se verificou at\u00e9 que fosse combinado com as investiga\u00e7\u00f5es realizadas pelo cientista ingl\u00eas <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Isaac_Newton\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Isaac Newton<\/a> sobre as for\u00e7as e o movimento. Mas, tal como Newton reconheceu, Galileu foi o pioneiro na abertura dessa senda.<\/p>\n<p>O trabalho de Galileu sobre o movimento introduziu um m\u00e9todo novo e importante para a investiga\u00e7\u00e3o cient\u00edfica, m\u00e9todo t\u00e3o aplic\u00e1vel hoje como naquele tempo. A base deste procedimento \u00e9 um ciclo, repetido tantas vezes quantas as necess\u00e1rias, inteiramente ou em parte, at\u00e9 que uma teoria satisfat\u00f3ria tenha surgido: observa\u00e7\u00e3o geral \u2192 hip\u00f3tese \u2192 an\u00e1lise matem\u00e1tica ou dedu\u00e7\u00e3o a partir da hip\u00f3tese \u2192 verifica\u00e7\u00e3o experimental da dedu\u00e7\u00e3o \u2192 modifica\u00e7\u00e3o da hip\u00f3tese \u00e0 luz da experi\u00eancia, e assim por diante.<\/p>\n<p>Enquanto que os passos matem\u00e1ticos s\u00e3o muitas vezes determinados principalmente pela \u201cl\u00f3gica pura\u201d, o mesmo n\u00e3o se d\u00e1 para os outros passos do processo. Em primeiro lugar, a hip\u00f3tese pode ser atingida por uma s\u00e9rie de caminhos. Uma nova hip\u00f3tese pode surgir de um palpite inspirado baseado no conhecimento geral dos factos experimentais ou do desejo de proposi\u00e7\u00f5es matematicamente simples, ou da modifica\u00e7\u00e3o da hip\u00f3tese que falhou anteriormente. Al\u00e9m do mais, n\u00e3o h\u00e1 regras gerais sobre qual o acordo que dever\u00e1 existir entre os dados experimentais e as previs\u00f5es te\u00f3ricas. Em alguns campos da ci\u00eancia espera-se que as teorias forne\u00e7am um acordo melhor do que um mil\u00e9simo de um por cento; noutros campos, ou no estado preliminar de qualquer novo trabalho, pode-se ficar satisfeito ao encontrar uma teoria capaz de fazer previs\u00f5es com um erro de \u201capenas 50%\u201d. Note-se finalmente que, embora tenha um papel importante no processo, a experi\u00eancia n\u00e3o \u00e9 o \u00fanico nem sequer o elemento principal. Pelo contr\u00e1rio, a experi\u00eancia manifesta a sua utilidade apenas conjuntamente com os outros passos do processo.<\/p>\n<p>O ciclo geral de observa\u00e7\u00e3o, hip\u00f3tese, dedu\u00e7\u00e3o, verifica\u00e7\u00e3o, modifica\u00e7\u00e3o, etc., t\u00e3o habilmente demonstrado por Galileu no s\u00e9culo XVII, \u00e9 hoje um facto trivial no trabalho cient\u00edfico. Embora n\u00e3o exista algo a que se possa chamar o m\u00e9todo cient\u00edfico, o ciclo referido est\u00e1 quase sempre presente, sob alguma forma, na investiga\u00e7\u00e3o cient\u00edfica. E n\u00e3o \u00e9 usado em louvor a Galileu, como figura proeminente da hist\u00f3ria da ci\u00eancia, mas devido \u00e0 sua efic\u00e1cia na maioria dos casos em que \u00e9 empregue.<\/p>\n<p>O pr\u00f3prio Galileu estava consciente do valor dos resultados e dos m\u00e9todos do seu trabalho pioneiro. Assim, concluiu o estudo do movimento acelerado pelas seguintes palavras, proferidas pelas personagens do seu livro:<\/p>\n<blockquote>\n<p>Salviatti: &#8230;podemos dizer que a porta est\u00e1 agora aberta, pela primeira vez, a um novo m\u00e9todo, cheio de numerosos e belos resultados que, nos anos vindouros, atrair\u00e1 a aten\u00e7\u00e3o de outros homens.<\/p>\n<p>Sagredo: Acredito realmente que\u2026 os princ\u00edpios apresentados neste pequeno tratado, quando abordados por esp\u00edritos especulativos, conduzir\u00e3o a outro resultado ainda mais not\u00e1vel; e assim \u00e9 de supor devido \u00e0 nobreza do assunto, que \u00e9 superior \u00e0 de qualquer outro na natureza.<\/p>\n<p>Durante este longo e laborioso dia, apreciei estes teoremas simples mais ainda do que as suas provas, muitas das quais, para completa compreens\u00e3o, necessitariam de mais do que uma hora cada; se tiveres a gentileza de me confiar o livro, relerei este estudo durante as minhas horas de \u00f3cio, depois de termos lido a parte restante, relativa ao movimento dos proj\u00e9teis; e isto, se estiveres de acordo, f\u00e1-lo-emos amanh\u00e3.<\/p>\n<p>Salviatti: N\u00e3o faltarei.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p style=\"text-align: center;\"><video controls=\"controls\" width=\"640\" height=\"360\"><source src=\"https:\/\/video.museogalileo.it\/cat\/i500098.mp4\" type=\"video\/mp4\" \/><\/video><\/p>\n<h6><strong>Quest\u00e3o 12<\/strong><\/h6>\n<p>Das al\u00edneas seguintes, quais as que <em>n\u00e3o<\/em> resultaram do trabalho de Galileu sobre o movimento?<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: upper-alpha;\">\n<li>O valor num\u00e9rico correto da acelera\u00e7\u00e3o na queda livre foi obtido pela extrapola\u00e7\u00e3o dos resultados para \u00e2ngulos cada vez maiores.<\/li>\n<li>Se um objeto parte do repouso e se move com acelera\u00e7\u00e3o uniforme, \\(a\\), ao longo de uma dist\u00e2ncia, \\(d\\), ent\u00e3o o quadrado da sua velocidade ser\u00e1 proporcional a \\(d\\).<\/li>\n<li>Os corpos que rolam ao longo de um plano inclinado s\u00e3o uniformemente acelerados (de acordo com a defini\u00e7\u00e3o de acelera\u00e7\u00e3o dada por Galileu).<\/li>\n<\/ol>\n<div id=\"S12-link-12596\" class=\"sh-link S12-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S12', 12596, 'Mostrar solu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar solu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S12-toggle-12596\">Mostrar solu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S12-content-12596\" class=\"sh-content S12-content sh-hide\" style=\"display: none;\">A.<\/div>\n<\/p>\n<h6>Quest\u00e3o 13<\/h6>\n<p>Obtenha a express\u00e3o \\({v^2} = 2ad\\) a partir das equa\u00e7\u00f5es \\(d = \\frac{1}{2}a{t^2}\\) e \\(v = a\\,t\\).<\/p>\n<p>De seguida, mostre que uma bola lan\u00e7ada verticalmente (ao n\u00edvel do solo) de baixo para cima, com uma velocidade inicial \\(v\\), sobe at\u00e9 uma altura m\u00e1xima \\(h = \\frac{{{v^2}}}{{2g}}\\) (\\(g\\) \u00e9 o valor da acelera\u00e7\u00e3o grav\u00edtica).<\/p>\n<div id=\"S13-link-12596\" class=\"sh-link S13-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('S13', 12596, 'Mostrar resolu\u00e7\u00e3o', 'Ocultar resolu\u00e7\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"S13-toggle-12596\">Mostrar resolu\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"S13-content-12596\" class=\"sh-content S13-content sh-hide\" style=\"display: none;\">Ora, \\(\\begin{array}{*{20}{c}}{v = a\\,t}&amp; \\Rightarrow &amp;{{v^2} = {a^2}\\,{t^2}}\\end{array}\\).<\/p>\n<p>Por outro lado,\u00a0\\(\\begin{array}{*{20}{c}}{d = \\frac{1}{2}a{t^2}}&amp; \\Leftrightarrow &amp;{{t^2} = \\frac{{2d}}{a}}\\end{array}\\).