Escola
Secundária/2,3 da Sé-Lamego
Proposta de
Resolução da Prova Escrita de Matemática A
11/03/2011 Turma
A - Provas 1 e 2 11.º
Ano
1.ª Parte
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Questão
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1
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2
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3
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4-a)
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4-b)
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Prova 1
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D
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C
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A
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B
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A
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Questão
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3
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4
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1
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2-a)
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2-b)
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Prova 2
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A
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B
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D
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C
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B
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2.ª Parte
1.
Ora, .
Como ,
então, pela fórmula fundamental da trigonometria, .
Logo, .
Alternativa:
Considerando que ,
vem .
Como ,
então .
Logo, .
2.
a)
Um vector normal ao plano é .
Logo, uma equação vectorial da recta que passa em V e é perpendicular a é .
Como e ,
o ponto de coordenadas pertence simultaneamente ao plano e à recta acima referida. Ora, como esse ponto
é C, as suas coordenadas são .
Alternativa:
Um vector normal ao plano é .
Logo, uma equação cartesiana da recta que passa em V e é perpendicular a é .
Ora,
Logo, as coordenadas do ponto C são .
b)
A base do cone é o circulo de intersecção do plano com a esfera de centro C e raio 3.
Logo, a base do cone pode ser definida pela condição .
3.
a)
Comecemos por representar graficamente a função no seu domínio, assim como a
recta de equação .
Seguidamente, determinemos as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da
função com a recta de equação (numa janela de visualização mais adequada):
O ZITEX demora menos de 15 minutos (cerca de 14 minutos:
) a produzir efeito, o qual se mantém por um período superior a duas
horas (aproximadamente
).
Portanto, o ZIETX satisfaz as condições estabelecidas.
b1)
Ora, .
Às 9 horas da manhã, a concentração de ZITEX era de de sangue.
b2)
.
Entre as 9 e as 12 horas, a concentração de ZITEX diminuiu, em média, miligramas por litro de sangue por hora.
4.
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+
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+
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n.d.
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+
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-
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a)
Portanto, .
Logo, .
b)
Ora,
Logo, é o único zero da função.
c)
Seja .
Ora, .
Quando ,
.
Logo, .
d)
As equações das rectas r e s são, respectivamente, e .
Logo, .
Como ,
então .
O declive da recta t é ,
pelo que a sua equação reduzida é da forma .
Como o ponto pertence a esta recta, temos: .
Logo, .
Como ,
então .
Assim, sendo a projecção ortogonal do ponto D sobre a recta
BC, temos:
.
FIM
(1) Os vectores e são directores das rectas r e s, respectivamente.
Dado que tem a direcção do semieixo positivo Ox, então o ângulo das duas rectas é
igual à inclinação da recta s, pois tem amplitude de um ângulo agudo. Portanto,
o valor procurado é .
(2) Para ,
obtém-se (equação da recta que passa nos pontos de
coordenadas e
).
Logo, a solução óptima é o par ,
pois todas as rectas da família são paralelas a esta última.
Assim, o máximo que a função objectivo
pode alcançar é .
(3) Ora, é negativa num ponto de abcissa se e só se f
é decrescente em .
Dado que f é crescente em e
decrescente em ,
então apenas será negativa.
Em alternativa, basta tem em consideração que ,
caso exista, corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa .
