Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática A

Ano Lectivo 2011/12 Distribuição de probabilidades 12.º Ano

Ficha de Trabalho com proposta de resolução em formato pdf

1. Numa turma do 12.º ano, a distribuição dos alunos por idade e sexo é a seguinte:

12.º X	16 anos	17 anos
Rapazes	6	8
Raparigas	5	7

Para formar uma comissão que vai preparar um baile de finalistas, vão ser sorteadas três rapazes e duas raparigas desta turma.

a) Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de 16 anos?
Apresente o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais.

b) Admita agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a comissão: os três rapazes e uma rapariga, a qual tem 16 anos de idade.
Para a comissão ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga.
Seja a variável aleatória: número de raparigas de 17 anos que a comissão vai incluir.
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável . Apresente as probabilidades na forma de fração.

2. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro de 50 cêntimos.
O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.

a) Seja a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João.
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável , apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível.

b) Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros.
Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível

a) Seja um espaço de resultados finito, associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos possíveis, mas não certos.
Prove que A e B são independentes se, e só se, .

b) Numa caixa existem cinco bolas brancas e três bolas pretas. Ao acaso tiram-se sucessivamente duas bolas da caixa, não repondo a primeira bola na caixa, antes de retirar a segunda.

b1) Utilizando a propriedade enunciada na alínea anterior, mostre que os acontecimentos «a primeira bola retirada é preta» e «a segunda bola retirada é branca» não são independentes.

b2) Seja a variável aleatória «número de bolas brancas que ficam caixa, após a extração das duas bolas».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável . Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

4. A Sofia tem dois dados equilibrados.
Um dos dados é um cubo com as faces numeradas de 1 a 6.
O outro dado é um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8.

A Sofia lança os dois dados e observa os números saídos (nas faces que ficam voltadas para cima).

a) No âmbito desta experiência, dê um exemplo de dois acontecimentos, A e B, nem impossíveis, nem certos, e tais que e .

b) Seja a variável aleatória: soma dos números saídos.
Determine . Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

c) Considere os acontecimentos:
C: o produto dos números saídos é 16.
D: os números saídos são iguais.

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de e de .
Numa pequena composição, justifique a sua resposta, começando por explicar o significado das probabilidades pedidas, no contexto da situação descrita.

5. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes.
Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola verde.

a) Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa.
Seja a variável aleatória: «número de bolas verdes que existem no conjunto das duas bolas retiradas».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória , apresentando as probabilidades na forma de fação irredutível.

b) Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte experiência:

· ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa 1 e colocam-se na caixa 2;

· em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2.

Sejam os acontecimentos:
A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»;
B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes».

Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de , apresentando o seu valor na forma de fração irredutível. Numa pequena composição, explique o raciocínio que efetuou. O valor pedido deverá resultar da interpretação do significado de , no contexto do problema, significado esse que deverá começar por explicar.

c) Considere agora que, na caixa 2, tomando como ponto de partida a sua constituição inicial, se colocam mais bolas, todas amarelas. Esta caixa fica, assim, com duas bolas pretas, uma bola verde e bolas amarelas.

Considere a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se sucessivamente duas bolas dessa caixa.
Sabendo que a probabilidade de uma delas ser amarela e a outra ser verde é , determine o valor de .

6. Uma caixa contém dez bolas.
Quatro bolas estão numeradas com número 1, cinco com o número 2 e uma com o número 3.

a) Extrai-se, ao acaso, uma bola da caixa.
Seja o número da bola extraída.
Construa a tabela da distribuição da variável aleatória , apresentando as probabilidades na forma de dízima.

b) Da caixa novamente completa, tiram-se simultaneamente, ao acaso, duas bolas.
Determine a probabilidade de essas duas bolas terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

c) Considere, uma vez mais, a caixa com a sua constituição inicial.
Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa, observa-se o número e repõe-se a bola na caixa juntamente com mais dez bolas com o mesmo número.
Seguidamente, tira-se ao acaso, uma segunda bola da caixa.