<\/p>\n<p>Logo, vem:<\/p>\n<p>\\[\\begin{array}{*{20}{c}}{{v^2} = {a^2}\\,{t^2}}&amp; \\Leftrightarrow &amp;{{v^2} = {a^2}\\, \\times \\frac{{2d}}{a}}&amp; \\Leftrightarrow &amp;{{v^2} = 2ad}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Adaptando a equa\u00e7\u00e3o anteriormente deduzida \u00e0 situa\u00e7\u00e3o presente, temos: \\[\\begin{array}{*{20}{c}}{{v^2} = 2gh}&amp; \\Leftrightarrow &amp;{h = \\frac{{{v^2}}}{{2g}}}\\end{array}\\]<\/div>\n<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: square;\">\n<li>Adaptado de PROJECTO F\u00cdSICA &#8211; UNIDADE 1 Conceitos de Movimento,<br \/>\nFunda\u00e7\u00e3o Calouste Gulbenkian, 1980, p\u00e1g. 39 &#8211; 62<\/li>\n<\/ul>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_12596' onClick='GTTabs_show(1,12596)'>&lt;&lt; A teoria aristot\u00e9lica do movimento<\/a><\/span><span class='GTTabs_nav_next'><a href='#GTTabs_ul_12596' onClick='GTTabs_show(3,12596)'>Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios &gt;&gt;<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<div class='GTTabs_divs' id='GTTabs_3_12596'>\n<span class='GTTabs_titles'><b>Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios<\/b><\/span><\/p>\n<h4>Solu\u00e7\u00f5es dos Desafios<\/h4>\n<\/p>\n<h6>Desafio 1<\/h6>\n<p>Houve muitos trabalhos que antecederam o de Galileu, no que diz respeito ao movimento. No per\u00edodo de 1280 a 1340, <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Calculatores_de_Merton_College\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">matem\u00e1ticos de Merton College<\/a>, em Oxford, meditaram cuidadosamente sobre diversas grandezas que variavam com o tempo. Um teorema geral, conhecido por \u201c<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Mean_speed_theorem\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Teorema de Merton<\/a>\u201d ou \u201c<a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Teorema_da_velocidade_m%C3%A9dia\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Regra da Velocidade M\u00e9dia<\/a>\u201d, resume um resultado que se mostrou de grande import\u00e2ncia.<\/p>\n<p>Este teorema, que pode ser aplicado ao movimento com acelera\u00e7\u00e3o uniforme, \u00e9 expresso em termos simples da seguinte maneira: <em>a\u00a0dist\u00e2ncia percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, \u00e9 igual \u00e0 dist\u00e2ncia que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia durante esse tempo<\/em>.<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-alpha;\">\n<li>Mostre que a dist\u00e2ncia total percorrida a velocidade constante pode ser expressa pela \u00e1rea abaixo da linha desenhada num gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo (A \u201c\u00e1rea\u201d deve ser calculada em unidades de velocidade x unidades de tempo).<\/li>\n<li>Suponha que esta \u00e1rea representa a dist\u00e2ncia total percorrida, mesmo quando a velocidade n\u00e3o \u00e9 constante.<br \/>\nDesenhe um gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo, para uma velocidade que cres\u00e7a uniformemente, e trace a \u00e1rea abaixo da linha desenhada.<\/li>\n<li>Prove o \u201cTeorema de Merton\u201d, mostrando que a \u00e1rea obtida \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea abaixo de uma linha de velocidade constante, em que esta seja igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"12574\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12574\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7.png\" data-orig-size=\"1612,1281\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"G2-7\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7-1024x814.png\" class=\"alignright wp-image-12574\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7-300x238.png\" alt=\"G2-7\" width=\"395\" 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por:\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\\left[ {ABEF} \\right]}}}&amp; = &amp;{\\overline {AB} \u00a0\\times \\overline {AF} }\\\\{}&amp; = &amp;{{v_c} \\times \\left( {{t_2} &#8211; {t_1}} \\right)}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Logo,\u00a0a dist\u00e2ncia total percorrida por um objeto a velocidade constante no intervalo \\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\) pode ser expressa pela \u00e1rea abaixo da linha desenhada num gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo:\u00a0\\(d = {A_{\\left[ {ABEF} \\right]}}\\).<\/p>\n<\/p>\n<p><script src=\"https:\/\/tube.geogebra.org\/scripts\/deployggb.js\"><\/script>\r\n<div id=\"ggbApplet\" style=\"float: right; margin-left: 10px;\"><\/div>\r\n<script>\r\nvar parameters = {\r\n\"id\": \"ggbApplet\",\r\n\"width\":395,\r\n\"height\":454,\r\n\"showMenuBar\":false,\r\n\"showAlgebraInput\":false,\r\n\"showToolBar\":false,\r\n\"customToolBar\":\"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 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is3D=is 3D applet using 3D view, AV=Algebra View, SV=Spreadsheet View, CV=CAS View, EV2=Graphics View 2, CP=Construction Protocol, PC=Probability Calculator, DA=Data Analysis, FI=Function Inspector, PV=Python, macro=Macro View\r\nvar views = {'is3D': 0,'AV': 0,'SV': 0,'CV': 0,'EV2': 0,'CP': 0,'PC': 0,'DA': 0,'FI': 0,'PV': 0,'macro': 0};\r\nvar applet = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);\r\nwindow.onload = function() {applet.inject('ggbApplet')};\r\n<\/script>Consideremos agora o objeto animado de uma velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo, cuja representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica est\u00e1 apresentada na anima\u00e7\u00e3o ao lado.<\/p>\n<p>Admitamos ainda que\u00a0e a \u00e1rea abaixo do gr\u00e1fico da nova fun\u00e7\u00e3o\u00a0\\(v\\) e o eixo horizontal continua a representar a dist\u00e2ncia total percorrida no mesmo intervalo de tempo\u00a0\\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\).<\/p>\n<p>Agora, no mesmo intervalo de tempo \\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\), a \u00e1rea abaixo do gr\u00e1fico da nova fun\u00e7\u00e3o\u00a0\\(v\\) e o eixo horizontal \u00e9 dada por:\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\\left[ {ABCD} \\right]}}}&amp; = &amp;{\\frac{{\\overline {AD} \u00a0+ \\overline {BC} }}{2} \\times \\overline {AB} }\\\\{}&amp; = &amp;{\\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \\times \\left( {{t_2} &#8211; {t_1}} \\right)}\\\\{}&amp; = &amp;{{v_m} \\times \\left( {{t_2} &#8211; {t_1}} \\right)}\\end{array}\\]onde\u00a0\\({v_m} = \\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\\) \u00e9 a velocidade m\u00e9dia do objeto no intervalo\u00a0\\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\).<\/p>\n<p>Ora, a \u00e1rea do trap\u00e9zio [ABCD] \u00e9 igual\u00a0\u00e0 \u00e1rea do ret\u00e2ngulo [ABEF] (selecione &#8220;Mostrar velocidade m\u00e9dia&#8221;) se e s\u00f3 se\u00a0os tri\u00e2ngulos [DFM] e [CEM] forem\u00a0congruentes, o que implica que M seja o ponto m\u00e9dio do segmento de reta [CD].<\/p>\n<p>Assim, ter\u00e1 de ser\u00a0\\(M\\left( {\\frac{{{t_1} + {t_2}}}{2},\\;\\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}} \\right)\\) e, portanto, conclui-se que \\(\\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = {v_c} = {v_m}\\), o que comprova o &#8220;Teorema de Merton&#8221;.<\/p>\n<\/p>\n<h6>Desafio 2<\/h6>\n<p>Em <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em>, afirma Galileu: \u201c\u2026tanto quanto se saiba ainda ningu\u00e9m tinha verificado que as dist\u00e2ncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os n\u00fameros \u00edmpares come\u00e7ando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7\u2026) \u2026\u201d.