Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Os resultados desta experiência são da forma  com , sendo, portanto, o conjunto de resultados (  ) constituído por 16 elementos.
O espaço de acontecimentos (  ) é constituído por todos os subconjuntos de (  ), isto é, pelos subconjuntos com zero elementos, com um elemento, com dois elementos, ... até 16  elementos, que são, respectivamente, nos seguintes números:  , , , ... .
Logo, .(Tenha em consideração a fórmula do binómio de Newton)

b)  

Na forma de subconjunto de , o acontecimento A pode ser definido por . (porquê?)

c)  

Os conjuntos A e B podem ser definidos, por exemplo, pelas seguintes condições:
A: “Sair um ponto no primeiro lançamento”
B: “Sair uma soma de pontos igual a seis”

d)  

Os acontecimentos B e C são incompatíveis, pois, de facto, . No entanto, eles não são contrários, pois, ainda que ; temos .

2.  

a)  

A linha considerada é para  e o elemento considerado, essa linha, tem ordem .
Logo, .

b)  

Utilizando a fórmula do binómio de Newton, temos:

 

3.  

Designando por n o número de bolas amarelas, então 2n designa o número total de bolas na caixa.
Ora, a probabilidade considerada é , pois trata-se de contar conjuntos de 2 elementos, subconjuntos do conjunto das bolas da caixa, visto não interessar a ordem e não poder haver repetição, dado que as bolas são extraídas simultaneamente.

Ora,
 

Logo, , pelo que existem 26 bolas na caixa, 13 amarelas e 13 verdes.

 

Uma alternativa, poderá consistir em considerarmos que as duas bolas são extraídas uma a uma, sem reposição da primeira bola, e que as bolas são todas distintas.
Assim, temos:  e .
Logo, , pelo que existem 26 bolas na caixa, 13 amarelas e 13 verdes.

4.  

a)  

As configurações do pódium distinguem-se quer pelo grupo das 3 atletas mais bem classificadas, quer pela ordem dos seus lugares na classificação geral. Assim, concluímos que interessa a ordem e não pode haver repetição. Trata-se, portanto, de contar ternos ordenados, constituídos por 3 elementos diferentes do conjunto das atletas.
Logo, pode haver  configurações diferentes para o pódium.

b)  

Para que a atleta portuguesa parta entre as atletas francesas, a atleta portuguesa poderá partir em 6 pistas distintas: pista 2, pista 3, pista 4, pista 5, pista 6 ou pista 7. (faça um esquema, se tiver necessidade)

Vejamos o que se passa quando a atleta portuguesa parte na pista 2:
Há  maneiras distintas de as atletas francesas ocuparem as pistas 1 e 3.
Há  maneiras distintas de as 5 atletas restantes (3 alemãs e 2 espanholas) ocuparem as restantes 5 pistas (pistas 4 a 8).

Se analisarmos as outras 5 alternativas de ocupação da pista pela atleta portuguesa, concluímos facilmente os mesmos valores.

Logo, se a atleta portuguesa partir entre as atletas francesas, há  configurações possíveis no alinhamento de partida.

c)  

Já vimos que interessa a ordem e não pode haver repetição.
Ora,  e , onde  é o número de maneiras distintas das atletas alemãs ocuparem as três primeiras pistas e  é o número de maneiras distintas de as restantes 5 atletas ocuparem as pistas 4 a 8.

Logo, a probabilidade pedida é .

5.  

a)  

Na mesma peça, pode haver repetição de figura, no entanto não interessa a ordem, pois a peça duque-terno e terno-duque, por exemplo, é única. Não há, portanto, uma técnica de contagem da combinatória que permita por si só efectuar a contagem pretendida.

Consideremos, por exemplo, a estratégia seguinte. Dividamos as 28 peças em dois grupo: G1, o grupo dos doble e G2, o grupo das restantes peças.

Ora, o número de peças do grupo G1 é , pois basta contar os subconjuntos de um só elemento do conjunto das sete figuras. Quanto ao outro grupo, , pois basta agora contar os subconjuntos de dois elementos do conjunto das sete figuras.

Assim, está verificado que o dominó de sete figuras possui efectivamente  peças.

b)  

Recorrendo à mesma estratégia, temos: .
Logo, um jogo de dominó com 10 figuras possui 55 peças.

6.  

a)  

Consideremos o conjunto  das 32 casas pretas do tabuleiro.
Ao considerarmos os arranjos sem repetição dos elementos de C_P agrupados dois a dois, estamos a considerar todos os pares ordenados possíveis de criar com dois elementos distintos de C_P, por exemplo: (P₁,P₂), (P₂, P₁), (P₄,P₃₂), (P₃₂, P₄), etc.

Criada a sequência de todos esses pares ordenados, podemos agora fazer corresponder a peça preta ao primeiro elemento do par ordenado (uma determinada casa preta) e a peça branca ao segundo elemento do par (uma outra casa preta, distinta da anterior) - ou ao contrário, se preferir -, o que define inequivocamente todas as possibilidades diferentes de as duas peças consideradas ocuparem casas pretas do tabuleiro.
Ora, o número de pares ordenados considerados, em número de , traduz exactamente o número de formas possíveis de colocar as duas peças por forma a ocuparem casa pretas.

 

Se considerarmos agora todos os subconjuntos de C_P com dois elementos, onde, por exemplo, {P₁,P₂}={P₂,P₁} é um desses subconjuntos, estamos a considerar todas as maneiras possíveis de seleccionar duas casas pretas do tabuleiro.
Considerado um desses subconjuntos, isto é consideradas duas casas pretas do tabuleiro, temos agora duas maneiras diferentes de colocar as duas peças: a branca numa das casas e a preta na outra, ou ao contrário. Portanto, a cada subconjunto de C_P com dois elementos corresponde 2 maneiras distintas de colocar as peças.
Logo, o número de formas possíveis de colocar as duas peças por forma a ocuparem casa pretas pode ser expresso por .

b)  

Ora, para cada encontro de dois jogadores realizaram-se duas partidas: o jogador A joga com as brancas e o B com as pretas, depois o A joga com as pretas e o B com as brancas.
O número de encontros entre esses 15 jogadores é dado por , pois trata-se de contar os subconjuntos de dois elementos possíveis de criar de um conjunto de 15 elementos.
Logo, foram realizadas  partidas.

7.  

a)  

Contabilizemos primeiro o número de sequências distintas que podem ocorrer em cada um dos grupos: G1, G2 e G3, considerados da esquerda para direita.

Ora,

·          ; neste grupo temos sequências ordenadas de duas letras (com repetição), que são escolhidas de um conjunto de 23 letras.

·          ; neste grupo temos 3 maneiras distintas para escolher a posição onde colocar a letra, que pode agora ser escolhida de 23 maneiras distintas. Quanto às duas posições ainda livres, são preenchidas com 2 algarismos de um grupo de 10, podendo haver repetição do algarismo.

·          ; neste grupo temos sequências de 1 elemento escolhido de um conjunto de 10 elementos.

Ora, pela lei do produto, vem .

Portanto, o sistema comporta 36.501.000 matrículas distintas.

b)  

Em vez de contar os casos favoráveis (ver tabela a seguir) é preferível contar os casos desfavoráveis, que correspondem às matrículas onde figuram exactamente 3 zeros, e que são do tipo:

??  0?0 - 0

Ora, , logo .

Logo, a probabilidade pedida é .

 

 

Sumariamente, contar os casos favoráveis é contar os casos correspondentes a:

 

 

 

 

 

FIM