Sejam A e B os seguintes acontecimentos:

· A: «sair bola com o número 1 na primeira extração»;

· B: «sair bola com o número 1 na segunda extração».

Sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada, indique, na forma de fração, o valor de .
Numa pequena composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de , no contexto da situação descrita.

7. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem licor.
A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro.
Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor.

Seja a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come».
Qual é a distribuição de probabilidades da variável ?

[A]

[B]

[C]

[D]

8. Uma certa variável aleatória tem a seguinte distribuição de probabilidades:

Qual é a média dessa variável aleatória?

[A] [B] [C] [D]

9. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas.
Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três bolas da caixa.
Seja o número de bolas brancas extraídas.
Sabe-se que a distribuição de probabilidades da variável aleatória é:

Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas?

[A] [B] [C] [D]

10. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3.
Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa.

Seja : «o maior dos números saídos».
Qual é a distribuição de probabilidades da variável ?

[A]

[B]

[C]

[D]

11. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é dada pela tabela ( e designam números reais).
A média da variável aleatória é igual a 1.

Qual é o valor de e o valor de ?

[A] e [B] e

[C] e [D] e

12. Um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes.
Seja a variável aleatória que designa o «número de vezes que, nesses dois lançamentos, sai face par».
A distribuição de probabilidades da variável é dada pela tabela ( e designam números reais).

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

[A] e [B] e

[C] e [D] e

13. Na figura está representada a planificação de um dado equilibrado.
Lança-se este dado duas vezes.

Seja a variável aleatória: «soma dos números saídos nos dois lançamentos».
Indique o valor de , tal que .

[A] [B]

[C] [D]

14. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é dada pela tabela ( designa um número real).

Qual é o valor médio desta variável aleatória?

[A] [B] [C] [D]

15. Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela tabela ( e designam números reais positivos).

Sabe-se que o valor médio da variável aleatória é .

Qual é o valor de ?

[A] [B] [C] [D]

16. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima?

[A] [B] [C] [D]

Soluções

9	10	11	12
C	A	C	C

13	14	15	16
B	A	C	A

Proposta de Resolução:

a) A comissão é constituída por 3 rapazes e 2 raparigas.
Ora, temos 12 raparigas. À primeira vista poderá parecer-nos que existem maneiras diferentes de escolher, ao acaso, duas dessas 12 raparigas. Mas, essa suposição está errada.

Admitamos que queremos escolher duas raparigas de entre as seguintes três: .
É fácil concluir que existem apenas três possibilidades: , e .
Não seis: , , , , e .
Isto é, como não interessa a ordem dos dois elementos considerados, o valor procurado é , que traduz o número de subconjuntos de dois elementos que se podem obter de um conjunto de três elementos.

Admitamos agora que pretendemos escolher três rapazes de entre quatro: .
É imediato concluir que existem apenas maneiras, não : , , e .
Porque é que divide por ?
Basta reparar que cada um desses subconjuntos de três elementos dá origem a ternos ordenados com esses três elementos.

Portanto, regressando ao problema, concluímos existirem maneiras de selecionar duas das doze raparigas e maneiras de selecionar três dos catorze rapazes.
Logo, .

De forma análoga, conclui-se: (número de maneiras de escolher 3 rapazes de 16 anos, de entre 6, e escolher 2 raparigas de 16 anos, de entre 5).

Logo, a probabilidade pedida é .
( , usando notação de cálculo combinatório)

b) Para terminar a constituição da comissão falta apenas escolher uma rapariga, de entre 11 disponíveis: 4 delas com 16 anos e 7 delas com 17 anos. Portanto, a variável aleatória pode assumir os valores: e .

Assim:

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável é:

a) A variável aleatória pode assumir os seguintes valores:

· : o João retira as duas moedas de 1 euro;

· : o João retira uma moeda de 1 euro e uma moeda de 50 cêntimos;

· : o João retira duas moedas de 50 cêntimos.