<\/p>\n<p>A \u00e1rea abaixo do gr\u00e1fico da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo representa a dist\u00e2ncia percorrida durante um dado intervalo de tempo. Utilizando esse facto, prove que as dist\u00e2ncias de queda de um objeto, em sucessivos intervalos de tempo, est\u00e3o entre si como os quocientes dos n\u00fameros \u00edmpares.<\/p>\n<\/p>\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"12575\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12575\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8.png\" data-orig-size=\"798,504\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Gr\u00e1fico Desafio 2\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8.png\" class=\"alignright wp-image-12575\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8-300x189.png\" alt=\"Gr\u00e1fico Desafio 2\" width=\"460\" height=\"291\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8-300x189.png 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8-768x485.png 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8.png 798w\" sizes=\"auto, (max-width: 460px) 100vw, 460px\" \/><\/a>De acordo com o que foi visto na resolu\u00e7\u00e3o do Desafio 1, a dist\u00e2ncia, \\(d\\), percorrida pelo corpo, em queda a partir do repouso, no intervalo de tempo \\(\\left[ {0,\\;{t_1}} \\right]\\) pode ser expressa pela \u00e1rea do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [OAA&#8217;]:\\[d = {A_{\\left[ {OAA&#8217;} \\right]}} = \\frac{{{v_1} &#8211; 0}}{2} \\times {t_1} = \\frac{{{v_1}}}{2} \\times {t_1}\\]<\/p>\n<\/p>\n<p>Nos intervalos subsequentes,\u00a0assinalados na representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica, as dist\u00e2ncias percorridas em cada um deles\u00a0pode tamb\u00e9m ser expressa pela \u00e1rea dos correspondentes trap\u00e9zios ret\u00e2ngulos:\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{{d_{\\left[ {{t_1},\\;2{t_1}} \\right]}} = {A_{\\left[ {ABB&#8217;A&#8217;} \\right]}} = \\frac{{2{v_1} + {v_1}}}{2} \\times \\left( {2{t_1} &#8211; {t_1}} \\right) = 3 \\times \\frac{{{v_1}}}{2} \\times {t_1} = 3d}\\\\{{d_{\\left[ {2{t_1},\\;3{t_1}} \\right]}} = {A_{\\left[ {BCC&#8217;B&#8217;} \\right]}} = \\frac{{3{v_1} + 2{v_1}}}{2} \\times \\left( {3{t_1} &#8211; 2{t_1}} \\right) = 5 \\times \\frac{{{v_1}}}{2} \\times {t_1} = 5d}\\\\{{d_{\\left[ {3{t_1},\\;4{t_1}} \\right]}} = {A_{\\left[ {CDD&#8217;C&#8217;} \\right]}} = \\frac{{4{v_1} + 3{v_1}}}{2} \\times \\left( {4{t_1} &#8211; 3{t_1}} \\right) = 7 \\times \\frac{{{v_1}}}{2} \\times {t_1} = 7d}\\end{array}\\]<\/p>\n<\/p>\n<div id=\"attachment_12576\" style=\"width: 210px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8b.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12576\" data-attachment-id=\"12576\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12576\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8b.jpg\" data-orig-size=\"200,250\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Deslocamentos Sucessivos\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"&lt;p&gt;Desprezando a a\u00e7\u00e3o do ar,um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos n\u00fameros \u00edmpares.&lt;\/p&gt;\n\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8b.jpg\" class=\"size-full wp-image-12576\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-8b.jpg\" alt=\"Desprezando a a\u00e7\u00e3o do ar,um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos n\u00fameros \u00edmpares.\" width=\"200\" height=\"250\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12576\" class=\"wp-caption-text\">Desprezando a a\u00e7\u00e3o do ar, um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos n\u00fameros \u00edmpares.<\/p><\/div>\n<p>Generalizando, para o intervalo\u00a0\\(\\left[ {\\left( {n &#8211; 1} \\right){t_1},\\;n{t_1}} \\right]\\), com\u00a0\\(n \\in \\mathbb{N}\\), temos:<\/p>\n<p>\\[{d_{\\left[ {\\left( {n &#8211; 1} \\right){t_1},\\;n{t_1}} \\right]}} = \\frac{{n{v_1} + \\left( {n &#8211; 1} \\right){v_1}}}{2} \\times \\left( {n{t_1} &#8211; \\left( {n &#8211; 1} \\right){t_1}} \\right) = \\left( {2n &#8211; 1} \\right) \\times \\frac{{{v_1}}}{2} \\times {t_1} = \\left( {2n &#8211; 1} \\right)d\\]<\/p>\n<\/p>\n<p>Em s\u00edntese, temos:<\/p>\n<p>\\[\\begin{array}{*{20}{c}}{Intervalo\\;de\\;tempo}&amp;{Dist\u00e2ncia\\;percorrida}\\\\\\hline{\\left[ {0,\\;{t_1}} \\right]}&amp;d\\\\{\\left[ {{t_1},\\;2{t_1}} \\right]}&amp;{3d}\\\\{\\left[ {2{t_1},\\;3{t_1}} \\right]}&amp;{5d}\\\\{\\left[ {3{t_1},\\;4{t_1}} \\right]}&amp;{7d}\\\\ \\ldots &amp; \\ldots \\\\{\\left[ {\\left( {n &#8211; 1} \\right){t_1},\\;n{t_1}} \\right]}&amp;{\\left( {2n &#8211; 1} \\right)d}\\end{array}\\]<\/p>\n<\/p>\n<p>Assim, tal como a figura sugere (atente na decomposi\u00e7\u00e3o dos trap\u00e9zios em tr\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos congruentes [com\u00a0\u00e1rea\u00a0\\(d\\)]), conclui-se:<\/p>\n<blockquote>\n<p>&#8230;as dist\u00e2ncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os n\u00fameros \u00edmpares come\u00e7ando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7\u2026) \u2026<\/p>\n<\/blockquote>\n<h6>Desafio 3<\/h6>\n<p>Mostre que a express\u00e3o\u00a0\\({v_{m\u00e9d}} = \\frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2}\\) \u00e9 equivalente \u00e0 &#8220;Regra de Merton&#8221;.<\/p>\n<\/p>\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<blockquote>\n<p>A dist\u00e2ncia percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, \u00e9 igual \u00e0 dist\u00e2ncia que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual \u00e0 velocidade m\u00e9dia durante esse tempo.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7b.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"12577\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12577\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7b.png\" data-orig-size=\"599,576\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"G2-7b\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7b.png\" class=\"alignright wp-image-12577\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7b-300x288.png\" alt=\"G2-7b\" width=\"400\" height=\"385\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7b-300x288.png 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/G2-7b.png 599w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/a>Consideremos a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica apresentada na figura \u00e0 direita, relativa ao movimento de um objeto animado com velocidade constante \\({v_c}\\) e de outro animado com\u00a0velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo, os quais percorrem a mesma dist\u00e2ncia no intervalo\u00a0\\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\).