Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo de 2003/04 Função composta e derivada da função composta 12.º Ano

Função composta

1. O gráfico I dá‑nos a velocidade v de um nadador em função do tempo t.
O gráfico II dá‑nos o consumo c de oxigénio do nadador em função da sua velocidade v.
t é medido em segundos, v em metros por segundo e c em litros por minuto.

a) Recorrendo aos gráficos dados, determine o consumo de oxigénio do nadador após 20 segundos de natação.

b) Após quanto tempo de natação é o consumo de oxigénio igual a
15 l/min?

Há situações, como acontece no problema anterior, em que a solução resulta de usarmos uma imagem obtida por uma função, como original para outra função.

Este é um exemplo de como, a partir de duas funções f e g tais que f: e g: se pode construir uma nova função, cuja variável independente é o tempo t (variável independente de f) e cuja variável dependente é o consumo c (variável dependente de g), assim definida:

A expressão lê‑se "g de f de t", em que t representa qualquer elemento do domínio de f cuja imagem pertence ao domínio de g.

Esquematizando

Diz‑se, nestas condições, que h é a função composta de g com f e escreve‑se .

Sendo f uma função de domínio e g uma função de domínio , chama‑se composta de g com f à função assim definida:

Exemplo

1. Sejam f e g funções reais de variável real tais que e .

a) Calcule e .

b) Caracterize .

c) Caracterize .

Resolução:

a) e .

b)

Logo,

c)

Logo,

Exercícios

2. Sejam f e g funções reais de variável real tais que e .
Caracterize e .

Solução

3. Sejam f, g e h três funções polinomiais definidas por:

, e

Represente graficamente as funções , , , e .

Solução

4. Sejam f e g funções reais de variável real tais que e .
Caracterize .

Solução

Proposta de resolução

Derivada da função composta

A derivada da função composta de f com g ( ) pode ser obtida através das derivadas das funções f e g, da seguinte forma:

ou ou , sendo e e

Sendo , podemos considerar com e .
A derivada de pode ser obtida pela regra da derivação composta, também conhecida como regra de derivação em cadeia, da seguinte maneira:

Logo, .

Sendo , podemos considerar e , donde:

Logo, .

Exemplos

1. Sejam f e g funções reais de variável real tais que e .

a) Calcule .

b) Determine

Resolução:

a) Como e , temos .

b) .

Como , podemos considerar , com .

Logo, .

2. Mostrar, aplicando a regra de derivação composta, que: .

Resolução:

Para , é , sendo .

Assim, seja , com e .
Logo, , donde , c.q.m..

Nota:

Seja .
Então, .
Assim, derivando em ordem a x ambos os membros, temos:

Logo, .

3. Mostrar, aplicando a regra de derivação composta, que: .

Seja e . Logo, .
Assim, .

Exercícios

5. Mostrar, aplicando a regra de derivação composta, que:

a) b) , com

Proposta de resolução

6. Calcule, aplicando a regra de derivação composta:

a) b)

Solução

Proposta de resolução

7. A lei de Boyle‑Mariotte estabelece que mantendo constante a temperatura, a pressão P e o volume V de um gás estão inversamente relacionados, sendo , constante.

a) Supondo que se mantém constante a temperatura, uma dada quantidade de gás é livre de se expandir.
Calcule a taxa de variação da pressão com respeito ao volume.

b) A uma pressão de 3 atmosferas uma certa quantidade de gás ocupa o volume de 12 centímetros cúbicos.
Suponha que a temperatura se mantém constante.

b1) Se a pressão aumenta o volume aumenta ou diminui?

b2) Se a pressão aumenta à taxa de variação de 0,04 atm/min, determine a taxa de variação do volume em que a pressão é de 30 atmosferas.

Solução

Proposta de resolução

8. O raio de um balão esférico aumenta 2 cm/s.

Qual é a taxa de variação do volume de ar soprado para dentro do balão no momento em que o raio é de 20 centímetros?

Solução

Proposta de resolução