11.º Ano :: Prova Escrita de Matemática A

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Prova Escrita de Matemática A

11/03/2011 Turma A - Prova 1 11.º Ano

1.ª Parte

Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

Atenção! Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Considere, num referencial o. n. xOy, as rectas e , definidas, respectivamente, por:

;

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)?

[A] [B] [C] [D]

2. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a qual é definida por .
Na figura está representada a região admissível.

Qual é o valor máximo que a função objectivo pode alcançar nesta região?

[A] [B]

[C] [D]

3. O gráfico de uma função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo cujo vértice é o ponto de coordenadas . Seja a função derivada de .

Qual dos valores seguintes é negativo?

[A] [B] [C] [D]

4. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [POR], sendo a amplitude, em radianos, do ângulo ROP.

O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.
O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [POR] é sempre isósceles.

a) Qual das expressões seguintes dá o perímetro do triângulo [POR], em função de ?

[A] [B]

[C] [D]

b) Qual das expressões seguintes dá o produto escalar , em função de ?

[A] [B] [C] [D]

2.ª Parte

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.

1. Sabendo que e que ,determine o valor de .

2. Na figura está representado, em referencial o. n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

· A base do cone está contida no plano
de equação ;

· O vértice V do cone tem coordenadas ;

· O ponto C é o centro da base do cone;

· O raio da base do cone é 3 unidades.

a) Mostre que as coordenadas do ponto C são .

b) Escreva uma condição cartesiana que defina a base do cone.

3. Um laboratório está a ensaiar um medicamento, o ZITEX.

Admita que a concentração de ZITEX, em miligramas por litro de sangue, horas após ter sido administrado a um paciente, é dada por

, com .

a) Admita ainda que:

· É aconselhável que um medicamento com as características do ZITEX comece a produzir efeito, no máximo, 15 minutos após ter sido administrado a um paciente e que esse efeito se mantenha durante, pelo menos, 2 horas;

· A concentração mínima necessária, para que o ZITEX produza efeito, é miligramas por litro (mg/l) de sangue.

Recorrendo às potencialidades da sua calculadora, averigúe se o ZITEX satisfaz as condições referidas.
Fundamente a sua resposta e apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como as coordenadas, arredondadas às centésimas, de alguns pontos relevantes.

b) O ZITEX foi administrado a um paciente às 8 horas da manhã de um certo dia.
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos:

b1) Determine o valor da concentração de ZITEX, em miligramas por litro de sangue, às 9 horas da manhã.

b2) Determine o valor da taxa média de variação no intervalo .
Interprete, na situação descrita, o valor encontrado.

4. Considere a função , de domínio , definida por .

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva as alíneas seguintes:

a) Determine o conjunto de números reais que são soluções da condição .
Apresente a resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

b) Mostre que é o único zero da função.

c) Usando a definição de derivada, mostre que .

d) Na figura ao lado estão representados, em referencial ortonormado xOy:

· parte do gráfico da função ;

· as rectas e , assimptotas do gráfico de ;

· a recta , tangente ao gráfico de no ponto A;

· o triângulo [BCD].

A e D são pontos de intersecção do gráfico de com os eixos coordenados.

B é o ponto de intersecção das rectas e .

C é o ponto de intersecção das rectas e .

Tendo ainda em consideração os dados das alíneas b) e c), determine a área do triângulo [BCD].

FIM

Formulário

Áreas de figuras planas

Volumes

Losango:

Trapézio:

Polígono regular:

Círculo:

Prisma:

Cilindro:

Pirâmide:

Cone:

Esfera:

COTAÇÕES

1.ª Parte ............................................................................................................................................................................ ... 40 pontos

Cada questão com resposta certa ........................................................................................... 8 pontos

Cada questão com resposta errada, não respondida ou anulada..................................... 0 pontos

2.ª Parte ............................................................................................................................................................................ . 160 pontos

1. ................................................................................................................................................... 16 pontos

2. ................................................................................................................................................... 28 pontos

a) 16

b) 12

2. ................................................................................................................................................... 48 pontos

a) 20

b1) 12

b2) 16

3. ................................................................................................................................................... 68 pontos

a) 18

b) 14

c) 18

d) 18

Total 200 pontos