|
Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática A 01/04/2011 Turma A - Prova 2 11.º Ano 1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Seja g uma função de domínio , com derivada finita no seu domínio. Na figura
junta encontra-se parte do gráfico de ,
função derivada de g. Qual pode ser o valor de ? [A] [B] [C] [D]
2. Na figura está representado o círculo
trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. Seja a a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é igual a [A] [B] [C] [D] 3. Num referencial o.n. Oxyz, considere os planos e . A intersecção dos planos e é [A] o conjunto vazio [B] um ponto [C] uma recta [D] um plano
4. Na figura
estão representadas, em referencial o.n. xOy,
partes dos gráficos de duas funções, f
e g, contínuas em . · Nenhum dos gráficos intersecta o eixo Ox; · Os gráficos de g e de f intersectam o eixo Oy nos pontos de ordenadas e , respectivamente. Apenas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas? [A] [B] [C] [D]
5. Considere as seguintes funções: · , definida por ; · , cujo gráfico está representado ao lado. Indique o valor de . [A] [B] [C] [D]
2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.
1. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função , bem como as suas duas assimptotas. Tal como a figura sugere, · A origem do referencial pertence ao gráfico de ; · Uma das assimptotas é paralela ao eixo Ox; · A outra assimptota tem equação .
Considere ainda mais duas funções reais de variável real: · , de domínio ; · , de domínio .
a) Tendo em conta o gráfico de e a expressão analítica de , resolva a inequação , completando a seguinte tabela de variação de sinal, que deve transcrever para a sua folha de prova:
Apresente o conjunto solução da inequação utilizando a notação de intervalos de números reais. b) Admita agora que: · a assimptota do gráfico de paralela ao eixo das abcissas tem equação ; · é definida por uma expressão do tipo , onde a, b e c designam números reais. Justificando, indique os valores de a e c e determine o valor de b. c) Seja a função derivada de .
Sabe-se que ,
com . Nota: No caso de não conseguir obter uma equação da recta t, considere a recta de equação . d) Caracterize e conclua que é uma função racional.
2. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, uma parte do gráfico de uma função quadrática f e um triângulo rectângulo [OPQ]. Tal como a figura sugere, os pontos O e A são pontos de intersecção do gráfico de f com o eixo das abcissas e a recta PQ é perpendicular a este eixo. Sabe-se ainda que: · O ponto Q pertence ao eixo Ox; · O ponto A tem abcissa 6; · O vértice da parábola tem ordenada 3.
Admita que o ponto P se desloca no arco de parábola, entre a origem e o ponto A, nunca coincidindo com qualquer destes pontos. Com o movimento do vértice P, o vértice Q desloca-se no eixo Ox, de tal forma que o triângulo [OPQ] permanece sempre rectângulo. Seja a abcissa do ponto P. a) Seja a área do triângulo [OPQ], em função de
(com
). Sugestão: Comece por obter uma expressão analítica da função f. b) Utilizando a função derivada de e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função quanto à monotonia, conclua qual é o valor de para o qual é máxima a área do triângulo e determine essa área máxima. c) Considere o seguinte problema: Quais os valores de x para os quais a área do triângulo [OPQ] é numericamente igual a ? Traduza o
problema por meio de uma condição e, utilizando a sua calculadora, resolva-a
graficamente.
3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, um cubo [OPQRSTUV] de aresta 5. Sabe-se ainda que: · O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial; · Os vértices P, R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e Oz, respectivamente; · O triângulo escaleno [MNQ] é a secção produzida pelo plano de equação .
a) Escreva uma equação vectorial da recta que passa por N e é perpendicular ao plano . b) Usando o produto escalar de dois vectores, determine a amplitude do ângulo TQV. c) Considere a
superfície esférica E, de
equação .
FIM
COTAÇÕES 1.ª Parte ............................................................................................................................................................................ ... 40 pontos Cada questão com resposta certa ........................................................................................... 8 pontos Cada questão com resposta errada, não respondida ou anulada..................................... 0 pontos
2.ª Parte ............................................................................................................................................................................ . 160 pontos 1. ................................................................................................................................................... 60 pontos a) 16 b) 15 c) 13 d) 16 2. ................................................................................................................................................... 54 pontos a) 18 b) 18 c) 18 3. ................................................................................................................................................... 46 pontos a) 14 b) 16 c) 16 Total 200 pontos
Formulário
|
