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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 27/02/2004 Turmas A e B - Prova 2 12.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos.
1. Num referencial o. n. Oxyz, considere a superfície esférica de equação . Um ponto P desloca-se sobre o
diâmetro que está contido no eixo Oz. Seja f a função que faz corresponder, à cota c do ponto P, o volume V do referido cone. Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função f? [A] 2. De uma
função f, de domínio ,
sabe-se que a recta de equação é assimptota do seu gráfico. [A] [B] [C] [D] 3. Sejam A e B
dois acontecimentos associados a uma certa experiência aleatória. [A] [B] [C] [D]
4. Na figura está parte da representação gráfica
da função f, de domínio ,
definida por . Qual é a área do rectângulo [ABCD]? [A] [B] [C] [D]
5. Na figura está representado parte do gráfico de uma função g, de domínio IR, contínua em . As rectas de
equações e são as únicas assimptotas do gráfico de g. [A] [B] [C] [D] 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.
1. Pretende-se
colocar, sobre um tabuleiro situado à nossa frente, como o representado na
figura ao lado, nove peças de igual tamanho e feitio, das quais quatro são
brancas e cinco são pretas. a) Justificando, mostre que existem 126 maneiras diferentes de as peças ficarem colocadas no tabuleiro. b) Supondo que as peças são colocadas ao acaso, determine a probabilidade de os quatro cantos do tabuleiro serem ocupadas por peças pretas. 2. Doses
terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira
vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos. e A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado ( ). a) No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora apenas para efectuar cálculos numéricos, determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades). b) Considere as seguintes questões: · Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá, neste caso, com algumas destas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referido limiar será ultrapassado? · Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem deve tomá-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro? Utilize as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões. Numa pequena composição explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas).
3. Na figura estão representadas, em referencial o. n. XOy: · uma curva dupla curva C, gráfico da função f, de domínio , definida por · uma recta r, gráfico da função g, de domínio , definida por · uma recta s, de equação , que intersecta os gráficos das funções f e g nos pontos B e A, respectivamente
Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as alíneas seguintes: a) Determine . b) Recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, mostre que a equação tem, no intervalo , pelo menos uma solução. c) Estude a função quanto à existência de assimptotas do seu gráfico. d) Resolva a equação . 4. Considere a função g, de domínio IR, definida por: a) Justifique que g não é contínua no ponto 1. b) Mostre que é
falsa a seguinte afirmação: c) Justifique que o gráfico de g admite uma assimptota oblíqua. d) Calcule . 5. A figura representa um reservatório com três
metros de altura.
Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por , onde a e b são constantes reais positivas. a) Mostre que e que . b) Prove que a taxa de variação média de h no intervalo é .
FIM COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 20 pontos a) 12 b) 8 2. ....................................................................................................................................................... 28 pontos a) 12 b) 16 3. ....................................................................................................................................................... 50 pontos a) 8 b) 12 c) 16 d) 14 4. ....................................................................................................................................................... 34 pontos a) 8 b) 10 c) 8 d) 8 5. ....................................................................................................................................................... 23 pontos a) 12 b) 11 Total 200 pontos |
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[B] 
[C] 
[D] 
