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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 28/05/2004 Turmas A e B - Prova 1 12.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 7 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos. 1. De uma função h, contínua em IR, sabe‑se que: · · · a recta de equação é assimptota do gráfico de h · h é estritamente crescente no intervalo e estritamente decrescente no intervalo Qual das afirmações seguintes é falsa? [A] A função h tem dois zeros [B] [C] [D] O contradomínio de h é 2. Seja A um
acontecimento possível, cuja probabilidade é diferente de 1. [A] [B] [C] [D]
3. Na figura estão representados dois ciclistas,
A e B, pedalando a caminho de um cruzamento. Ao chegarem ao cruzamento, ambos
continuam em frente. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função que, para cada valor de t, dá a distância entre os dois ciclistas, no instante t ? [A] 4. Considere
uma função f, de domínio IR, definida por ,
onde a designa um certo número real. Indique o valor de a. [A] [B] [C] [D] 5. Qual é o limite da sucessão de termo geral ? [A] Não existe [B] [C] [D]
6. Na figura está representada parte do gráfico
de uma função h, de domínio IR, bem como parte da recta tangente
ao gráfico de h, no ponto . Qual das expressões seguintes pode definir h’, função derivada de h ? [A] [B] [C] [D] 7. Para um determinado número natural n, o desenvolvimento de é: O termo em falta é: [A] [B] [C] [D] 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias. 1. Seja C o conjunto dos números complexos e i a unidade imaginária. a) Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes cúbicas do número complexo , simplificando o mais possível as expressões obtidas. b) Seja z
um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A
situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição . 2. Considere a função f, de domínio , definida por (ln designa logaritmo de base e). a) Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes: a1) Estude f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico. a2) Mostre que a função f tem um único mínimo e que o seu gráfico não possui pontos de inflexão. b) O gráfico de f
contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa.
3. Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEF]. Tem-se que: · [ABCD] é um quadrado de lado 2 · BD
é um arco de circunferência de centro em A; · x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAE ( ) A área do polígono [ABEF] é dada, em função de x, por a) Calcule e interprete geometricamente o valor obtido. b) Sem recorrer à calculadora gráfica, estude a função A quanto à monotonia e determine o valor de x para o qual a área do polígono [ABEF] é máxima. 4. a) Seja S o espaço
de resultados associado a uma certa experiência aleatória. b) Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. Cada naipe tem três figuras: Rei, Dama e Valete. b1) Retira-se,
ao acaso, uma carta de um baralho completo. Nota: Deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada. b2) Seleccionaram-se sete cartas do naipe de paus:
Dispõem-se as sete cartas, em fila,
em cima de uma mesa. 5. A Sofia preparou um pudim, para servir como
sobremesa ao jantar. Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, t minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada por Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas questões seguintes: · Atendendo a que a função é contínua, utilize o Teorema de Bolzano-Cauchy para mostrar que, antes de o pudim ter sido colocado no frigorífico, houve um instante em que a sua temperatura foi de 35º C. · Quanto tempo deverá o pudim estar no frigorífico, para que a sua temperatura fique igual a doze graus centígrados? Apresente o resultado em minutos.
FIM COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 63 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 137 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 30 pontos a) 14 b) 16 2. ....................................................................................................................................................... 38 pontos a1) 13 a2) 15 b) 10 3. ....................................................................................................................................................... 25 pontos a) 10 b) 15 4. ....................................................................................................................................................... 32 pontos a) 10 b1) 10 b2) 12 5. ....................................................................................................................................................... 12 pontos Total 200 pontos |
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[B] 
[C] 
[D] 
