Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Como   e   podemos considerar .
Pretendemos, portanto, .
Logo, ,  e  são as raízes cúbicas de .

b)  

Sendo , então .
Logo o triângulo [AOB] é rectângulo (em O) e isósceles. Como a sua área é 8, temos  e, portanto, . Considerando o triângulo rectângulo [AOC], temos , donde  e, portanto, .
Assim, .

2.  

a1)

Como f é uma função contínua em  (pois é a soma de duas funções contínuas nesse intervalo), apenas poderá haver assimptota vertical em .
Como , a recta de equação  é a única assimptota vertical do gráfico de f.

Ora,
e  .
Logo, na vizinhança de , não existe qualquer assimptota do gráfico de f.

a2)

Sendo , vem .

 

Conclui-se assim que  é o único mínimo de f.

Como , conclui-se que  e, por isso, o gráfico de f não possui pontos de inflexão, visto que apresenta a concavidade voltada para cima em todo o domínio.

b)  

A abcissa pedida é solução da equação .
Numa janela de visualização adequada, depois de definidas as funções  e , podemos obter parte dos gráficos das duas funções e determinar as coordenadas do ponto de intersecção dos mesmos:

      

Portanto,  é um valor aproximado às décimas da abcissa do ponto considerado.

3.  

a)  

Ora, .

Interpretação:
Quando , o ponto E aproxima-se do ponto D, o mesmo acontecendo com o ponto F. Assim, o quadrilátero [ABEF] tende a coincidir com o triângulo rectângulo [ABD], pelo que a sua área tende para a área do triângulo (  ).

b)  

Ora, , com .

Como,

então , isto é,  é o único zero de A’.

 

(*) Uma função contínua não pode mudar de sinal num intervalo sem anular nesse intervalo.

Conclui-se assim que  é o valor de x para o qual a área do polígono [ABEF] é máxima.

4.  

a)  

b1)

Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

A: sair uma figura

B: sair uma carta do naipe de espadas

Assim, a probabilidade pedida é .

b2)

Porque há mais configurações em que o Rei não fica ao lado da Dama do que configurações em que estas duas cartas ficam juntas, optamos por contar as disposições desfavoráveis.
Há seis posições na fila que garantem a possibilidade de estas duas cartas ficarem juntas (1-2, 2-3, ... , 6-7). Para cada uma destas possibilidades, podemos permutar estas duas cartas de lugar e, para cada uma dessas configurações, as restantes 5 cartas podem permutar entre si nos 5 lugares disponíveis. Portanto, o número de disposições em que o Rei e a Dama  ficam juntos é .
Dado que o número de disposições das 7 cartas sem qualquer restrição é , o número de disposições de acordo com o pedido é .
(Há 15 disposições (5+4+3+2+1 - verifique) em que as duas cartas consideradas não ficam uma ao lado da outra. Logo,  )

5.  

Como a função é contínua, também o será no intervalo , que está contido no seu domínio.
Como  e , então .
Assim, de acordo com o Teorema de Bolzano-Cauchy, .
Pelo que podemos concluir que, antes de o pudim ter sido colocado no frigorífico, houve um instante em que a sua temperatura foi de 35º C.

 

Como

conclui-se que o pudim tem de estar 40 minutos no frigorífico.

 

FIM