Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  
Tendo em conta o gráfico de  e a expressão analítica de , vem:

 

      Portanto, o conjunto solução da inequação  é .

b)  
Quando  ou , . Logo, .
Dado que a assimptota horizontal tem equação , conclui-se que .

Por outro lado, . Logo, .

Finalmente, como , vem: .
Portanto, .

c)  
O declive da recta t é .
Como o declive da recta r é , tem-se , pelo que as rectas t e r são perpendiculares.

d)  
.
Ora, .

Portanto, .

A função é racional, pois é definida por uma expressão que é o quociente de dois polinómios.

2.  

a)  
Como  e  são os zeros de f, então a sua expressão analítica é da forma .
Dado que o vértice da parábola tem coordenadas  (note que a recta de equação  é o eixo de simetria da parábola), temos: .
Logo, .
Assim, .
(Note que P e Q têm a mesma abcissa .)

b)  
Ora, .
Determinemos os zeros de : .
Assim, temos: (note que o gráfico de  é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo)

 

 

      Portanto, a área do triângulo é máxima para , sendo a área máxima .

c)  
Como já sabemos, . Logo, o problema pode ser traduzido pela equação .
Representadas graficamente a função , no seu domínio, assim como , determinaram-se as coordenadas dos pontos de intersecção dos seus gráficos:

  

Portanto, os valores pedidos são:  e .
(Note que 0 e 6 não pertencem a .)

3.  

a)  
A recta UV pode ser definida pela condição .
O ponto N pertence a recta UV e ao plano .

Como , então .

O vector  é normal ao plano , logo é um vector director da recta pedida.

Assim,  é uma equação vectorial da recta que passa por N e é perpendicular ao plano .

b)  
Como ,  e , então  e .

Como , vem:
.
Logo, .

c)  
Se o ponto A pertence à superfície esférica E, então as suas coordenadas têm de verificar a condição , com . Ora:


Portanto, .

 

FIM