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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 26/03/2004 Turmas A e B - Prova 1 12.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos. 1. Seja g uma função cujo gráfico tem um ponto de inflexão no ponto de abcissa 1. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da segunda derivada de g ? [A] 2. Considere a
função f, de domínio ,
definida por . [A] [B] [C] [D] 3. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é: Qual é o valor de a ? [A] [B] [C] [D] 4. De uma função f, de domínio , sabe-se que a recta de equação é assimptota do seu gráfico. Qual é o valor de ? [A] [B] [C] [D]
5. Na figura ao lado está a representação gráfica de uma função h: Podemos então concluir que [A] [B] [C] [D] não existe
2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias. 1. Considere a função f, de domínio , definida por
(ln designa logaritmo de base e) Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as três primeiras alíneas. a) Determine a abcissa do ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox. b) Estude f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico. c) Estude a função f quanto à monotonia, extremos, sentido das concavidades e pontos de inflexão do seu gráfico. Sugestão: Comece por mostrar que , com . d) Num referencial o. n. XOy, considere: · Parte do gráfico da função f · A recta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 · A recta r intersecta o eixo Oy no ponto B · A recta r intersecta o eixo Ox no ponto A
d1) Usando as potencialidades da calculadora gráfica, recolha as informações suficientes para elaborar uma ilustração relativa à descrição feita acima. d2) Determine a área do triângulo [AOB]. 2. Um
pára-quedista salta de um avião. Ao fim de cinco segundos, o pára-quedas abre.
Um minuto depois de ter saltado, o pára-quedista atinge o solo. , com a) Sabendo que a
função v é contínua, determine o valor de k. b) Utilize o Teorema de Bolzano-Cauchy para mostrar que houve um instante, entre o momento em que saltou e o momento em que o pára-quedas abriu, em que a velocidade do pára-quedista foi de 20 m/s. c) Estude a função
quanto à monotonia, para . d) Comente a seguinte afirmação: Após a abertura do pára-quedas, a velocidade tem uma variação acentuada nos primeiros quatro segundos, após os quais estabiliza, permanecendo praticamente constante até à chegada ao solo. 3. Considere a função g, de domínio , definida por: . a) Utilizando o teorema da derivada da função composta, mostre que , . b) Calcule . c) A equação tem exactamente uma solução. Recorrendo à sua
calculadora, resolva graficamente esta equação. Apresente a solução com
aproximação às décimas. 4. a) Um estudo feito a uma certa marca de iogurtes revelou que: · se um iogurte está dentro do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é . · se um iogurte está fora do prazo de validade, a probabilidade de estar estragado é .
Considere que, num certo dia, uma mercearia tem dez iogurtes dessa marca, dois dos quais estão fora do prazo de validade. Escolhendo, ao acaso, um desses dez iogurtes, qual é a probabilidade de ele estar estragado? Sugestão: Comece por exprimir os dados em função dos seguintes acontecimentos: V: o iogurte está dentro do prazo de validade E: o iogurte está estragado
b) A banda
desenhada retrata um episódio de uma aula de Matemática.
Ambas as respostas ao problema
proposto estão certas.
FIM
COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 52 pontos a) 9 b) 9 c) 18 d1) 7 d2) 9 2. ....................................................................................................................................................... 44 pontos a) 12 b) 10 c) 12 d) 10 3. ....................................................................................................................................................... 29 pontos a) 10 b) 9 c) 10 4. ....................................................................................................................................................... 30 pontos a) 15 b) 15 Total 200 pontos |
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[B] 
[C] 
[D] 