Como o João retira as duas moedas simultaneamente (e não as distinguindo entre si), o número de casos possíveis é , ou seja, é o número de subconjuntos de dois elementos de um conjunto de seis elementos (ver resolução do problema anterior).

O João pode retirar duas moedas de 50 cêntimos de maneiras diferentes, logo .

O João pode retirar uma moeda de 1 euro e uma moeda de 50 cêntimos de maneiras diferentes, logo .

O João pode retirar as duas moedas de 1 maneira, logo .

Assim, temos:

· ( )

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável é:

Nota:

Admita que o João, ao retirar simultaneamente duas moedas do bolso, começa por pegar numa delas e, seguidamente, numa outra. Desta forma, as probabilidades acima indicadas podem ser calculadas da seguinte maneira:

· (Porquê?)

b) Vamos resolver o problema recorrendo à interpretação da probabilidade condicionada.

Se as duas moedas eram iguais, então ambas eram de 1 euro ou ambas eram de 50 cêntimos.
Logo, o número de casos possíveis é .
O número de casos favoráveis é .
Logo, a probabilidade pedida é . ( )

a) Ora,

b1) Consideremos os acontecimentos:

· A: «a primeira bola retirada é preta»;

· B: «a segunda bola retirada é branca».

Ora, , pois, se a primeira bola extraída é preta, ficam na caixa 7 bolas: 5 brancas e 2 pretas.
Logo, a probabilidade de, na segunda extração, retirar uma bola branca é .

Por outro lado, , pois, se a primeira bola extraída não é preta, ficam na caixa 7 bolas: 4 brancas e 3 pretas. Logo, a probabilidade de, na segunda extração, retirar uma bola branca é .

Portanto, tendo em conta a propriedade enunciada em a), dado que , então os acontecimentos A e B não são independentes.

b2) Como inicialmente há 5 bolas brancas na caixa, depois de extraídas duas bolas poderão ficar na caixa 5, 4 ou 3 bolas brancas. Logo, a variável aleatória pode assumir os valores: 3, 4 ou 5.

Passando a calcular as probabilidades, temos:

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável é:

a) Se , tem-se que , pelo que .
Portanto, basta apresentar dois acontecimentos diferentes, A e B, nem impossíveis, nem certos, e tais que . Um exemplo possível é:

· A: «sair face 2 no dado cúbico»;

· B: «sair face par no dado cúbico».

b) O número de casos possíveis é , pois existem 6 resultados possíveis no dado cúbico e, para cada um deles, existem 8 resultados possíveis no dado octaédrico.

O número de casos favoráveis é , visto que os casos favoráveis são: .
Logo, .

c) significa «probabilidade de o produto dos números saídos ser 16, sabendo que os números saídos são iguais».
Se os números saídos são iguais, existem seis casos possíveis, que são , dos quais apenas um, que é o caso , é favorável ao acontecimento «o produto dos números saídos é 16».
Tem-se, assim, .

significa «probabilidade de os números saídos serem iguais, sabendo que o produto dos números saídos é 16».
Se o produto dos números saídos é 16, existem dois casos possíveis, que são , dos quais um, que é o caso , é favorável ao acontecimento «os números saídos são iguais».
Tem-se, assim, .

a) Como de cada uma das caixas podemos tirar zero ou uma bola verde, então a variável aleatória pode assumir os valores: 0, 1 e 2.

Consideremos o acontecimento : «tirar uma bola verde da caixa », com .
Tendo em consideração que os acontecimentos e são independentes, temos:

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável é:

Sejam os acontecimentos:
A: «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»;
B: «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes».

significa «probabilidade de as duas bolas retiradas da caixa 2 serem de cores diferentes, sabendo que as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor».
Se as três bolas retiradas da caixa 1 e colocadas na caixa 2 são da mesma cor, terão de ser necessariamente todas verdes, pois a caixa 1 apenas contém 2 bolas pretas.
Após a transferência dessas 3 bolas verdes para a caixa 2, esta ficará com 2 bolas pretas e 4 bolas verdes.
Ao retirarmos duas bolas desta caixa, existem casos possíveis (note que as bolas são retiradas simultaneamente, portanto os resultados elementares são conjuntos de dois elementos e não pares ordenados), dos quais apenas são favoráveis ao acontecimento «sair uma bola de cada cor».
Assim, de acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade pedida é .
( , usando cálculo combinatório)