<\/p>\n<p>De acordo com o que j\u00e1 foi apurado na resolu\u00e7\u00e3o do Desafio 1, no intervalo de tempo\u00a0\\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\),\u00a0a dist\u00e2ncia percorrida pelo objeto animado com velocidade constante \\({v_c}\\) \u00e9\u00a0expressa por \\[d = {A_{\\left[ {ABEF} \\right]}} = {v_c} \\times \\left( {{t_2} &#8211; {t_1}} \\right)\\]<\/p>\n<\/p>\n<p>No no mesmo intervalo de tempo \\(\\left[ {{t_1},\\;{t_2}} \\right]\\), o objeto animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo pode ser expressa por\u00a0\\[\\begin{array}{*{20}{l}}{d = {A_{\\left[ {ABCD} \\right]}}}&amp; = &amp;{\\frac{{\\overline {AD} \u00a0+ \\overline {BC} }}{2} \\times \\overline {AB} }\\\\{}&amp; = &amp;{\\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \\times \\left( {{t_2} &#8211; {t_1}} \\right)}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Das duas igualdades anteriores, resulta:\\[\\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = {v_c}\\]<\/p>\n<p>Ora, \\({{v_1}}\\) e \\({{v_2}}\\) s\u00e3o, respetivamente, a <em>velocidade inicial<\/em> e a <em>velocidade final<\/em>, no intervalo considerado, do objeto animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo.<\/p>\n<p>Assim, conclui-se:\\[\\frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2} = {v_c} = {v_{m\u00e9dia}}\\]<\/p>\n<p>O que \u00e9 equivalente\u00a0ao &#8220;Teorema de Merton&#8221;.<\/p>\n<\/p>\n<h6>Desafio 4<\/h6>\n<p>Para qualquer quantidade que varie uniformemente, o valor m\u00e9dio \u00e9 igual a metade da soma do seu valor inicial com o seu valor final. Verifique esta express\u00e3o relativamente a qualquer grandeza \u2013 por exemplo:<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-roman;\">\n<li>Qual \u00e9 a idade m\u00e9dia de um grupo de pessoas que t\u00eam, cada uma, as idades de 15, 16, 17, 18 e 19 anos?<\/li>\n<li>Qual \u00e9 o sal\u00e1rio m\u00e9dio de uma pessoa, ao longo de cinco anos, se aquele crescer constantemente desde 50000 \u20ac por ano, no in\u00edcio, at\u00e9 90000 \u20ac por ano, no fim?<\/li>\n<\/ol>\n<p>Demonstre esta propriedade usando o conceito de progress\u00e3o aritm\u00e9tica.<br \/>\nTenha em considera\u00e7\u00e3o que a soma dos primeiros \\(n\\) termos de uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica \\(\\left( {{u_n}} \\right)\\) \u00e9 dada por \\({S_n} = \\frac{{{u_1} + {u_n}}}{2} \\times n\\).<\/p>\n<\/p>\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p>A idade m\u00e9dia do grupo de pessoas \u00e9 \\(\\overline x \u00a0= \\frac{{15 + 16 + 17 + 18 + 19}}{5} = \\frac{{85}}{5} = 17\\) anos.<\/p>\n<p>A quantidade em causa varia uniformemente: \\[\\begin{array}{*{20}{c}}{15}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 1}}&amp;{16}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 1}}&amp;{17}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 1}}&amp;{18}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 1}}&amp;{19}\\end{array}\\]<\/p>\n<p>Usando a express\u00e3o, vem \\(\\overline x \u00a0= \\frac{{15 + 19}}{2} = 17\\) anos.<\/p>\n<\/p>\n<p>O sal\u00e1rio m\u00e9dio \u00e9 \\(\\overline x \u00a0= \\frac{{50000 + 60000 + 7000 + 80000 + 90000}}{5} = \\frac{{350000}}{5} = 70000\\) euros por ano.<\/p>\n<p>A quantidade em causa varia uniformemente: \\[\\begin{array}{*{20}{c}}{50000}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 10000}}&amp;{60000}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 10000}}&amp;{70000}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 10000}}&amp;{80000}&amp;{\\underbrace \u00a0\\to _{ + 10000}}&amp;{90000}\\end{array}\\].<\/p>\n<p>Usando a express\u00e3o, vem \\(\\overline x \u00a0= \\frac{{50000 + 90000}}{2} = 70000\\) euros por ano.<\/p>\n<\/p>\n<p>Se uma quantidade varia uniformemente, ent\u00e3o os seus valores (ordenados) definem uma sequ\u00eancia constitu\u00edda pelos \\(n\\) primeiros termos de uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica.<\/p>\n<p>Seja \\({x_1},\\;{x_2},\\;{x_3},\\; \\ldots ,\\;{x_n}\\) essa sequ\u00eancia dos \\(n\\) primeiros termos de uma dada progress\u00e3o aritm\u00e9tica.<\/p>\n<p>Assim, a m\u00e9dia desses \\(n\\) valores \u00e9:\\[\\overline x \u00a0= \\frac{{{S_n}}}{n} = \\frac{{\\frac{{{x_1} + {x_n}}}{2} \\times n}}{n} = \\frac{{{x_1} + {x_n}}}{2} = \\frac{{{x_{inicial}} + {x_{final}}}}{2}\\]<\/p>\n<\/p>\n<h6>Desafio 5<\/h6>\n<div id=\"attachment_12578\" style=\"width: 310px\" class=\"wp-caption alignright\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12578\" data-attachment-id=\"12578\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12578\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track.jpg\" data-orig-size=\"959,768\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"959px-Rocket_sled_track\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track.jpg\" class=\"wp-image-12578 size-medium\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track-300x240.jpg\" alt=\"959px-Rocket_sled_track\" width=\"300\" height=\"240\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track-300x240.jpg 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track-768x615.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/959px-Rocket_sled_track.jpg 959w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12578\" class=\"wp-caption-text\">John Paul Stapp pilota o tren\u00f3 a foguete na Base A\u00e9rea Edwards<\/p><\/div>\n<p>Numa experi\u00eancia realizada no Centro de Desenvolvimento da <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Holloman_Air_Force_Base\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Base A\u00e9rea de Holloman<\/a>, em Alamogordo, Novo M\u00e9xico, em 19 de mar\u00e7o de 1954, o Tenente-coronel <a href=\"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/John_Paul_Stapp\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">John Paul Stapp<\/a>, instalado a bordo de um tren\u00f3 munido de um motor a jacto, alcan\u00e7ou a velocidade de 632 milhas\/hora (283 m\/s). Correndo sobre carris e impulsionado por nove foguetes, o tren\u00f3 atingiu a sua velocidade m\u00e1xima em 5 segundos. Stapp resistiu em seguida a uma acelera\u00e7\u00e3o m\u00e1xima de 22 <em>g<\/em>, ao abrandar o seu movimento at\u00e9 ao repouso num intervalo de tempo de 1,5 segundos (1 <em>g<\/em> \u00e9 uma acelera\u00e7\u00e3o igual em intensidade \u00e0 que \u00e9 devida \u00e0 gravidade; 22 <em>g<\/em> significa, portanto, uma acelera\u00e7\u00e3o de \\(22 \\times {a_g}\\)).<\/p>\n<ol style=\"list-style-type: lower-alpha;\">\n<li>Calcule a acelera\u00e7\u00e3o m\u00e9dia durante a primeira parte do percurso, isto \u00e9, aquela que se estende desde o repouso at\u00e9 ao atingir da velocidade m\u00e1xima.<\/li>\n<li>Qual a dist\u00e2ncia percorrida pelo tren\u00f3, antes de atingir a sua velocidade m\u00e1xima?<\/li>\n<li>Determine a acelera\u00e7\u00e3o <em>m\u00e9dia<\/em> durante a travagem.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p>A\u00a0acelera\u00e7\u00e3o m\u00e9dia durante a primeira parte do percurso \u00e9 \\({a_{(I)m\u00e9d}} = \\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}} = \\frac{{283 &#8211; 0}}{{5 &#8211; 0}} = 56,6\\;m\/{s^2}\\).<\/p>\n<p>At\u00e9 atingir a sua velocidade m\u00e1xima, o tren\u00f3 percorreu uma dist\u00e2ncia de\u00a0\\(\\Delta d = {v_{m\u00e9d}} \\times \\Delta t = \\frac{{283 &#8211; 0}}{2} \\times \\left( {5 &#8211; 0} \\right) = 707,5\\;m\\).