Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Aceitando a sugestão, vem:

Assim, temos:

b)  

No contexto da situação apresentada, sejam A e B os seguintes acontecimentos:

A: Sair bola verde na primeira extracção
B: Sair bola preta na segunda extracção

Assim, a probabilidade pedida é .

2.  

a)  

Ora,  é a probabilidade de escolher uma rapariga de 16 anos, ou seja,  (das 20 raparigas que existiam inicialmente, restam 19, pois uma já foi escolhida; como essa rapariga tinha dezasseis anos, restam 7 com essa idade). Logo, .

Assim, temos a seguinte tabela de distribuição de probabilidades da variável X:

 

b1)

Para esse grupo ficar constituído, falta uma rapariga, que pode ser escolhida de entre 19, e três rapazes, que podem ser escolhidos de entre 39.
Assim, esse grupo pode ser constituído de  formas diferentes.

b2)

Consideremos a seguinte estratégia: as mesas estão numeradas de 1 a 10 e consideramos como casos possíveis as listas de dez jovens constituídas por um elemento de cada mesa, por esta ordem.
Assim, os casos possíveis são , pois por cada mesa há seis jovens que podem ocupar o lugar correspondente na lista.
Como em cada mesa há 2 raparigas e 4 rapazes, para que sejam exactamente escolhidos dois representantes do sexo feminino, em duas das mesas são escolhidos raparigas e nas restantes oito são escolhidos rapazes.
Há  maneiras diferentes de seleccionar as duas mesas onde se escolhem representantes raparigas (nas restantes oito escolhem-se representantes masculinos). Para cada uma destas selecções, podem ser criadas  listas distintas, pois podemos escolher entre duas raparigas nas mesas seleccionadas para representação feminina, e entre quatro rapazes em cada uma das oito mesas seleccionadas para representação masculina. Logo, o número de casos favoráveis é .

Assim, a probabilidade pedida é .

Seguem mais duas alternativas:

Ao considerar as duas mesas onde são seleccionadas as raparigas, há  maneiras diferentes de ocorrer o acontecimento pedido com igual probabilidade: . Como esses acontecimentos são independentes, a probabilidade pedida é .

A probabilidade de o representante escolhido em cada uma das mesas ser rapariga é  e, portanto,  a probabilidade de o representante ser rapaz. Considerando a lei binomial de probabilidades, temos de imediato: .

3.  

a)  

Comecemos por determinar a quantidade de água inicialmente colocada na tina:

 ml.

Se 40% da água inicialmente colocada passou ao estado gasoso, resta na tina  ml.

Assim,

Ora, como , aproximadamente ao fim de 1,297 horas, isto é, 1h 18min (  ), 40% da água, inicialmente colocada na tina, passou ao estado gasoso.

b)  

Quando a água se evaporar na totalidade, ter-se-á :

Portanto, a experiência durou 7 horas.

c)  

Como vimos na alínea a), a quantidade de água do mar inicialmente colocada na tina foi 3000 ml.
Assim,  exprime (em mililitros) a quantidade de água que passou ao estado gasoso, em cada instante  (em horas) no decurso da experiência.

4.  

a)  

Ora, .
Trinta minutos após a aplicação do medicamento, a população seria cerca de 1107 milhares de bactérias.

b)  

A população de bactérias aproxima-se tanto quanto se queira de meio milhão de unidades, desde que decorra tempo suficiente após a aplicação do medicamento.

c)  

Pretende-se determinar o intervalo onde a função  (  ) é crescente.

Para isso considerou-se a função  e (em janelas adequadas, considerando o contexto da situação) determinaram-se as coordenadas de alguns pontos relevantes:

 

         

De acordo com os resultados obtidos, conclui-se que a população de bactérias aumentou no período compreendido entre a 1.ª e 3.ª horas após a aplicação do medicamento.

5.  

a)  

Ora, .

Seja (  ) uma sucessão qualquer, tal que .
A respectiva sucessão de imagens é .
Tendo em consideração que , vem .

Logo, de acordo com a definição de Heine, .

b)  

Ora, tendo em consideração que 2 é um zero dos polinómios numerador e denominador, temos

 

                  e, portanto,

 

.

c)  

Ora, .

Logo,

d)  

Ora, .

Como,

então  e, portanto

 

 

FIM