Admitamos que, ao retirar simultaneamente duas bolas da caixa 2, se começa por pegar numa das bolas e, seguidamente, numa outra bola. Assim, a probabilidade pedida pode ser expressa por (onde o índice indica a ordem pela qual a bola foi pegada):

(usando cálculo combinatório, temos: )

Como , vem:

Como , a solução procurada é .

a) Como as bolas estão numeradas com os números 1, 2 e 3, então a variável aleatória pode assumir os valores: 1, 2 e 3.

Passando a calcular as probabilidades, temos:

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável é:

b) O número de casos possíveis é , pois das dez bolas da caixa retiram-se duas simultaneamente, não interessando, por isso, a ordem da sua seleção.

Para que as duas bolas tenham o mesmo número, há duas hipóteses: têm ambas o número 1 ou têm ambas o número 2. O número de casos favoráveis da primeira hipótese é e o número de casos favoráveis da segunda hipótese é . Portanto, o número de casos favoráveis ao acontecimento «as duas bolas terem o mesmo número» é .

Logo, a probabilidade pedida é .
( , usando cálculo combinatório)

Admitindo que, ao retirar simultaneamente duas bolas da caixa, se começa por pegar numa das bolas e, seguidamente, numa outra bola, podemos calcular a probabilidade pedida da seguinte forma:

(Porquê?)

· A: «sair bola com o número 1 na primeira extração»;

· B: «sair bola com o número 1 na segunda extração».

significa «probabilidade de sair bola com o número 1 na segunda extração, sabendo que saiu bola com o número 1 na primeira extração».
Se na primeira extração saiu uma bola com o número 1, então essa bola foi reposta na caixa juntamente com mais dez bolas com o mesmo número.
A caixa fica, assim, com 14 bolas com o número 1, com 5 bolas com o número 2 e uma bola com o número 3, num total de 20 bolas.
Assim, de acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de extrairmos agora da caixa «uma bola com o número 1» é .

Como há apenas 4 bombons sem licor, a variável aleatória : «número de bombons sem licor que a Patrícia come» pode assumir os valores: 0, 1, 2, 3 e 4.

As respetivas probabilidades são:

Logo, a alternativa correta é A.

8. Ora, .
Logo, a alternativa correta é C.

9. Como .
Assim, .
Logo, a alternativa correta é C.

10.

Como se extraem em simultâneo dois cartões, a variável aleatória : «o maior dos números saídos» pode assumir os valores: 2 e 3.

Como existem três casos possíveis ( , e ), as respetivas probabilidades são:

Logo, a alternativa correta é A.

11. Ora,
.

Logo, a alternativa correta é C.

12. Na experiência aleatória considerada existem casos possíveis.
O número de casos favoráveis ao acontecimento «não sair qualquer face par» é .
O número de casos favoráveis ao acontecimento «sair apenas uma face par» é .
O número de casos favoráveis ao acontecimento «sair duas faces pares» é .

Deste modo, as respetivas probabilidades são:

Logo, a alternativa correta é C.

13. A variável aleatória : «soma dos números saídos nos dois lançamentos» pode assumir os valores: 2, 3 e 4.

As respetivas probabilidades são:

Logo, a alternativa correta é B.

14. Como .
Assim, .
Logo, a alternativa correta é A.

15. Ora,
.

Logo, a alternativa correta é C.

16. Como o dado é equilibrado e tendo em conta a distribuição de probabilidades da variável aleatória : «número saído», é de admitir que as respectivas frequências absolutas, num total de seis mil lançamentos, sejam aproximadamente as indicadas na tabela:

Assim, é de esperar que a soma obtida pelo João esteja próxima de: .

Logo, a alternativa correta é A.