|
Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo de 2003/04 Funções exponencial e logarítmica -1 12.º Ano
Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF 1. A função , é usada para determinar o valor de um carro (em euros) anos depois da sua compra. a) Qual é o custo inicial do carro? b) Determine o custo do carro um ano e meio depois da compra. c) Quanto desvaloriza o carro ao ano? 2. Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar no tempo t, em minutos. A fórmula é: . a) Calcule, de acordo com a função f e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos. b) Uma pessoa memorizou 26 símbolos. Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa? 3. a) Para modelar o crescimento de uma cultura de bactérias, um biólogo encontrou a seguinte função: onde t representa o tempo em horas, a contar desde o início da observação, no momento em que havia 510 bactérias. Escreva na forma , com k aproximado às centésimas. b) Durante um período de 10 horas, um biólogo observou uma cultura de bactérias e efectuou os seguintes registos:
Sabendo que o comportamento do crescimento das bactérias pode ser modelado por uma expressão do tipo , determine . (t em horas) 4. Considere um produto que actualmente tem o valor de 3.000 €. Admita que o produto vai aumentar de valor nos próximos 6 anos em 20% ao ano e nos seis anos seguintes vai diminuir de valor 20% ao ano. Determine o valor do produto, com aproximação às unidades, no final dos 12 anos referidos. 5. Escreva a expressão , ( , ), sem usar logaritmos.
6. Um arquitecto resolveu usar a função logarítmica para fazer o arco de uma porta, como mostra a figura. O arco AB é
parte da função . a) Defina uma função por ramos de modo que represente o arco AB e o arco BC. b) Determine a altura do arco ( ). 7. A intensidade I, em decibéis (dB), de um som audível, pode ser dada por: onde P é o valor da potência, em certa unidade, do som emitido. a) Sabe‑se que um som com intensidade superior
ou igual a 100 dB é prejudicial à saúde. b) Dois sons de potências e são emitidos por uma mesma fonte. c) Sendo I : uma função real de variável real, caracterize , função inversa de I. 8. Considere a função . a) Determine o domínio da função. b) Determine m de modo que 9. Seja a função: a) Determine o domínio da função. b) Para estudar a paridade da função, resolva as questões pela ordem apresentada: b1) Calcule , , e ; (valores exactos, como é óbvio!) b2) Justifique que f não é uma função par; b3) Mostre que e . A função poderá ser uma função ímpar? b4) Mostre que f é uma função ímpar. c) Determine x de modo que . Sugestão: Recorde que , para . d) Verifique a resolução desta questão utilizando o Graphmatica ou a calculadora gráfica. 10. Considere a função real de variável real . Determine o
seu domínio e os seus zeros. 11. Determine x, de modo que , sendo: a) e b) e 12. Determine os zeros e caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções: a) b) c) f: , tal que . 13. Considere a função real de variável real, assim definida: . a) Determine o domínio e os zeros da função. b) Justifique que a função não admite função inversa. c) Resolva a condição . d) Considere as funções, reais de variável real, assim definidas: e Tendo em consideração que e ainda todo o estudo feito sobre as funções f, g e h, determine o contradomínio da função t. Explique o seu raciocínio. e) Mostre que a expressão algébrica da correspondência (não função) inversa da função t é e comprove o conjunto indicado na alínea anterior. f) Caracterize , função inversa da função t restrita a . g) Verifique na sua calculadora gráfica o representado a seguir:
h) Como explica o observado confrontando‑o com as respostas às alíneas c) e d)? i) Agora, utilize o Graphmatica para verificar a resolução deste exercício. 14. O número de células de certo tipo é dado em função do tempo t (em segundos), pela igualdade , com e números reais positivos. a) Calcule para e e deduza qual o significado das constantes e . b) Suponha agora que e . 15. Numa grande cidade surgiu uma epidemia de gripe asiática. A evolução da doença foi dada pela fórmula , onde P representa a percentagem de pessoas infectadas e t o tempo em dias após a declaração da epidemia pelo Serviço Nacional de Saúde (SNS). a) Determine, analiticamente, o período de tempo (em horas) em que a percentagem de pessoas infectadas foi superior ou igual à existente no momento da declaração da epidemia. b) Quando da declaração da epidemia, o SNS sossegou a população da cidade informando que a situação não era de preocupar, pois tinham sido tomadas todas as medidas recomendadas e que a epidemia seria erradicada em menos de uma semana. Numa pequena composição, comente o teor das declarações do SNS, tendo em conta que: · a epidemia considera‑se erradicada quando a percentagem de pessoas infectadas for inferior a 1%; · por questões de saúde pública e de acordo com a Organização Mundial de Saúde, este tipo de epidemia configura uma situação muito grave quando afecta uma população em mais de 60% por um período superior a 24 horas.
Nota: Na
resolução desta questão, deve utilizar as capacidades gráficas da sua
calculadora e enriquecer a sua composição com o traçado de um ou mais gráficos. 16. A figura representa um reservatório com três
metros de altura.
Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por , onde a e b são constantes reais positivas. a) Mostre que e que . b) Prove que a taxa de variação média de h no intervalo é . Nota: A utilização da calculadora não será permitida para a resolução desta questão. c) Caracterize t, função inversa de h. 17. Utilizando uma calculadora gráfica a Ana descobriu que a equação tinha duas soluções, que eram e . De seguida, resolveu algebricamente a equação seguindo os seguintes passos: Onde está o erro? Justifique. 18. Sabendo que ,
então . Onde está o erro? Justifique. 19. Num Instituto de Pesquisa Ecológica estudou‑se a relação entre o oxigénio consumido por pequenos animais e o respectivo peso. Encontrou‑se a fórmula aproximada onde y é o volume de oxigénio em microlitros por hora e x o peso da colónia em gramas. a) Exprima y em função de x. b) Sendo o oxigénio correspondente ao peso , calcule e interprete o resultado.