<br \/>\n(ou \\(\\Delta d = \\frac{1}{2}{a_{(I)m\u00e9d}} \\times {\\left( {\\Delta t} \\right)^2} = \\frac{1}{2} \\times 56,6 \\times {\\left( {5 &#8211; 0} \\right)^2} = 707,5\\;m\\))<\/p>\n<p>Durante a travagem, a acelera\u00e7\u00e3o m\u00e9dia foi de\u00a0\\({a_{(II)m\u00e9d}} = \\frac{{\\Delta v}}{{\\Delta t}} = \\frac{{0 &#8211; 283}}{{1,5}} \\approx \u00a0&#8211; 188,7\\;m\/{s^2}\\).<\/p>\n<\/p>\n<h6>Desafio 6<\/h6>\n<div id=\"attachment_12580\" style=\"width: 730px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" aria-describedby=\"caption-attachment-12580\" data-attachment-id=\"12580\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12580\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho.png\" data-orig-size=\"1491,639\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Settle_aparelho\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"&lt;p&gt;(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.&lt;\/p&gt;\n\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-1024x439.png\" class=\"size-large wp-image-12580\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-1024x439.png\" alt=\"(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.\" width=\"720\" height=\"309\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-1024x439.png 1024w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-300x129.png 300w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho-768x329.png 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Settle_aparelho.png 1491w\" sizes=\"auto, (max-width: 720px) 100vw, 720px\" \/><\/a><p id=\"caption-attachment-12580\" class=\"wp-caption-text\">(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.<\/p><\/div>\n<table class=\" alignright\" style=\"width: 450px;\">\n<thead>\n<tr>\n<td><strong>Dist\u00e2ncia <\/strong>(p\u00e9s)<br \/>\n(1 p\u00e9 = 30,5 cm)<\/td>\n<td><strong>Tempo<\/strong><br \/>\n(medido em mililitros de \u00e1gua)<\/td>\n<td><strong>\\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>15<\/td>\n<td>90<\/td>\n<td>0,00185<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>13<\/td>\n<td>84<\/td>\n<td>\u00a00,00184<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>10<\/td>\n<td>72<\/td>\n<td>\u00a00,00193<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>7<\/td>\n<td>62<\/td>\n<td>\u00a00,00182<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>52<\/td>\n<td>\u00a00,00185<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>0,00188<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>23,5<\/td>\n<td>0,00181<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>A tabela regista os resultados de uma repeti\u00e7\u00e3o da experi\u00eancia de Galileu, na qual o \u00e2ngulo de inclina\u00e7\u00e3o era de \\(3,73^\\circ \\) (Thomas B. Settle, volume 133 da revista <em>Science<\/em>, p\u00e1gs. 19-23, 6 de janeiro de 1961). Nessa experi\u00eancia foi utilizado um \u201crel\u00f3gio de \u00e1gua\u201d, com reservat\u00f3rio mantido a n\u00edvel constante.<\/p>\n<p>Ser\u00e1 que estes resultados comprovam realmente a conclus\u00e3o de Galileu, de que \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\)\u00a0\u00e9 constante?<\/p>\n<\/p>\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n<p>Os quocientes \\(\\frac{d}{{{t^2}}}\\)\u00a0foram acrescentados \u00e0 tabela.<\/p>\n<p>Ao verificar a sua hip\u00f3tese de que o movimento de queda livre \u00e9 uniformemente acelerado, Galileu admitiu a suposi\u00e7\u00e3o n\u00e3o provada de que os resultados para pequenos \u00e2ngulos podem ser extrapolados para os grandes \u00e2ngulos e que a acelera\u00e7\u00e3o da esfera \u00e9 constante se a acelera\u00e7\u00e3o na queda livre o for, embora o valor das duas constantes n\u00e3o seja o mesmo.<\/p>\n<p>Por isso, para os seus prop\u00f3sitos, era suficiente provar a hip\u00f3tese de que a acelera\u00e7\u00e3o \u00e9 constante para qualquer corpo, rolando ou caindo. Esta \u00e9 a primeira consequ\u00eancia do trabalho de Galileu que, de forma apenas particular, \u00e9 verificado pelos resultados parcelares desta experi\u00eancia, bem como por os de todas as experi\u00eancias bem-sucedidas j\u00e1 efetuadas.<\/p>\n<p>Mais relevante do que a elevada const\u00e2ncia dos resultados de experi\u00eancias feitas, quer se Galileu realizou ou n\u00e3o a experi\u00eancia que descreveu, \u00e9 o m\u00e9todo novo introduzido por si, t\u00e3o importante para a investiga\u00e7\u00e3o cient\u00edfica e que tem permanecido devido \u00e0 sua efic\u00e1cia na maioria dos casos em que \u00e9 empregue.<\/p>\n<p>Apresenta-se seguidamente a conclus\u00e3o de Thomas B. Settle a prop\u00f3sito da sua repeti\u00e7\u00e3o da experi\u00eancia de Galileu, descrita no artigo \u201c<a href=\"http:\/\/www.fondazionegalileogalilei.it\/attivita\/eventi\/05_07_06\/articoli\/evenart1.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">An Experiment in the History of Science \u2013 With a simple but ingenius device Galileo could obtain relatively precise time measurements<\/a>\u201d, publicado no <a href=\"http:\/\/science.sciencemag.org\/content\/133\/3445\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">volume 133 da revista <em>Science<\/em><\/a>, p\u00e1gs. 19-23, 6 de janeiro de 1961.<\/p>\n<div id=\"CSettle-link-12596\" class=\"sh-link CSettle-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('CSettle', 12596, 'Mostrar Conclus\u00e3o', 'Ocultar Conclus\u00e3o'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"CSettle-toggle-12596\">Mostrar Conclus\u00e3o<\/span><\/a><\/div><div id=\"CSettle-content-12596\" class=\"sh-content CSettle-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<blockquote>\n<p>Tentei enfatizar a simplicidade e a facilidade com que estes resultados foram obtidos. O \u00fanico esfor\u00e7o prolongado colocado no equipamento foi em rela\u00e7\u00e3o ao plano, e apenas aos limites j\u00e1 mencionados. E, exceto no esfor\u00e7o desenvolvido na minha pr\u00f3pria coordena\u00e7\u00e3o ouvido m\u00e3o, mantive uma atitude deliberadamente arrogante para com os procedimentos e medidas. Por exemplo: o bloco de paragem e a posi\u00e7\u00e3o inicial foram localizados nas marcas da rampa apenas a olho; a leitura da altura vertical n\u00e3o foi feita t\u00e3o finamente quanto o tempo e a paci\u00eancia teriam permitido; e, estou certo, a medida do tempo n\u00e3o foi levada a um t\u00e3o elevado refinamento, quanto um vaso maior, um tubo menor e uma &#8220;balan\u00e7a&#8221; mais precisa teriam permitido. Mas sem conhecimento mais preciso das ferramentas de Galileu do que o mencionado na passagem citada, procurei que houvessem hip\u00f3teses razo\u00e1veis para a acumula\u00e7\u00e3o de &#8220;erros e inexatid\u00f5es&#8221;. E ainda assim, tal n\u00e3o aconteceu.