Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.   Verdadeiro ou falso?
Preenche com V ou F o quadrado ao lado da frase, consoante a afirmação seja verdadeira ou falsa.

F     A razão do número de quadrados pretos para o total de quadrados é de 1:2.

 

 

      São 5 quadrados pretos num total de 15, logo a razão referida é de 1:3.

F        Se , então o valor da expressão  é 33.

      Se , o valor da expressão é .

V        O número 321000000090000000123 é divisível por 3.

      A soma dos seus algarismos (21) é um múltiplo de 3.

F       

      Porque .

F        A audiência de um programa de televisão é directamente proporcional ao tempo de emissão do mesmo.

      As grandezas não são proporcionais.

F     Apenas um dos gráficos seguintes não exprime proporcionalidade directa.

  

      Apenas o gráfico da direita exprime uma proporcionalidade directa.

2.   O João anotou o 1.º Prémio da 37.ª extracção na própria cautela, mas devido à chuva dois dos algarismos ficaram ilegíveis.

      Apenas se recorda que o 1.º Prémio era um número de cinco algarismos (5 6 8 8 9) múltiplo de 9 e que os algarismos das dezenas e das centenas eram iguais.

      Recorrendo aos critérios de divisibilidade (não à calculadora) e explicando o teu raciocínio, ajuda o João a descobrir o número do 1.º Prémio.

      Como sabemos, um número é divisível por 9 (isto é, é múltiplo de 9) quando a soma dos seus algarismos é múltiplo de 9.

      Ora, a soma dos 3 algarismos conhecidos é .
Como os dois algarismos em falta são iguais, a sua soma será um número par, compreendido entre 0 e 18.
Consequentemente, a soma dos cinco algarismos do 1.º Prémio será um número par entre 20 e 38, inclusive.

      Acontece que os primeiros seis múltiplos de 9 são: 0, 9, 18, 27, 36, 45. Portanto, a soma dos algarismos em falta apenas poderá ser 16, pelo que são dois “8” os dois algarismos ilegíveis.

      Assim, o número 56889 é o 1.º Prémio da 37.ª extracção da Lotaria Popular, de 16 de Setembro de 2004.

3.   Decompõe em factores primos os números 120 e 64, apresentando o resultado com potências.

Justificando, indica qual é o maior número inteiro que é divisor tanto de 120 como de 64.
(Repara nas decomposições em factores primos desses dois números)

                                           Logo,  e .

 

O número procurado apenas poderá ter na sua decomposição em factores primos o factor 2, pois é o único comum nas decomposições de 120 e 64. Como a decomposição de 120 apenas possui 3 factores 2, o maior número inteiro que é divisor tanto de 120 como de 64 é .

4.   O Sr. António possui no seu jardim três canteiros quadrados, com as áreas e a disposição indicadas na figura ao lado.

a)   Determina, com aproximação ao centímetro e por excesso, o comprimento do lado do canteiro maior.

Ora,  .
Assim, com aproximação ao centímetro e por excesso, o comprimento do lado do canteiro maior é  metros.

b)   Se cada metro de rede custar 2 €, quanto terá de gastar o Sr. António para vedar estes canteiros, sabendo que a rede é vendida em número inteiro de metros?

Nota: Se não resolveste a alínea anterior, considera que o valor aí pedido é  metros.

O comprimento do lado do canteiro menor é  metros.

Ligeiramente por excesso, o comprimento da rede necessária para vedar estes três canteiros é:
 metros.

Assim, o Sr António terá de comprar 29 metros de rede, pelo que terá de gastar  euros.

5.   Utilizando sempre que possível as regras das operações com potências, calcula o valor das seguintes expressões:

a)  

b)            ,    para  e .

Fazendo a substituição das variáveis, vem:

6.   A Joana foi ao supermercado e verificou que na banca de peixe havia marmotas, fanecas e sardinhas, na razão de 1:3:11.

Como havia 180 peixes, determina o número de fanecas.

Ora, em 15 (  ) peixes 3 deles são fanecas.

Assim,

                             Na banca de peixe havia três dúzias de fanecas.

7.   Considera as três tabelas seguintes:

a	2	4	15	20
b	8	16	60	80

 

c	20	40	50	5
d	2	5	5	10

Por exemplo (2.ª tabela).

x	-4	5	0	2	-3	-1
y	0	-3	-2	3	-4	4

 

a)   Completa a 1.ª tabela, sabendo que as grandezas a e b são directamente proporcionais.

Nota: Não é necessário apresentar os cálculos, podes efectuá-los mentalmente.

b)   Completa a 2.ª tabela, sabendo que as grandezas c e d não são directamente proporcionais.

c)   No referencial cartesiano apresentado acima, marca os pontos A, B, C, D, E e F, cujas coordenadas são os pares ordenados  constituídos pelos valores apresentados na 3.ª tabela, da esquerda para a direita.
Por exemplo,  e .

d)   Determina o valor de y na seguinte proporção: .

Como , então , ou seja, . Logo, .

8.   Observa o gráfico ao lado, que representa o preço de balões em função do seu número.

a)   Justifica que o preço dos balões (y) é directamente proporcional ao seu número (x).

Como , conclui-se que é constante o quociente entre os valores correspondentes das duas grandezas, tomados pela mesma ordem. Logo, o preço dos balões é directamente proporcional ao seu número.

b)   Determina o preço de 24 balões.

Ora,

Portanto, 24 balões têm o custo de €1,80.

 

 

 

FIM