20. Ao ser lançado, um foguetão é impulsionado pela
expulsão dos gases resultantes da queima de combustível numa câmara. A variável t designa o tempo, em segundos após o arranque. a) A massa inicial do foguetão é de 150
toneladas, das quais 80% correspondem à massa do combustível. b) Prove que a
taxa de variação média de v no intervalo é 0,05.
SOLUÇÕES1. a) 22.500 €. b) Aproximadamente 14.614 €. c) 25%. 2. a) 22 símbolos. b) 6 minutos. 3. a) , (2 c.d.). b) , (2 c.d.). 4. 2348 € aproximadamente). 5. . 6. a) . b) 1,79 u. c. aproximadamente. 7. a) A partir de potências superiores ou iguais a dB devem ser utilizados meios de protecção
auditiva. b) . c) . 8. a) . b) . 9. a) . c) . 10. ; apenas tem um zero: . 11. a) . b) . 12. a) Não tem zeros. b) . c) . 13. a) ; c) . f) 14. a) e . b) O número de células torna‑se 16 vezes maior do que no instante inicial decorridos 6 minutos e 40 segundos após esse instante. 15. a) Há 32% de pessoas infectadas no momento da
declaração da epidemia, pois . 16. c) 17. A condição dada tem domínio e a condição tem domínio . 18. Como ,
então . 19. a) b) . 20. a) A massa de
combustível é toneladas. Como é consumido à taxa de t/s, o combustível dura segundos.
Proposta de Resolução:1. a) Como , é de 22.500 € o custo inicial do carro. b) Como , é de aproximadamente 14.614 € o custo do carro um ano e meio depois da compra. c) Ora, . Logo, o carro desvaloriza 25% ao ano. 2. a) Como , uma pessoa pode memorizar 22 símbolos em 4 minutos. b) Ora, . 3. a) Como e , vem . b) No início da observação existiam 1.113
bactérias, logo .
4. No
final dos primeiros 6 anos, o valor do produto é dado por . 5. 6. a) O arco AB pode ser definido por .
b) Ora, unidades de comprimento. 7. a) Ora, . b) Ora, c) Ora, . 8. a) Ora, , pois:
b) Ora, . 9. a) Ora, . b1) ; ; e . b2) f não é uma função par, pois não se verifica (note que , por exemplo). b3) De facto, e . Por isso, f poderá ser uma função ímpar. b4) Ora, . Logo, f é uma função ímpar. c) Ora, . Como
então, . d)
10. Ora, . A função tem um zero: . 11. a) Ora, e . Logo, . Portanto, o conjunto-solução é b) Ora, e . Logo, . Portanto, o conjunto-solução é . 12. a) O domínio da função é . Ora, , pelo que . Logo, b) O domínio da função é . Ora, , pelo que . Logo, c) O domínio da função é , como é indicado. Ora, , pelo que . Como , temos: 13. a) O domínio da função é . (tenha em consideração as propriedades da função quadrática) Ora, . b) A função não admite inversa pois não é uma função injectiva. Basta reparar que objectos simétricos têm a mesma imagem, pois a função é par: . c) Ora, d) Sabemos que: e
Como
Então, . e) Ora, . Logo, . f) Portanto, será: g) Podemos confirmar a representação gráfica apresentada:
h) Tem a ver com a janela de visualização escolhida e com a precisão da calculadora no traçado do gráfico:
14. a) b) Para e ,
temos . 15. a) Há 32% de pessoas infectadas no momento da declaração da epidemia, pois .
A percentagem de pessoas infectadas foi superior ou igual à existente no momento da declaração da epidemia durante as primeiras horas após essa declaração. b) Considerando, respectivamente, as janelas de visualização [0, 10]®[-1, 70] e [0, 3]®[50, 70] representaram‑se graficamente as funções e , cujos gráficos se indicam a seguir.
Considerando agora a janela de visualização [0, 10]®[0, 2], representaram‑se as funções e ; criou‑se ainda uma tabela de valores de , conforme se indica seguidamente.
NOTA: Sabendo que e , podemos concluir . Reunindo toda esta informação podemos elaborar o gráfico seguinte.
Do gráfico conclui-se que a epidemia foi erradicada ligeiramente antes de se atingirem 7 dias, pelo que se veio a confirmar o prognóstico do SNS quanto ao prazo de erradicação da epidemia. Já quanto à gravidade da situação não sucedeu o mesmo, pois veio a verificar‑se que aproximadamente durante 29 horas ( ; ) houve mais de 60% da população afectada, pelo que, tendo sido ultrapassado o limiar referido, a epidemia terá apresentado ainda alguma gravidade. Quanto a terem sido ou não tomadas todas as medidas recomendadas, não há informação que permita efectuar essa avaliação. 16. a) Considerando as condições fronteira, podemos estabelecer o sistema , donde , como queríamos mostrar. b) Podemos, portanto, escrever ,
donde No período referido, a altura da água no reservatório desceu, em média, 20 cm por hora, isto é, entre os instantes correspondentes a seis e a onze horas após a abertura da válvula, a altura da água no reservatório diminuiu a uma velocidade de 0,2 metros por hora. c) Sendo ,
vem . . 17. A condição dada tem domínio e a condição tem domínio . 18. Como ,
então . 19. a) Tendo em consideração algumas propriedades
operatórias dos logaritmos e que a função logarítmica é injectiva, resolvendo a
equação em ordem a y, vem: b) Ora, 20. a) A massa de combustível é toneladas. Como é consumido à taxa de t/s, o combustível dura segundos. b) No intervalo considerado, a aceleração média do foguetão é de 0,05 km/s2.
O Professor |