<\/p>\n<p>Mas como? Quando referi que Galileu trabalhou com duas inc\u00f3gnitas, disse-o de um ponto de vista l\u00f3gico. No momento em que a teoria e a experi\u00eancia tinham evolu\u00eddo para o n\u00edvel impl\u00edcito no <a href=\"https:\/\/play.google.com\/books\/reader?id=tG1bAAAAQAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;output=reader&amp;hl=pt_PT&amp;pg=GBS.PP1\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Discurso<\/em><\/a>, Galileu teria tido confian\u00e7a suficiente no valor independente de cada uma, independentemente da sua confirma\u00e7\u00e3o m\u00fatua. O facto de terem coincidido t\u00e3o bem acrescentou mais uma entrada \u00e0 lista dessas ci\u00eancias em que a demonstra\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica se adequa aos fen\u00f3menos f\u00edsicos. Contudo, na altura n\u00e3o foi t\u00e3o simples quanto agora parece. A ci\u00eancia apenas poderia crescer sobre os ossos de um dos preconceitos mais profundos da Idade M\u00e9dia, que considerava todos os daqui de baixo como corruptos e com uma car\u00eancia inata da perfei\u00e7\u00e3o, matem\u00e1tica ou n\u00e3o, do mundo real. Algures na outra grande obra de Galileu, o <a href=\"https:\/\/books.google.pt\/books?id=ST7Y9FFHhrEC\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><em>Di\u00e1logo<\/em><\/a>, Simpl\u00edcio \u00e9 levado a expressar esta opini\u00e3o, dizendo: &#8220;Na ci\u00eancia f\u00edsica n\u00e3o h\u00e1 motivo para procurar precis\u00e3o matem\u00e1tica de provas&#8221;. Ao chegar a esta excelente aproxima\u00e7\u00e3o \u00e0 perfei\u00e7\u00e3o no mundo f\u00edsico, Galileu deu um passo longo e importante nesta fase inicial da ci\u00eancia experimental.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p>Apresenta-se ainda\u00a0a<a href=\"https:\/\/web.archive.org\/web\/20130511050827\/http:\/\/www.albany.edu\/%7Escifraud\/data\/sci_fraud_0372.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> cr\u00edtica<\/a> de <a href=\"https:\/\/web.archive.org\/web\/20160620160447\/http:\/\/www.albany.edu:80\/~ach13\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">A. C. Higgins<\/a> (Associate Professor (Emeritus), Sociology of Science, <a href=\"http:\/\/www.albany.edu\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">University at Albany<\/a>) ao artigo de Thomas B. Settle.<\/p>\n<div id=\"CCritica-link-12596\" class=\"sh-link CCritica-link sh-hide\"><a href=\"#\" onclick=\"showhide_toggle('CCritica', 12596, 'Mostrar Cr\u00edtica', 'Ocultar Cr\u00edtica'); return false;\" aria-expanded=\"false\"><span id=\"CCritica-toggle-12596\">Mostrar Cr\u00edtica<\/span><\/a><\/div><div id=\"CCritica-content-12596\" class=\"sh-content CCritica-content sh-hide\" style=\"display: none;\"><\/p>\n<blockquote>\n<p>Este artigo procura determinar, em definitivo, se Galileu efetivamente realizou as experi\u00eancias que alegou ter feito para &#8220;provar&#8221; a sua lei da acelera\u00e7\u00e3o uniforme. Galileu afirmou que havia demonstrado a precis\u00e3o da sua lei atrav\u00e9s do uso de um plano inclinado, no qual lhe seria poss\u00edvel mostrar que a dist\u00e2ncia \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o do tempo. Settle est\u00e1 interessado em mostrar que Galileu poderia, de facto, t\u00ea-lo demonstrado: considera que Galileu foi um homem honesto. Settle foca-se no seguinte: &#8220;(estas medidas)\u2026 pesam bastante, assumindo uma import\u00e2ncia basilar, para qualquer avalia\u00e7\u00e3o adequada do estatuto l\u00f3gico-cient\u00edfico da exposi\u00e7\u00e3o do movimento naturalmente acelerado de Galileu, a sua verdadeira contribui\u00e7\u00e3o para a ci\u00eancia, ou os seus pontos de vista sobre a natureza da ci\u00eancia e a necessidade da experi\u00eancia.&#8221; Em qualquer caso, o autor reconstr\u00f3i o aparelho que Galileu havia constru\u00eddo e, sem grandes surpresas, obt\u00e9m resultados dentro dos &#8220;limites de precis\u00e3o.&#8221;<\/p>\n<p>Settle procura apenas mostrar que era poss\u00edvel tudo ter acontecido como Galileu afirmara. Contudo, n\u00e3o pode provar se Galileu realizou, de facto, a experi\u00eancia. Galileu chegou \u00e0 sua equa\u00e7\u00e3o sem qualquer tipo de demonstra\u00e7\u00e3o, tendo-a promovido durante anos porque estava absolutamente convencido da sua veracidade. N\u00e3o precisava de qualquer demonstra\u00e7\u00e3o para saber que estava certo. Ser\u00e1 que Galileu realmente fez a experi\u00eancia? Essencialmente, isso n\u00e3o tem grande import\u00e2ncia. Considere os coment\u00e1rios de <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/I._Bernard_Cohen\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">I. Bernard Cohen<\/a> sobre a mesma experi\u00eancia (em &#8220;Galileu&#8221;, em <a href=\"https:\/\/archive.org\/details\/livesinscienceas010457mbp\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Lives In Science &#8211; A Scientific American Book<\/a> (p. 14)): &#8220;Galileu descobriu que os tempos estavam de acordo com a lei, sem diferen\u00e7as que &#8216;valessem a pena mencionar.&#8217; A conclus\u00e3o de que n\u00e3o &#8216;valeria a pena mencionar&#8217; as diferen\u00e7as demonstra a firmeza com que havia estabelecido, de antem\u00e3o, a sua solu\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que as condi\u00e7\u00f5es inadequadas da sua experi\u00eancia nunca produziriam uma lei exata. Na verdade, as discrep\u00e2ncias eram t\u00e3o grandes que um correspondente contempor\u00e2neo, <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Marin_Mersenne\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">P\u00e8re Mersenne<\/a>, n\u00e3o conseguiu reproduzir os resultados descritos por Galileu, tendo duvidado se ele teria sequer realizado a experi\u00eancia.&#8221;<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><\/div>\n<\/p>\n<p><div class='GTTabsNavigation' style='display:none'><span class='GTTabs_nav_prev'><a href='#GTTabs_ul_12596' onClick='GTTabs_show(2,12596)'>&lt;&lt; Galileu descreve o movimento<\/a><\/span><\/div><\/div>\n\n<\/p>\n<\/p>\n<hr \/>\n<h1>Poema para Galileu<\/h1>\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"12570\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12570\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho.jpg\" data-orig-size=\"1131,4512\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"R\u00f3mulo de Carvalho\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho-257x1024.jpg\" class=\"alignright wp-image-12570\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho-257x1024.jpg\" alt=\"R\u00f3mulo de Carvalho\" width=\"100\" height=\"399\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho-257x1024.jpg 257w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho-75x300.jpg 75w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho-768x3064.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/RomuloCarvalho.jpg 1131w\" sizes=\"auto, (max-width: 100px) 100vw, 100px\" \/><\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"12573\" data-permalink=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/?attachment_id=12573\" data-orig-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a.jpg\" data-orig-size=\"1119,2448\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;Wellcome Library, London&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;V0018717 Galileo Galilei at his trial\\nCredit: Wellcome Library, London. Wellcome Images\\nimages@wellcome.ac.uk\\nhttp:\/\/wellcomeimages.org\\nGalileo Galilei at his trial by the Inquisition in Rome in 1633. Galileo pushes away the Bible.