Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

1.   Assinala a alternativa correcta
Para cada uma das questões seguintes, assinala a alternativa correcta (não apresentes cálculos ou justificações).

a)   Qual é a equação adequada ao seguinte problema?
Hoje, o Paulo andou na sua bicicleta. Ontem andou , que são menos  do que andou hoje.

[A]                          [B]                        [C]                   [D]     

b)   As amplitudes de dois ângulos internos de um triângulo são, respectivamente, 55º e 70º.

[A]    O triângulo é obtusângulo.                  [B]    O triângulo é isósceles.  

[C]    O triângulo é escaleno.                        [D]    O triângulo é equilátero.

c)   Considera os ângulos representados na figura ao lado.
A amplitude do ângulo e é:

[A]                                                                                        [B]     

[C]                                                                                        [D]     

d)   As diagonais de um quadrilátero medem 6 cm e 10 cm e não são perpendiculares.
Trata-se de um:

[A]    quadrado;                                                                         [B]    rectângulo;

[C]    losango;                                                                            [D]    paralelogramo obliquângulo.  

2.   Resolve e classifica a seguinte equação:

     

A equação é impossível.

3.   Equaciona e resolve o seguinte problema:
Na figura ao lado, [PQRS] é um paralelogramo.
Qual é o valor de x, em graus?

     

Portanto, .

4.   Na figura está representado um triângulo isósceles [MAR], sendo .
Justificando, determina .

      Num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Logo, .

Por outro lado, a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Logo, .
Finalmente, como os ângulos ARM e ARC são suplementares, temos .

5.   Uma empresa comercializa chocolates numa embalagem com a forma de pirâmide quadrangular regular e recta.
A embalagem tem 8 cm de altura.

a)   Calcula a área da superfície total da embalagem.

      Comecemos por determinar a área da base: .
A área de uma face lateral é: .
Logo, a área pedida é .

b)   Calcula o volume da embalagem.

      O volume da embalagem é .

6.   O Sr. Mata tem um pinhal com uma forma irregular. Para conhecer a sua área, começou por efectuar a decomposição apresentada na figura.

      Calcula a área do pinhal do Sr. Mata, respeitando a decomposição apresentada.

      .
.
.
.

O pinhal do Sr. Mata tem  de área.

7.   Observa a figura ao lado.

      Sabe-se que:

·       O triângulo [ABC] é rectângulo, em C;

·       [CD] é perpendicular a [AB];

·       M é o ponto médio de [AB];

·       ;

·       :

·       .

 

a)   Completa as frases seguintes, de forma a obteres afirmações verdadeiras:

      O segmento [CM] é a mediana do triângulo [ABC] relativa à hipotenusa e divide-o em dois triângulos equivalentes entre si.

      O segmento [CD] é a altura do triângulo [ABC] relativa à hipotenusa e divide-o em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado.

b)   Considera o cone gerado pela rotação do triângulo [BCD] numa volta completa em torno do eixo que contém o segmento de recta [CD].

b1)   Completa a frase seguinte, de forma a obteres uma afirmação verdadeira:

         O cone de revolução obtido tem de altura 4 cm e o diâmetro da base tem 4 cm de comprimento.

b2)   Calcula o volume do cone.

                      O cone tem de volume .

c)   Determina , com aproximação ao milímetro. (Sem aplicação do Teorema de Pitágoras)

      Dado que os triângulos [ACD] e [ABC] são semelhantes, então os lados correspondentes têm comprimentos directamente proporcionais: .
(Destaca esses triângulos e alinha-os de forma que os lados correspondentes fiquem paralelos.)
Substituindo os valores conhecidos, vem: .
Logo, .

d)   Justifica que os ângulos  e  são geometricamente iguais.

Sugestão: Repara que  e  são ângulos internos de dois triângulos rectângulos, [BCD] e [ABC], dos quais  é um ângulo interno comum.

      No triângulo rectângulo [BCD], os ângulos  e  são ângulos complementares, isto é,  (1).
No triângulo rectângulo [ABC], os ângulos  e  são ângulos complementares, isto é,  (2).
Conjugando as igualdades (1) e (2), conclui-se que . Logo, .

e)   Determina . (Com aplicação do Teorema de Pitágoras)

      Como M é o ponto médio de [AB], então .
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [CDM], tem-se: .
Assim, temos , pelo que .

 

FIM