\\nPublished:  - \\n\\nCopyrighted work available under Creative Commons Attribution only licence CC BY 4.0 http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by\/4.0\/&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;Copyrighted work available under Creative Commons Attribution only licence CC BY 4.0 http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by\/4.0\/&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;,&quot;orientation&quot;:&quot;0&quot;}\" data-image-title=\"Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717 (1)_a\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"&lt;p&gt;V0018717 Galileo Galilei at his trial&lt;br \/&gt;\nCredit: Wellcome Library, London. Wellcome Images&lt;br \/&gt;\nimages@wellcome.ac.uk&lt;br \/&gt;\nhttp:\/\/wellcomeimages.org&lt;br \/&gt;\nGalileo Galilei at his trial by the Inquisition in Rome in 1633. Galileo pushes away the Bible.&lt;br \/&gt;\nPublished:  &amp;#8211; &lt;\/p&gt;\n&lt;p&gt;Copyrighted work available under Creative Commons Attribution only licence CC BY 4.0 http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by\/4.0\/&lt;\/p&gt;\n\" data-large-file=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a-468x1024.jpg\" class=\"alignleft wp-image-12573\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a-137x300.jpg\" alt=\"V0018717 Galileo Galilei at his trial Credit: Wellcome Library, London. Wellcome Images images@wellcome.ac.uk http:\/\/wellcomeimages.org Galileo Galilei at his trial by the Inquisition in Rome in 1633. Galileo pushes away the Bible. Published: - Copyrighted work available under Creative Commons Attribution only licence CC BY 4.0 http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by\/4.0\/\" width=\"220\" height=\"481\" srcset=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a-137x300.jpg 137w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a-768x1680.jpg 768w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a-468x1024.jpg 468w, https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/Galileo_Galilei_at_his_trial_Wellcome_V0018717-1_a.jpg 1119w\" sizes=\"auto, (max-width: 220px) 100vw, 220px\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><style>\n       .errordiv { padding:10px; margin:10px; border: 1px solid #555555;color: #000000;background-color: #f8f8f8; width:500px; }#advanced_iframe {visibility:visible;opacity:1;vertical-align:top;}.ai-info-bottom-iframe { position: fixed; z-index: 10000; bottom:0; left: 0; margin: 0px; text-align: center; width: 100%; background-color: #ff9999; padding-left: 5px;padding-bottom: 5px; border-top: 1px solid #aaa } a.ai-bold {font-weight: bold;}#ai-layer-div-advanced_iframe p {height:100%;margin:0;padding:0}<\/style><script type=\"text\/javascript\">var ai_iframe_width_advanced_iframe = 0;var ai_iframe_height_advanced_iframe = 0;var aiOnloadScrollTop=\"true\";var aiExtraSpace=5;var aiShowDebug=false;\n\t\tif (typeof aiReadyCallbacks === 'undefined') {\n\t\t\tvar aiReadyCallbacks = [];\n\t\t} else if (!(aiReadyCallbacks instanceof Array)) {\n\t\t\tvar aiReadyCallbacks = [];\n\t\t}    function aiShowIframeId(id_iframe) { jQuery(\"#\"+id_iframe).css(\"visibility\", \"visible\");    }    function aiResizeIframeHeight(height) { aiResizeIframeHeight(height,advanced_iframe); }    function aiResizeIframeHeightId(height,width,id) {aiResizeIframeHeightById(id,height);}<\/script><iframe id=\"advanced_iframe\"  name=\"advanced_iframe\"  src=\"https:\/\/purl.pt\/12157\/1\/poesia\/linhas-de-forca\/poema-galileu1.html\"  width=\"570px\"  height=\"910px\"  scrolling=\"no\"  frameborder=\"0\"  border=\"0\"  allowtransparency=\"true\"  loading=\"lazy\"  style=\";border-width: 0px;;border: none;;width:570px;;height:910px;\"  onload='aiResizeIframe(this, &quot;false&quot;,&quot;1&quot;)' ><\/iframe><script type=\"text\/javascript\">var ifrm_advanced_iframe = document.getElementById(\"advanced_iframe\");var hiddenTabsDoneadvanced_iframe = false;\nfunction resizeCallbackadvanced_iframe() {}<\/script><script type=\"text\/javascript\"><\/script><p style=\"display:block !important; visibility:visible !important;margin: -18px 14px 0 0;padding-left: 3px;padding-top:3px;background: white; overflow: hidden; position: relative; line-height:15px;width: fit-content;\"><small style=\"display:block !important;visibility:visible !important\">powered by Advanced iFrame<\/small><\/p><\/p>\n<\/p>\n<audio class=\"wp-audio-shortcode\" id=\"audio-12596-1\" preload=\"auto\" style=\"width: 100%;\" controls=\"controls\"><source type=\"audio\/mpeg\" src=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/M\u00e1rio-Viegas-diz-Ant\u00f3nio-Gede\u00e3o-Poema-para-Galileo.mp3?_=1\" \/><a href=\"https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/M\u00e1rio-Viegas-diz-Ant\u00f3nio-Gede\u00e3o-Poema-para-Galileo.mp3\">https:\/\/www.acasinhadamatematica.pt\/wp-content\/uploads\/2016\/06\/M\u00e1rio-Viegas-diz-Ant\u00f3nio-Gede\u00e3o-Poema-para-Galileo.mp3<\/a><\/audio>\n<blockquote>\n<p><em>Diz a minha m\u00e3e que eu comecei a fazer versos aos 5 anos e aos 10 tive a como\u00e7\u00e3o de ver os primeiros impressos e p\u00fablicos.<br \/>\nEscrever poemas foi sempre para mim um estado de ang\u00fastia, um sofrimento aut\u00eantico. Amorteci todo esse sofrimento durante anos at\u00e9 ao dia em que por motivos dolorosos me desfiz dele por completo na ing\u00e9nua presun\u00e7\u00e3o de que me atrapalhava. Sobre isso passaram\u00a0vinte anos.<\/em><\/p>\n<p><em>Ap\u00f3s eles&#8230; tive tr\u00e1gica conversa comigo mesmo, a s\u00f3s, e resolvi nascer de novo.<\/em><\/p>\n<\/blockquote>\n<p style=\"text-align: right;\"><a href=\"http:\/\/www.romulodecarvalho.net\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">R\u00f3mulo de Carvalho<\/a> (<em>Ant\u00f3nio Gede\u00e3o<\/em>)<\/p>\n<p>Fontes:<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.museogalileo.it\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Museo Galileo<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/portalegalileo.museogalileo.it\/index.html?_ga=1.17954745.1295732646.1464723679\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">GALILEO PORTAL<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/brunelleschi.imss.fi.it\/bibliotecagalileo\/indice.html?_ga=1.184257510.1949932603.1464640419\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo and the Universe of His Books<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/play.google.com\/books\/reader?id=tG1bAAAAQAAJ&amp;printsec=frontcover&amp;output=reader&amp;hl=pt_PT&amp;pg=GBS.PP1\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Mathematical Discourses Concerning Two New Sciences Relating to Mechanicks and Local Motion,: In Four Dialogues.<\/a> I. Of the Resistance of Solids Against Fractions. II. Of the Cause of Their Coherence. III. Of Local Motion, Viz. Equable, and Naturally Accelerate. IV. Of Violent Motion, Or of Projects &#8211; Galileo Galilei John Weston (Master of the Academy at Greenwich.), 1 de janeiro de 1730; J. Hooke, at the Flower-de-Luce, over-against St. Dunstan&#8217;s Church in Fleet-street.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/filosofia.fflch.usp.br\/node\/1954\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Pablo Rub\u00e9n Mariconda<\/a>: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fUiy1kpkn6E\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileu e o di\u00e1logo sobre as Duas Novas Ci\u00eancias<\/a> (filme)<\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/galileoandeinstein.physics.virginia.edu\/tns.htm\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo Galilei, Dialogue Concerning <em>Two New Sciences<\/em><\/a><\/li>\n<li>LACIC &#8211; <a href=\"https:\/\/sites.google.com\/site\/lacicufba\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">LABORAT\u00d3RIO Ci\u00eancia como Cultura<\/a>: <a href=\"https:\/\/sites.google.com\/site\/lacicufba\/abordagem-contextual-do-ensino-de-fisica\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Abordagem Contextual do Ensino de F\u00edsica<br \/>\n<\/a>&gt; <a href=\"https:\/\/sites.google.com\/site\/lacicufba\/abordagem-contextual-do-ensino-de-fisica\/materiais-didaticos\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Materiais Did\u00e1ticos<\/a>: <a href=\"http:\/\/www.lacic.fis.ufba.br\/harvard\/Unidade%201%20Conceitos%20de%20Movimento.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Unidade 1 &#8211; Conceitos de Movimento<\/a>, Projeto F\u00edsica (Funda\u00e7\u00e3o Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1980)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/books.google.pt\/books?id=xnSXSEiExMkC&amp;printsec=frontcover&amp;hl=pt-PT#v=onepage&amp;q&amp;f=false\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">A G\u00eanese do Pensamento Galileano<\/a>, WALTER DUARTE DE ARA\u00daJO FILHO, <a href=\"https:\/\/www.livrariadafisica.com.br\/detalhe_produto.aspx?id=29380\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Livraria da F\u00edsica<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/docplayer.com.br\/4273708-Astronomia-d-i-s-c-i-p-l-i-n-a-galileu-e-a-nova-fisica-autores-auta-stella-medeiros-germano-joel-camara-de-carvalho-filho.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileu e a nova F\u00edsica<\/a>, Auta Stella Medeiros Germano e Joel C\u00e2mara de Carvalho Filho, UFRN &#8211; Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2007<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.dilass.unich.it\/node\/7435\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Michael Segre<\/a>: <a href=\"http:\/\/dfisweb.uefs.br\/caderno\/vol6n12\/Segre.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">O PAPEL DO EXPERIMENTO NA F\u00cdSICA DE GALILEU<br \/>\n<\/a>\u00a0CADERNO DE F\u00cdSICA DA UEFS 06 (01 e 02): 87-114, 2008<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.scielo.br\/pdf\/rbef\/v34n4\/a23v34n4.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Simula\u00e7\u00e3o de experimentos hist\u00f3ricos no ensino de f\u00edsica: uma abordagem computacional das dimens\u00f5es hist\u00f3rica e emp\u00edrica da ci\u00eancia na sala de aula<\/a>, Luiz A. Ribeiro Junior, Marcelo F. Cunha e C\u00e1ssio C. Laranjeiras &#8211; Revista Brasileira de Ensino de F\u00edsica, v. 34, n. 4, 4602 (2012)<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/repositorio.unb.br\/bitstream\/10482\/3096\/1\/2006_Ronaldo%20C%C3%A9sar%20de%20Oliveira%20Paula.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">O Uso de Experimentos Hist\u00f3ricos no Ensino de F\u00edsica: Integrando as Dimens\u00f5es Hist\u00f3rica e Emp\u00edrica da Ci\u00eancia na Sala de Aula<\/a>, Ronaldo C\u00e9sar de Oliveira Paula &#8211; Orientador: Prof. Dr. C\u00e1ssio Costa Laranjeiras, Universidade de Bras\u00edlia, 2006<\/li>\n<li>Vitor Oguri:\u00a0<a href=\"http:\/\/www.revista.vestibular.uerj.br\/artigo\/artigo.php?seq_artigo=25\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Apresenta\u00e7\u00e3o comentada de um teorema cinem\u00e1tico deduzido por Galileu em <em>Duas Novas Ci\u00eancias<\/em><\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Patrick Maher<\/a>: Lecture 25 &#8211; <a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/317\/lectures\/galileo1.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo on Uniform Motion<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Patrick Maher<\/a>: Lecture 26 &#8211; <a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/317\/lectures\/galileo2.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo on Natural and Uniform Acceleration<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Patrick Maher<\/a>: Lecture 27 &#8211; <a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/317\/lectures\/galileo3.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo on Properties of Uniform Acceleration<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Patrick Maher<\/a>: Lecture 28 &#8211; <a href=\"http:\/\/patrick.maher1.net\/317\/lectures\/galileo4.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo\u2019s Experimental Evidence<\/a><\/li>\n<li>NOVA: <a href=\"https:\/\/www.pbs.org\/wgbh\/nova\/physics\/galileo-sobel.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo&#8217;s Place in Science<\/a><\/li>\n<li>NOVA: <a href=\"https:\/\/www.pbs.org\/wgbh\/nova\/physics\/galileo-experiments.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo&#8217;s Experiments<\/a><\/li>\n<li>NOVA: <a href=\"https:\/\/www.pbs.org\/wgbh\/nova\/education\/physics\/galileos-inclined-plane.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo&#8217;s Inclined Plane<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/brunelleschi.imss.fi.it\/itineraries\/pdf\/GalileoBiography.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">How they make me suffer&#8230; &#8211; A short biography of Galileo Galilei<\/a>, Sara Bonechi, Istituto e Museo Di Storia Della Scienza<\/li>\n<li>Wikip\u00e9dia &#8211; <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Galileo_Galilei\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Galileo Galileu<\/a><\/li>\n<li>Wikip\u00e9dia &#8211;\u00a0<a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Scuola_di_Atene\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">La Scuola di Atene<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.maa.org\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Mathematical Association Of America<\/a> &#8211; <a href=\"https:\/\/www.maa.org\/press\/periodicals\/convergence\/mathematical-treasure-peter-apian-s-cosmographia\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Mathematical Treasure: Peter Apian\u2019s Cosmographia<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/purl.pt\/12157\/1\/poesia\/linhas-de-forca\/poema-galileu1.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Poema para Galileu<\/a> &#8211; <a href=\"https:\/\/purl.pt\/12157\/1\/poesia\/linhas-de-forca\/linhas-de-forca.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Linhas de For\u00e7a<\/a> &#8211; <a href=\"http:\/\/www.bnportugal.pt\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Biblioteca Nacional<\/a><\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.romulodecarvalho.net\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">R\u00f3mulo de Carvalho, <em>Ant\u00f3nio Gede\u00e3o, professor, pedagogo, poeta, investigador, historiador, escritor&#8230;<\/em><\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Abordaremos o desenvolvimento de um importante exemplo de investiga\u00e7\u00e3o b\u00e1sica: o estudo dos corpos em queda livre feito por Galileu Galilei. 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